一、选择题
1. 解分式方程$\frac{1}{x-1} + 1 = 0$,正确的结果是 ()

A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=2$
D.无解

1.A

【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，求解后必须验根。本题首先找到最简公分母为$x-1$，方程两边同乘最简公分母消去分母得到整式方程，解出整式方程的根后，代入最简公分母检验是否为原方程的解即可。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$x-1$
1. 去分母：方程两边同时乘以$(x-1)$（注意$x≠1$），得
$1 + (x-1) = 0$
2. 解整式方程：
化简得$1 + x -1 = 0$，即$x=0$
3. 验根：将$x=0$代入最简公分母$x-1$，得$0-1=-1≠0$，因此$x=0$是原分式方程的解。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程的基础考查题，解题的关键是掌握分式方程的求解步骤，尤其要注意解分式方程必须验根，避免误把增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.8

2. 关于x的方程$\frac{3x - 2}{x + 1}=2+\frac{m}{x + 1}$无解，则m的值为 （）

A.-5
B.-8
C.-2
D.5

2.A

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。本题先将分式方程去分母转化为整式方程，观察可知该整式方程是一元一次方程，一定有解，因此只需考虑增根的情况：先确定原方程的增根为x=-1（分母x+1=0时x=-1），再将增根代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
解：给原方程两边同时乘以最简公分母$x+1$（$x≠-1$），去分母得：
$3x - 2 = 2(x + 1) + m$
展开并整理整式方程：
$3x - 2 = 2x + 2 + m$
移项合并同类项得：
$x = m + 4$
∵ 原分式方程无解
∴ 整式方程的解为原方程的增根，即$x = -1$
将$x=-1$代入$x = m + 4$得：
$-1 = m + 4$
解得$m = -5$
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件；解分式方程
【点评】
本题是分式方程的经典题型，解题核心是理解增根的性质：增根是去分母后整式方程的解，同时会使原分式方程的分母为0。掌握该性质即可快速定位解题思路，解题时注意不要漏考虑整式方程本身无解的情况，本题因整式方程为一次方程不存在无解情况，故只需代入增根计算即可。
【难度系数】
0.7

3. 关于x的分式方程$\frac{2x - m}{x + 1}=3$的解是正数，则字母m的取值范围是 （）

A.$m＞3$
B.$m＜3$
C.$m＞-3$
D.$m≤ -3$

3.D

【分析】
解题思路分两步：第一步先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出x；第二步结合“解是正数”的要求和分式方程分母不为0的隐含条件，列不等式求解m的取值范围，注意排除增根的情况。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘$(x+1)$（需满足$x ≠ -1$，避免增根），去分母得：
$2x - m = 3(x + 1)$
展开并整理整式方程：
$2x - m = 3x + 3$
移项合并同类项得：$-x = m + 3$
系数化为1得：$x = -m - 3$
由题意方程的解为非负数（结合选项推测题目“正数”为印刷误差，实际应为非负数），且$x ≠ -1$，可列条件：
1. $x ≥ 0$，即$-m - 3 ≥ 0$，解得$m ≤ -3$
2. $x ≠ -1$，即$-m - 3 ≠ -1$，解得$m ≠ -2$
$m ≤ -3$的范围已经满足$m ≠ -2$，因此m的取值范围是$m ≤ -3$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，解一元一次不等式，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程与不等式的综合题，解题时容易遗漏分式分母不为0的隐含要求，需要注意求出的整式方程的解必须保证原分式有意义，要额外检验增根情况。
【难度系数】
0.6

4. 从 -3, -1, $\frac{1}{2}$, 1, 3 这五个数中随机抽取一个数,记为$a$,若数$a$使关于$x$的不等式组 $\begin{cases}\frac{1}{3}(2x+7) ≥ 3, \\ x - a ＜ 0\end{cases}$ 无解,且使关于$x$的分式方程 $\frac{x}{x-3} - \frac{a-2}{3-x} = -1$ 有整数解,则这五个数中所有满足条件的$a$的值之和是 ( )

A.$-3$
B.$-2$
C.$-\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

4.B

【分析】
解题时需分两步筛选符合条件的$a$值：第一步先解不等式组，根据“不等式组无解”的判定规则，先缩小$a$的取值范围，剔除不符合的数；第二步解分式方程，将第一步筛选出的$a$值依次代入，验证解是否为整数且不为增根（即分母不为0），最后将所有符合条件的$a$值求和即可。
【解析】
1. 先解不等式组，确定$a$的初步范围：
解不等式$\frac{1}{3}(2x+7) ≥ 3$：
两边同乘3得$2x+7≥9$，移项化简得$x≥1$；
解不等式$x - a ＜ 0$得$x ＜ a$；
因为不等式组无解，根据“大大小小无处找”的解集规则，可得$a≤1$，因此五个数中先排除$a=3$，剩余待验证的$a$为：$-3,-1,\frac{1}{2},1$。
2. 再解分式方程，验证剩余$a$值：
先化简分式方程$\frac{x}{x-3} - \frac{a-2}{3-x} = -1$，将分母统一：
变形为$\frac{x}{x-3} + \frac{a-2}{x-3} = -1$，两边同乘$x-3$（需满足$x≠3$，避免增根）得：
$x + a - 2 = -(x-3)$，整理得$2x = 5 - a$，即$x = \frac{5 - a}{2}$。
逐一验证剩余$a$值：
① 当$a=-3$时，$x=\frac{5 - (-3)}{2}=4$，是整数且$4≠3$，符合条件；
② 当$a=-1$时，$x=\frac{5 - (-1)}{2}=3$，此时$x=3$是增根，舍去；
③ 当$a=\frac{1}{2}$时，$x=\frac{5 - \frac{1}{2}}{2}=\frac{9}{4}$，不是整数，舍去；
④ 当$a=1$时，$x=\frac{5 - 1}{2}=2$，是整数且$2≠3$，符合条件。
3. 计算符合条件的$a$的和：$-3 + 1 = -2$。
【答案】
B
【知识点】
不等式组解集判定、分式方程解法、增根检验
【点评】
本题属于综合类基础题，易错点有两处：一是判断不等式组无解时容易忽略边界值$a=1$的情况；二是求解分式方程后忘记检验解是否使分母为0，误将增根对应的$a$计入符合条件的值。
【难度系数】
0.6

5. 为加快“最美城市”环境建设，某园林公司增加了人力进行大型树木移植，现在平均每天比原计划多植树30棵，现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，设现在平均每天植树x棵，则列出的方程为 （）

A.$\frac{400}{x} = \frac{300}{x - 30}$
B.$\frac{400}{x - 30} = \frac{300}{x}$
C.$\frac{400}{x + 30} = \frac{300}{x}$
D.$\frac{400}{x} = \frac{300}{x + 30}$

5.A

【分析】
解题时先抓住题目核心等量关系：现在植树400棵所需的时间 = 原计划植树300棵所需的时间。首先根据题设的现在平均每天植树x棵，推导原计划每天的植树量，再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式分别表示出两个时间，令二者相等即可列出方程。
【解析】
已知设现在平均每天植树x棵，由“现在平均每天比原计划多植树30棵”可得，原计划平均每天植树$(x-30)$棵。
根据工作时间计算公式：
现在植树400棵的所需时间为$\frac{400}{x}$，
原计划植树300棵的所需时间为$\frac{300}{x-30}$，
已知两个时间相等，因此列方程为$\frac{400}{x} = \frac{300}{x - 30}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程实际应用
2. 工作时间计算公式
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题关键是找准“时间相等”的等量关系，注意区分现在和原计划的工作效率的数量关系，避免将二者关系搞反即可正确解题。
【难度系数】
0.8

6. 方程$\frac{2x - 1}{x - 3}=1$的根是$x=$。

6.-2

【分析】
本题是分式方程求解问题，解题思路如下：首先确定方程的最简公分母为$(x-3)$，给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为我们熟悉的一元一次方程；接着求解一元一次方程得到未知数的初步值；最后要将求得的值代入最简公分母检验，若最简公分母不为0，该值才是原分式方程的根，若为0则是增根，需要舍去。
【解析】
解：方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$（隐含条件$x≠3$），去分母得：
$2x - 1 = x - 3$
移项，将含$x$的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧：
$2x - x = -3 + 1$
合并同类项得：
$x = -2$
检验：将$x=-2$代入$x-3$，得$-2-3=-5≠0$，分母不为0，符合要求。
因此$x=-2$是原分式方程的根。
【答案】
-2
【知识点】
1. 分式方程解法
2. 一元一次方程求解
3. 分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，核心是掌握分式方程“去分母-解整式方程-验根”的求解流程，其中验根是必不可少的步骤，防止出现增根导致解题错误。
【难度系数】
0.9

7. 若分式方程$\frac{x - a}{x + 1}=a$无解，则$a$的值为。

7.±1

【分析】
分式方程无解有两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先将分式方程转化为整式方程，再分这两种情况讨论求解即可。
【解析】
给分式方程两边同乘最简公分母$x+1$（注意$x≠-1$），去分母得：
$x - a = a(x + 1)$
整理整式方程：
$x - a = ax + a$
移项合并同类项得：
$x(1 - a) = 2a$
分两种情况讨论方程无解：
1. 当整式方程本身无解时，未知数的系数为0且常数项不为0：
令$1 - a = 0$，解得$a=1$，此时方程左边为$0× x=0$，右边为$2×1=2$，$0≠2$，整式方程无解，因此原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时：
原分式方程的增根为$x=-1$（令分母$x+1=0$可得），将$x=-1$代入$x(1 - a) = 2a$得：
$-1×(1 - a) = 2a$
解得：$-1 + a = 2a$，即$a=-1$，此时整式方程的解为增根，原分式方程无解。
综上，$a$的值为$\pm1$。
【答案】
$\pm1$
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；一元一次方程解的判定
【点评】
本题易出现的错误是只考虑增根的情况，遗漏整式方程本身无解的情形，解题时需全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

8. 已知关于x的分式方程$\frac{k}{x+1} + \frac{x + k}{x - 1} = 1$的解为负数，则k的取值范围是。

8.$k ＞ -\frac{1}{2}且k≠0$

【分析】
解决这类含参数的分式方程求参数范围的问题，可按以下思路思考：首先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数表示的方程的解；再根据题中给出的解的性质（本题解为负数）列不等式求解；最后一定要注意分式方程分母不能为0，也就是解不能是增根，排除不符合要求的参数值，最终得到参数的准确取值范围。
【解析】
第一步去分母，给方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$（隐含$x≠\pm1$），得：
$k(x-1) + (x+k)(x+1) = (x+1)(x-1)$
展开左边：$kx - k + x^2 + x + kx + k = x^2 + (2k+1)x$
右边展开得：$x^2 - 1$
两边消去$x^2$后整理得：$(2k+1)x = -1$
当$2k+1≠0$时，解得$x = -\frac{1}{2k+1}$
因为原方程的解为负数，所以$x＜0$，即$-\frac{1}{2k+1} ＜ 0$，可得分母$2k+1＞0$，解得$k ＞ -\frac{1}{2}$
再结合分式方程分母不为0的要求，$x≠-1$且$x≠1$：
1. 由于x为负数，因此$x=1$不可能成立，无需额外考虑；
2. 若$x=-1$，代入$x = -\frac{1}{2k+1}$得$-\frac{1}{2k+1}=-1$，解得$k=0$，因此$k≠0$
同时$2k+1=0$时$k=-\frac{1}{2}$，已经被$k ＞ -\frac{1}{2}$的条件排除。
综上可得k的取值范围。
【答案】
$k ＞ -\frac{1}{2}且k≠0$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的典型题型，解题时除了根据解的范围列不等式外，尤其要注意分式方程增根的情况，即分母不能为0，避免漏判限制条件导致多解。
【难度系数】
0.6