登录
15. 如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB.
(1)若∠1 = ∠2，则∠2 的余角有
(2)若∠1 = $\frac{1}{4}$∠BOC，求∠AOD 和∠BOD 的度数.
(1)若∠1 = ∠2，则∠2 的余角有
∠AOC，∠BOD
；(2)若∠1 = $\frac{1}{4}$∠BOC，求∠AOD 和∠BOD 的度数.
答案
15. (1) $∠ AOC$, $∠ BOD$
(2) $∠ AOD = 120°$, $∠ BOD = 60°$.
(2) $∠ AOD = 120°$, $∠ BOD = 60°$.
解析
【分析】
(1) 首先根据OM⊥AB可得∠AOM=90°，即∠1与∠AOC互余，结合已知∠1=∠2，可得∠2与∠AOC互余；再根据直线AB、CD相交于O，对顶角相等可知∠AOC=∠BOD，进而推出∠2也与∠BOD互余，即可得到∠2的余角。
(2) 先由OM⊥AB得∠MOB=90°，因此∠BOC=∠1+90°，结合∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC的数量关系，可先求出∠1的度数，再求出∠AOC的度数，最后利用对顶角相等、邻补角的性质分别求出∠AOD和∠BOD的度数。
【解析】
(1)
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠1+∠AOC=90°。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°。
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC与∠BOD是对顶角，即∠AOC=∠BOD。
∴∠2+∠BOD=90°，因此∠2的余角为∠AOC、∠BOD。
(2) 解：
∵OM⊥AB，
∴∠MOB=90°，则∠BOC=∠MOB+∠1=90°+∠1。
已知∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC，设∠1为$x$，则∠BOC=$4x$，代入得：
$4x=90°+x$
解得$x=30°$，即∠1=30°。
∴∠AOC=∠AOM - ∠1=90°-30°=60°。
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=60°。
∵∠AOD与∠BOD互为邻补角，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-60°=120°。
【答案】
(1) $∠AOC$，$∠BOD$
(2) $∠AOD = 120°$，$∠BOD = 60°$
【知识点】
垂直的定义，对顶角的性质，余角的定义
【点评】
本题属于相交线的基础应用题，解题的关键是结合图形理清各个角之间的位置和数量关系，熟练运用垂直、对顶角、余角、邻补角的相关性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据OM⊥AB可得∠AOM=90°，即∠1与∠AOC互余，结合已知∠1=∠2，可得∠2与∠AOC互余；再根据直线AB、CD相交于O，对顶角相等可知∠AOC=∠BOD，进而推出∠2也与∠BOD互余，即可得到∠2的余角。
(2) 先由OM⊥AB得∠MOB=90°，因此∠BOC=∠1+90°，结合∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC的数量关系，可先求出∠1的度数，再求出∠AOC的度数，最后利用对顶角相等、邻补角的性质分别求出∠AOD和∠BOD的度数。
【解析】
(1)
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，即∠1+∠AOC=90°。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠AOC=90°。
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC与∠BOD是对顶角，即∠AOC=∠BOD。
∴∠2+∠BOD=90°，因此∠2的余角为∠AOC、∠BOD。
(2) 解：
∵OM⊥AB，
∴∠MOB=90°，则∠BOC=∠MOB+∠1=90°+∠1。
已知∠1=$\frac{1}{4}$∠BOC，设∠1为$x$，则∠BOC=$4x$，代入得：
$4x=90°+x$
解得$x=30°$，即∠1=30°。
∴∠AOC=∠AOM - ∠1=90°-30°=60°。
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠BOD=∠AOC=60°。
∵∠AOD与∠BOD互为邻补角，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-60°=120°。
【答案】
(1) $∠AOC$，$∠BOD$
(2) $∠AOD = 120°$，$∠BOD = 60°$
【知识点】
垂直的定义，对顶角的性质，余角的定义
【点评】
本题属于相交线的基础应用题，解题的关键是结合图形理清各个角之间的位置和数量关系，熟练运用垂直、对顶角、余角、邻补角的相关性质进行推导计算。
【难度系数】
0.7
16. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD.
(1)若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF=15°，求∠AOC的度数.
(1)若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；
(2)若OF平分∠COE，∠BOF=15°，求∠AOC的度数.
答案
16. (1) $∠ EOF = 55°$.
(2) $∠ AOC = 100°$.
(2) $∠ AOC = 100°$.
解析
【分析】
（1）解题思路：首先利用相交线对顶角相等的性质，得出∠BOD与已知的∠AOC相等，再根据角平分线的定义求出∠DOE的度数，最后结合∠DOF=90°，用∠DOF减去∠DOE即可得到∠EOF的度数。
（2）解题思路：设∠AOC为未知数，利用对顶角相等得到∠BOD的度数，再由角平分线定义表示出∠BOE和∠DOE的度数；根据平角的定义表示出∠COE的度数，结合OF平分∠COE得到∠EOF的表达式；最后根据∠EOF=∠BOE+∠BOF的和差关系列方程，解方程即可求出∠AOC的度数。
【解析】
(1) 解：
∵ 直线AB，CD相交于点O，∠AOC=70°
∴ ∠BOD=∠AOC=70°（对顶角相等）
∵ OE平分∠BOD
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×70°=35°$
又
∵ $∠ DOF=90°$
∴ $∠ EOF = ∠ DOF - ∠ DOE = 90° - 35° = 55°$
(2) 解：
设∠AOC的度数为$x$，则$∠ BOD=∠ AOC=x$（对顶角相等）
∵ OE平分∠BOD
∴ $∠ BOE=∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}x$
∵ CD为直线，∠COD是平角为180°
∴ $∠ COE = 180° - ∠ DOE = 180° - \frac{1}{2}x$
∵ OF平分∠COE
∴ $∠ EOF = \frac{1}{2}∠ COE = \frac{1}{2}×(180° - \frac{1}{2}x) = 90° - \frac{1}{4}x$
又
∵ $∠ EOF = ∠ BOE + ∠ BOF$，且$∠ BOF=15°$
∴ $90° - \frac{1}{4}x = \frac{1}{2}x + 15°$
移项得：$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 90° - 15°$
合并得：$\frac{3}{4}x = 75°$
解得：$x=100°$
即$∠ AOC=100°$
【答案】
(1) $∠ EOF=55°$
(2) $∠ AOC=100°$
【知识点】
1. 对顶角相等
2. 角平分线的定义
3. 角度和差计算
【点评】
本题属于相交线与角平分线结合的角度计算问题，解题的关键是理清各角之间的数量关系，第二小问通过设未知数列方程的方法可以更清晰地梳理角的和差关系，是几何中常用的代数解题方法。
【难度系数】
0.65
（1）解题思路：首先利用相交线对顶角相等的性质，得出∠BOD与已知的∠AOC相等，再根据角平分线的定义求出∠DOE的度数，最后结合∠DOF=90°，用∠DOF减去∠DOE即可得到∠EOF的度数。
（2）解题思路：设∠AOC为未知数，利用对顶角相等得到∠BOD的度数，再由角平分线定义表示出∠BOE和∠DOE的度数；根据平角的定义表示出∠COE的度数，结合OF平分∠COE得到∠EOF的表达式；最后根据∠EOF=∠BOE+∠BOF的和差关系列方程，解方程即可求出∠AOC的度数。
【解析】
(1) 解：
∵ 直线AB，CD相交于点O，∠AOC=70°
∴ ∠BOD=∠AOC=70°（对顶角相等）
∵ OE平分∠BOD
∴ $∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}×70°=35°$
又
∵ $∠ DOF=90°$
∴ $∠ EOF = ∠ DOF - ∠ DOE = 90° - 35° = 55°$
(2) 解：
设∠AOC的度数为$x$，则$∠ BOD=∠ AOC=x$（对顶角相等）
∵ OE平分∠BOD
∴ $∠ BOE=∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{1}{2}x$
∵ CD为直线，∠COD是平角为180°
∴ $∠ COE = 180° - ∠ DOE = 180° - \frac{1}{2}x$
∵ OF平分∠COE
∴ $∠ EOF = \frac{1}{2}∠ COE = \frac{1}{2}×(180° - \frac{1}{2}x) = 90° - \frac{1}{4}x$
又
∵ $∠ EOF = ∠ BOE + ∠ BOF$，且$∠ BOF=15°$
∴ $90° - \frac{1}{4}x = \frac{1}{2}x + 15°$
移项得：$\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x = 90° - 15°$
合并得：$\frac{3}{4}x = 75°$
解得：$x=100°$
即$∠ AOC=100°$
【答案】
(1) $∠ EOF=55°$
(2) $∠ AOC=100°$
【知识点】
1. 对顶角相等
2. 角平分线的定义
3. 角度和差计算
【点评】
本题属于相交线与角平分线结合的角度计算问题，解题的关键是理清各角之间的数量关系，第二小问通过设未知数列方程的方法可以更清晰地梳理角的和差关系，是几何中常用的代数解题方法。
【难度系数】
0.65
