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6.（跨学科·体育与健康）在体育与健康课上某同学立定跳远的情况如图所示，直线$ l $表示起跳线，经测量，$ PB = 2.4 \, \mathrm{m} $，$ PC = 2.3 \, \mathrm{m} $，$ PD = 2.6 \, \mathrm{m} $，则该同学立定跳远的实际成绩是
2.3
m.答案
6. 2.3
解析
【分析】首先明确立定跳远成绩的测量逻辑：实际成绩是落脚点到起跳线的垂直距离，对应数学中“点到直线的距离”的定义，即直线外一点到直线的垂线段的长度。观察图形可知，PC与起跳线l垂直，是点P到l的垂线段，因此PC的长度就是该同学的跳远成绩，PB、PD都不是垂线段，不作为成绩依据。
【解析】根据立定跳远的测量规则，成绩为落脚点P到起跳线l的垂线段的长度。
已知PC⊥l，因此PC是点P到直线l的垂线段，长度为2.3m，即该同学的实际跳远成绩为2.3m。
【答案】2.3
【知识点】点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】本题结合体育测试场景考查数学知识的实际应用，解题关键是明确实际测量的成绩对应点到直线的垂线段长度，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】根据立定跳远的测量规则，成绩为落脚点P到起跳线l的垂线段的长度。
已知PC⊥l，因此PC是点P到直线l的垂线段，长度为2.3m，即该同学的实际跳远成绩为2.3m。
【答案】2.3
【知识点】点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】本题结合体育测试场景考查数学知识的实际应用，解题关键是明确实际测量的成绩对应点到直线的垂线段长度，难度较低。
【难度系数】0.8
7.（生活应用）近年来，新中式的装修风格越来越受年轻人喜爱，它不仅具有传统中式装修的古典、雅韵，也自然流露出现代元素的气息. 如图是某款式角花的局部示意图，若$∠ 1=90°$，则$∠ 2=∠ 1=90°$的依据是
对顶角相等
.答案
7. 对顶角相等
解析
【分析】
首先观察图形中∠1和∠2的位置：二者是两条直线相交形成的角，有公共顶点，且两边互为反向延长线，属于对顶角。回忆对顶角的相关性质：对顶角大小相等。已知∠1=90°，结合对顶角的性质即可直接推出∠2和∠1相等，确定对应的依据。
【解析】
观察示意图可知，∠1与∠2是两条相交直线形成的对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠2=∠1，已知∠1=90°，因此∠2=∠1=90°，所以该结论的依据是对顶角相等。
【答案】
对顶角相等
【知识点】
对顶角相等
【点评】
本题结合生活中的装修场景考查几何知识的应用，解题核心是准确识别图中的对顶角，体现了数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.9
首先观察图形中∠1和∠2的位置：二者是两条直线相交形成的角，有公共顶点，且两边互为反向延长线，属于对顶角。回忆对顶角的相关性质：对顶角大小相等。已知∠1=90°，结合对顶角的性质即可直接推出∠2和∠1相等，确定对应的依据。
【解析】
观察示意图可知，∠1与∠2是两条相交直线形成的对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠2=∠1，已知∠1=90°，因此∠2=∠1=90°，所以该结论的依据是对顶角相等。
【答案】
对顶角相等
【知识点】
对顶角相等
【点评】
本题结合生活中的装修场景考查几何知识的应用，解题核心是准确识别图中的对顶角，体现了数学与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.9
8. 如图，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOA:∠BOC=2:1，那么∠AOD等于
150
°。答案
8. 150
解析
【分析】
首先从已知的垂直关系入手，垂直对应角为90°，可得到∠AOC=90°、∠BOD=90°。观察图形可知∠AOB和∠BOC组成∠AOC，结合二者的比例关系2:1，可先求出∠BOC的度数，再通过角的和差关系计算∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ OC⊥OA，
∴ ∠AOC = 90°，即∠AOB + ∠BOC = 90°。
∵ ∠BOA:∠BOC = 2:1，设∠BOC = x，则∠AOB = 2x，
代入得2x + x = 90°，解得x=30°，即∠BOC=30°。
又
∵ OB⊥OD，
∴ ∠BOD=90°，
∴ ∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 2×30° + 90° = 150°。
【答案】
150
【知识点】
垂直的定义、角的和差计算、比例的应用
【点评】
本题是角运算的基础题型，解题核心是利用垂直关系确定90°角，再结合比例求出未知小角的度数，最后通过角的和差得到结果，掌握基础的角运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
首先从已知的垂直关系入手，垂直对应角为90°，可得到∠AOC=90°、∠BOD=90°。观察图形可知∠AOB和∠BOC组成∠AOC，结合二者的比例关系2:1，可先求出∠BOC的度数，再通过角的和差关系计算∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ OC⊥OA，
∴ ∠AOC = 90°，即∠AOB + ∠BOC = 90°。
∵ ∠BOA:∠BOC = 2:1，设∠BOC = x，则∠AOB = 2x，
代入得2x + x = 90°，解得x=30°，即∠BOC=30°。
又
∵ OB⊥OD，
∴ ∠BOD=90°，
∴ ∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 2×30° + 90° = 150°。
【答案】
150
【知识点】
垂直的定义、角的和差计算、比例的应用
【点评】
本题是角运算的基础题型，解题核心是利用垂直关系确定90°角，再结合比例求出未知小角的度数，最后通过角的和差得到结果，掌握基础的角运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
9.【动手操作】如图，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使$∠ BOC=135°$.将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，$∠ AOM$的度数是
135°或45°
.答案
9. 135°或45°
解析
【分析】
首先根据平角的定义，由已知∠BOC的度数求出∠AOC的度数；再结合直线OM与OC垂直，可知∠COM=90°，由于三角板绕O旋转一周，OM与OC垂直存在两种位置情况（OM在AB上方、OM在AB下方），分别根据角的和差关系计算两种情况下∠AOM的度数即可。
【解析】
解：
∵O为直线AB上一点，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°（平角的定义），
∵∠BOC=135°，
∴∠AOC=180°-135°=45°。
∵直线OM与直线OC互相垂直，
∴∠COM=90°（垂直的定义），分两种情况讨论：
① 当OM在直线AB的上方时：
∠AOM=∠AOC + ∠COM=45°+90°=135°；
② 当OM在直线AB的下方时：
∠AOM=∠COM - ∠AOC=90°-45°=45°。
综上，∠AOM的度数为135°或45°。
【答案】
135°或45°
【知识点】
平角的定义，垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题需要结合旋转的特点考虑所有可能的位置情况，易错点是忽略分类讨论漏写其中一个答案，解题时要注意结合图形全面分析。
【难度系数】
0.7
首先根据平角的定义，由已知∠BOC的度数求出∠AOC的度数；再结合直线OM与OC垂直，可知∠COM=90°，由于三角板绕O旋转一周，OM与OC垂直存在两种位置情况（OM在AB上方、OM在AB下方），分别根据角的和差关系计算两种情况下∠AOM的度数即可。
【解析】
解：
∵O为直线AB上一点，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°（平角的定义），
∵∠BOC=135°，
∴∠AOC=180°-135°=45°。
∵直线OM与直线OC互相垂直，
∴∠COM=90°（垂直的定义），分两种情况讨论：
① 当OM在直线AB的上方时：
∠AOM=∠AOC + ∠COM=45°+90°=135°；
② 当OM在直线AB的下方时：
∠AOM=∠COM - ∠AOC=90°-45°=45°。
综上，∠AOM的度数为135°或45°。
【答案】
135°或45°
【知识点】
平角的定义，垂直的定义，角的和差计算
【点评】
本题需要结合旋转的特点考虑所有可能的位置情况，易错点是忽略分类讨论漏写其中一个答案，解题时要注意结合图形全面分析。
【难度系数】
0.7
10. 已知$∠ AOB=35°$，以$O$为顶点作射线$OC$，$OD$. 若$∠ AOC=2∠ AOB$，$OD⊥ OB$，则$∠ COD$的度数为
15°, 55°, 125°或165°
.答案
10. 15°, 55°, 125°或165°
解析
【分析】
本题未明确射线OC、OD的位置，因此需要分类讨论求解。首先先根据已知条件算出∠AOC和∠BOD的度数，再分别讨论OC在OA两侧、OD在OB两侧的不同位置组合，利用角度的和差关系计算∠COD的度数即可，注意分类时要做到不重不漏。
【解析】
解：已知$∠ AOB=35°$，
$\therefore ∠ AOC=2∠ AOB=2×35°=70°$，
$\because OD⊥ OB$，$\therefore ∠ BOD=90°$，分以下四种情况讨论：
① 当OC在OA的与OB异侧，OD与OC在OB同侧时：
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOB-∠ BOD=70°+35°-90°=15°$；
② 当OC在OA的与OB同侧（即OC在$∠ AOB$外侧靠近OB），OD与OC在OB同侧时：
$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=70°-35°=35°$，
$∠ COD=∠ BOD-∠ BOC=90°-35°=55°$；
③ 当OC在OA的与OB同侧，OD与OC在OB异侧时：
$∠ COD=∠ BOD+∠ BOC=90°+35°=125°$；
④ 当OC在OA的与OB异侧，OD与OC在OB异侧时：
$∠ COD=360°-∠ AOC-∠ AOB-∠ BOD=360°-70°-35°-90°=165°$。
【答案】
$15°$，$55°$，$125°$或$165°$
【知识点】
角的和差计算，垂直的定义，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线位置的多种可能导致漏解，解题时要全面考虑不同的位置关系，结合角度和差、垂直的性质进行计算，分类时需做到不重复不遗漏。
【难度系数】
0.3
本题未明确射线OC、OD的位置，因此需要分类讨论求解。首先先根据已知条件算出∠AOC和∠BOD的度数，再分别讨论OC在OA两侧、OD在OB两侧的不同位置组合，利用角度的和差关系计算∠COD的度数即可，注意分类时要做到不重不漏。
【解析】
解：已知$∠ AOB=35°$，
$\therefore ∠ AOC=2∠ AOB=2×35°=70°$，
$\because OD⊥ OB$，$\therefore ∠ BOD=90°$，分以下四种情况讨论：
① 当OC在OA的与OB异侧，OD与OC在OB同侧时：
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOB-∠ BOD=70°+35°-90°=15°$；
② 当OC在OA的与OB同侧（即OC在$∠ AOB$外侧靠近OB），OD与OC在OB同侧时：
$∠ BOC=∠ AOC-∠ AOB=70°-35°=35°$，
$∠ COD=∠ BOD-∠ BOC=90°-35°=55°$；
③ 当OC在OA的与OB同侧，OD与OC在OB异侧时：
$∠ COD=∠ BOD+∠ BOC=90°+35°=125°$；
④ 当OC在OA的与OB异侧，OD与OC在OB异侧时：
$∠ COD=360°-∠ AOC-∠ AOB-∠ BOD=360°-70°-35°-90°=165°$。
【答案】
$15°$，$55°$，$125°$或$165°$
【知识点】
角的和差计算，垂直的定义，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略射线位置的多种可能导致漏解，解题时要全面考虑不同的位置关系，结合角度和差、垂直的性质进行计算，分类时需做到不重复不遗漏。
【难度系数】
0.3
三、解答题
11. 如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC:∠EOD = 1:2，OA平分∠EOC，求∠BOD的度数.
11. 如图，直线AB，CD相交于O，若∠EOC:∠EOD = 1:2，OA平分∠EOC，求∠BOD的度数.
答案
11. $∠ BOD = 30°$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形，明确∠EOC与∠EOD是邻补角，和为180°，结合二者的比例关系可先求出∠EOC的度数；再根据角平分线的定义求出∠AOC的度数；最后利用对顶角相等的性质，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ 直线CD构成平角，
∴ $∠ EOC + ∠ EOD = 180°$，
已知$∠ EOC:∠ EOD = 1:2$，
则$∠ EOC = 180° × \frac{1}{1+2} = 60°$，
∵ OA平分$∠ EOC$，
∴ $∠ AOC = \frac{1}{2}∠ EOC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$，
又
∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴ $∠ BOD = ∠ AOC = 30°$。
【答案】
$∠ BOD = 30°$
【知识点】
邻补角性质，角平分线定义，对顶角性质
【点评】
本题是相交线相关的基础角度计算题，综合考察了邻补角、角平分线、对顶角的性质，理清图中角的位置关系，熟练运用基础性质即可解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，明确∠EOC与∠EOD是邻补角，和为180°，结合二者的比例关系可先求出∠EOC的度数；再根据角平分线的定义求出∠AOC的度数；最后利用对顶角相等的性质，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵ 直线CD构成平角，
∴ $∠ EOC + ∠ EOD = 180°$，
已知$∠ EOC:∠ EOD = 1:2$，
则$∠ EOC = 180° × \frac{1}{1+2} = 60°$，
∵ OA平分$∠ EOC$，
∴ $∠ AOC = \frac{1}{2}∠ EOC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$，
又
∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，根据对顶角相等的性质，
∴ $∠ BOD = ∠ AOC = 30°$。
【答案】
$∠ BOD = 30°$
【知识点】
邻补角性质，角平分线定义，对顶角性质
【点评】
本题是相交线相关的基础角度计算题，综合考察了邻补角、角平分线、对顶角的性质，理清图中角的位置关系，熟练运用基础性质即可解题。
【难度系数】
0.8
