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12. 如图，O为直线AB上一点，$∠ BOC = 130°$，OD平分$∠ AOC$，$OD ⊥ OE$.
(1)求$∠ BOD$的度数；
(2)试判断OE是否平分$∠ BOC$，并说明理由.
(1)求$∠ BOD$的度数；
(2)试判断OE是否平分$∠ BOC$，并说明理由.
答案
12. (1) $∠ BOD = 155°$.
(2) OE平分$∠ BOC$，理由略.
(2) OE平分$∠ BOC$，理由略.
解析
【分析】
（1）首先利用平角的性质，直线AB上的∠AOB为180°，结合已知∠BOC的度数先求出∠AOC的度数；再根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，最后利用平角的性质计算∠BOD的度数即可。
（2）要判断OE是否平分∠BOC，只需证明∠COE和∠BOE度数相等即可。先根据垂直的定义得到∠DOE=90°，结合∠DOC的度数求出∠COE的度数，再用∠BOC减去∠COE得到∠BOE的度数，对比两个角的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°（平角的定义）
∵∠BOC=130°
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC = 180° - 130° = 50°
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°
∴∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 25° = 155°
(2) OE平分∠BOC，理由如下：
∵OD⊥OE，
∴∠DOE=90°（垂直的定义）
∵∠DOC=∠AOD=25°
∴∠COE = ∠DOE - ∠DOC = 90° - 25° = 65°
∴∠BOE = ∠BOC - ∠COE = 130° - 65° = 65°
∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOD=155°}$
(2) OE平分$\boldsymbol{∠BOC}$
【知识点】
平角的定义；角平分线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是理清图中各个角之间的和差关系，结合平角、角平分线、垂直的相关性质逐步推导即可，能够很好地考察学生对基础几何概念的运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先利用平角的性质，直线AB上的∠AOB为180°，结合已知∠BOC的度数先求出∠AOC的度数；再根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，最后利用平角的性质计算∠BOD的度数即可。
（2）要判断OE是否平分∠BOC，只需证明∠COE和∠BOE度数相等即可。先根据垂直的定义得到∠DOE=90°，结合∠DOC的度数求出∠COE的度数，再用∠BOC减去∠COE得到∠BOE的度数，对比两个角的大小即可得出结论。
【解析】
(1) 解：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°（平角的定义）
∵∠BOC=130°
∴∠AOC=∠AOB - ∠BOC = 180° - 130° = 50°
∵OD平分∠AOC
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°
∴∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 180° - 25° = 155°
(2) OE平分∠BOC，理由如下：
∵OD⊥OE，
∴∠DOE=90°（垂直的定义）
∵∠DOC=∠AOD=25°
∴∠COE = ∠DOE - ∠DOC = 90° - 25° = 65°
∴∠BOE = ∠BOC - ∠COE = 130° - 65° = 65°
∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BOD=155°}$
(2) OE平分$\boldsymbol{∠BOC}$
【知识点】
平角的定义；角平分线的判定与性质；垂直的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题的关键是理清图中各个角之间的和差关系，结合平角、角平分线、垂直的相关性质逐步推导即可，能够很好地考察学生对基础几何概念的运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1=25°，∠COE=115°.
(1)求∠BOE的度数；
(2)求证：AB⊥CD.
(1)求∠BOE的度数；
(2)求证：AB⊥CD.
答案
13. (1) $∠ BOE = 155°$.
(2)略
(2)略
解析
【分析】
(1) 求∠BOE的度数时，首先观察角的位置关系：∠1和∠BOE是邻补角，二者之和为平角180°，已知∠1的度数，直接用平角减去∠1的度数即可得到∠BOE的度数。
(2) 要证明AB⊥CD，只需证明AB和CD的夹角为90°，即证∠COB=90°。首先利用对顶角相等得到∠BOF=∠1，再根据平角定义算出∠COF的度数，将∠COF和∠BOF相加即可得到∠COB的度数，进而证明垂直。
【解析】
(1) 解：
∵ 直线AB、EF相交于点O，∠1与∠BOE互为邻补角，
∴ $∠1+∠ BOE=180°$，
又
∵ $∠1=25°$，
∴ $∠ BOE=180°-25°=155°$。
(2) 证明：
∵ 直线AB、EF相交于点O，
∴ $∠ BOF=∠1=25°$（对顶角相等），
∵ 直线CD、EF相交于点O，
∴ $∠ COE+∠ COF=180°$（平角的定义），
又
∵ $∠ COE=115°$，
∴ $∠ COF=180°-115°=65°$，
∴ $∠ COB=∠ COF+∠ BOF=65°+25°=90°$，
∴ $AB⊥ CD$（垂直的定义）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BOE = 155°}$；
(2) 证明如上。
【知识点】
邻补角性质，对顶角性质，垂直的判定
【点评】
本题属于相交线模块的基础题型，主要考查学生对相交线相关角的性质的理解和应用能力，解题关键是准确识别角的位置关系，结合已知条件逐步推导即可完成求解和证明。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠BOE的度数时，首先观察角的位置关系：∠1和∠BOE是邻补角，二者之和为平角180°，已知∠1的度数，直接用平角减去∠1的度数即可得到∠BOE的度数。
(2) 要证明AB⊥CD，只需证明AB和CD的夹角为90°，即证∠COB=90°。首先利用对顶角相等得到∠BOF=∠1，再根据平角定义算出∠COF的度数，将∠COF和∠BOF相加即可得到∠COB的度数，进而证明垂直。
【解析】
(1) 解：
∵ 直线AB、EF相交于点O，∠1与∠BOE互为邻补角，
∴ $∠1+∠ BOE=180°$，
又
∵ $∠1=25°$，
∴ $∠ BOE=180°-25°=155°$。
(2) 证明：
∵ 直线AB、EF相交于点O，
∴ $∠ BOF=∠1=25°$（对顶角相等），
∵ 直线CD、EF相交于点O，
∴ $∠ COE+∠ COF=180°$（平角的定义），
又
∵ $∠ COE=115°$，
∴ $∠ COF=180°-115°=65°$，
∴ $∠ COB=∠ COF+∠ BOF=65°+25°=90°$，
∴ $AB⊥ CD$（垂直的定义）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ BOE = 155°}$；
(2) 证明如上。
【知识点】
邻补角性质，对顶角性质，垂直的判定
【点评】
本题属于相交线模块的基础题型，主要考查学生对相交线相关角的性质的理解和应用能力，解题关键是准确识别角的位置关系，结合已知条件逐步推导即可完成求解和证明。
【难度系数】
0.8
14. 如图，直线AD与直线BC相交于点O，OE平分∠AOB，∠1=30°，求∠EOD的度数. 
(第14题)
(第14题)答案
14. $∠ EOD = 105°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件和图形特征入手：首先直线BC是平角，∠1与∠AOB是邻补角，可先求出∠AOB的度数；再结合OE平分∠AOB的条件，算出∠EOB的度数；接着利用对顶角相等的性质得到∠BOD的度数；最后将∠EOB和∠BOD相加，即可求出∠EOD的度数。
【解析】
解：
∵ 直线BC为平角，
∴ ∠1 + ∠AOB = 180°，
已知∠1=30°，
∴ ∠AOB=180°-30°=150°，
∵ OE平分∠AOB，
∴ ∠EOB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×150°=75°，
又
∵ ∠1与∠BOD是对顶角，
∴ ∠BOD=∠1=30°，
∴ ∠EOD=∠EOB + ∠BOD =75°+30°=105°。
【答案】
∠EOD=105°
【知识点】
邻补角的性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是相交线性质的基础应用题型，解题的核心是准确识别图中角的位置关系，结合相关性质逐步推导未知角的度数，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件和图形特征入手：首先直线BC是平角，∠1与∠AOB是邻补角，可先求出∠AOB的度数；再结合OE平分∠AOB的条件，算出∠EOB的度数；接着利用对顶角相等的性质得到∠BOD的度数；最后将∠EOB和∠BOD相加，即可求出∠EOD的度数。
【解析】
解：
∵ 直线BC为平角，
∴ ∠1 + ∠AOB = 180°，
已知∠1=30°，
∴ ∠AOB=180°-30°=150°，
∵ OE平分∠AOB，
∴ ∠EOB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×150°=75°，
又
∵ ∠1与∠BOD是对顶角，
∴ ∠BOD=∠1=30°，
∴ ∠EOD=∠EOB + ∠BOD =75°+30°=105°。
【答案】
∠EOD=105°
【知识点】
邻补角的性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是相交线性质的基础应用题型，解题的核心是准确识别图中角的位置关系，结合相关性质逐步推导未知角的度数，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
