1.如图,小华注意到跷跷板静止状态时,可以与地面构成一个$△ ABC$,跷跷板中间的支撑杆$EF$垂直于地面($E,F$分别为$AB,AC$的中点).若$EF=35$,则点$B$距离地面的高度为
()

A.$80$
B.$70$
C.$60$
D.$50$

B

已知E、F分别为AB、AC的中点，且EF⊥AC，BC⊥AC，因此EF是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得BC=2EF。将EF=35代入，计算得BC=2×35=70，即点B距离地面的高度为70。

2. 如图,将$□ ABCD$的一边$BC$延长至点$E$,若$∠ DCE=55°$,则$∠ BAD$的度数为()

A.$125°$
B.$115°$
C.$55°$
D.$135°$

A

∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠BAD = ∠BCD（平行四边形的对角相等），
∵ 点B、C、E在同一直线上，∠DCE=55°，
∴ ∠BCD = 180° - ∠DCE = 180° - 55° = 125°，
∴ ∠BAD = 125°。

3. 如图,在平面直角坐标系中,$□ ABCD$的顶点$A,B,D$的坐标分别是$(0,0),(5,0),(2,3)$,则顶点$C$的坐标是()

A.$(3,7)$
B.$(5,3)$
C.$(7,3)$
D.$(8,2)$

C

根据平行四边形对边平行且相等的性质，在□ABCD中，AB//CD且AB=CD。由A(0,0)、B(5,0)可得AB长度为5，AB沿x轴方向，因此CD为水平线段，点C的纵坐标与D(2,3)的纵坐标相等，为3。结合CD=AB=5，可得点C的横坐标为2+5=7，因此顶点C的坐标是(7,3)。

4.如图,在$□ ABCD$中,过对角线交点$O$的直线与边$AB$,$CD$分别相交于点$E$,$F$.若$AB=4$,$AD=3$,$OE=1$,则四边形$BCFE$的周长为________.

9

∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=3，AB=CD=4，AB//CD，对角线互相平分即OA=OC，
∴ ∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴ △AOE≌△COF（ASA），
∴ CF=AE，OF=OE=1，
∴ EF=OE+OF=2，
四边形BCFE的周长 = BE + BC + CF + EF = BE + AE + BC + EF = AB + BC + EF = 4 + 3 + 2 = 9。

5. 在$□ ABCD$中，若$∠ B+∠ D=270°$，则$∠ C=$.

45°

根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。
1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠B=∠D，且∠B + ∠C = 180°。
2. 已知∠B + ∠D = 270°，将∠D替换为∠B，可得2∠B=270°，计算得∠B=135°。
3. 代入∠B + ∠C = 180°，解得∠C=180°-135°=45°。

6.已知直线$a// b// c$，且$a$与$b$之间的距离为$3\ \mathrm{cm}$，$b$与$c$之间的距离为$5\ \mathrm{cm}$，那么$a$与$c$之间的距离是________.

$2\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$

本题需分两种位置情况讨论三条平行线的相对位置求解：
1. 若直线b在直线a和直线c之间，此时a与c的距离为a、b的距离与b、c的距离之和，即$3\ \mathrm{cm} + 5\ \mathrm{cm} = 8\ \mathrm{cm}$；
2. 若直线c在直线a和直线b之间，此时a与c的距离为b、c的距离与a、b的距离之差，即$5\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 2\ \mathrm{cm}$。
综上可得a与c之间的距离为2cm或8cm。

7.如图,在$□ ABCD$中,$AE⊥ BC$于点$E$,$AF⊥ CD$于点$F$.若$AE=4$,$AF=6$,$□ ABCD$的周长为$40$,求$□ ABCD$的面积.

48

1. 利用平行四边形对边相等的性质，结合周长条件推导邻边和：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AD=BC，
∵ □ABCD的周长为40，
∴ 2(BC + CD) = 40，整理得 $ BC + CD = 20 $。
2. 用两组底和对应的高表示平行四边形面积，建立等量关系：
∵ AE⊥BC，AF⊥CD，AE=4，AF=6，
∴ 平行四边形面积可表示为 $ S_{□ ABCD} = BC · AE = 4BC $，也可表示为 $ S_{□ ABCD} = CD · AF = 6CD $，
因此可得等式：$ 4BC = 6CD $，化简得 $ 2BC = 3CD $。
3. 联立方程求解边长：
将 $ BC = 20 - CD $ 代入 $ 2BC = 3CD $，得：
$ 2(20 - CD) = 3CD $
$ 40 - 2CD = 3CD $
解得 $ CD = 8 $。
4. 代入计算平行四边形面积：
$ S_{□ ABCD} = CD · AF = 8 × 6 = 48 $。

8. 如图,已知四边形 ABCD 为平行四边形,AE,CF 分别平分$∠BAD$和$∠BCD$,交 BD 于点E,F,连接 AF,CE.
(1)若$∠BCF=68°$,求$∠ABC$的度数;
(2)求证$AE=CF$.

(1) $\boldsymbol{44°}$；
(2) 证明如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$，$∠ BAD=∠ BCD$，
∴ $∠ ABE=∠ CDF$，
∵ AE平分$∠ BAD$，CF平分$∠ BCD$，
∴ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ BCD$，
∴ $∠ BAE=∠ DCF$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ ABE=∠ CDF \\AB=CD \\∠ BAE=∠ DCF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=CF$。

(1) 由角平分线的定义可得∠BCD=2∠BCF，代入已知∠BCF=68°求出∠BCD的度数，再根据平行四边形对边平行、同旁内角互补的性质，即可计算出∠ABC的度数。
(2) 利用平行四边形的性质得到AB=CD，AB//CD，∠BAD=∠BCD，进而推出∠ABE=∠CDF，结合角平分线定义得到∠BAE=∠DCF，通过ASA证明△ABE≌△CDF，由全等三角形对应边相等即可证得AE=CF。