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9.某工程队准备修建一条长1 200 m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务。若设原计划每天修建道路x m，则根据题意可列方程为
$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1+20\%)x}=2$
。答案
9.$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1+20\%)x}=2$
解析
【分析】
这是一道工程类的分式方程应用题，解题核心是先明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。我们可以先分别表示出原计划的工作时间和实际的工作时间，再根据“提前2天完成任务”的关键条件，找到等量关系：原计划工作时间 - 实际工作时间 = 2天，代入对应量即可列出方程。
【解析】
第一步：求原计划工作时间
已知工作总量为1200m，原计划每天修建道路x m，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得原计划完成任务的时间为$\frac{1200}{x}$天。
第二步：求实际工作时间
实际每天修建速度比原计划快20%，因此实际每天修建的长度为$(1+20\%)x$ m，同理可得实际完成任务的时间为$\frac{1200}{(1+20\%)x}$天。
第三步：根据等量关系列方程
由“提前2天完成任务”可知，原计划用时比实际用时多2天，因此可列方程：
$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1+20\%)x}=2$
【答案】
$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1+20\%)x}=2$
【知识点】
分式方程的实际应用、工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理不同场景下的工作效率、工作时间、工作总量三个量，抓住题干中的时间差作为等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.8
这是一道工程类的分式方程应用题，解题核心是先明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。我们可以先分别表示出原计划的工作时间和实际的工作时间，再根据“提前2天完成任务”的关键条件，找到等量关系：原计划工作时间 - 实际工作时间 = 2天，代入对应量即可列出方程。
【解析】
第一步：求原计划工作时间
已知工作总量为1200m，原计划每天修建道路x m，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得原计划完成任务的时间为$\frac{1200}{x}$天。
第二步：求实际工作时间
实际每天修建速度比原计划快20%，因此实际每天修建的长度为$(1+20\%)x$ m，同理可得实际完成任务的时间为$\frac{1200}{(1+20\%)x}$天。
第三步：根据等量关系列方程
由“提前2天完成任务”可知，原计划用时比实际用时多2天，因此可列方程：
$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1+20\%)x}=2$
【答案】
$\frac{1200}{x} - \frac{1200}{(1+20\%)x}=2$
【知识点】
分式方程的实际应用、工程问题数量关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，解题关键是准确梳理不同场景下的工作效率、工作时间、工作总量三个量，抓住题干中的时间差作为等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.8
10.已知A,B两地相距160 km,一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%,结果比原来提前0.4 h到达,这辆汽车原来的速度是
80
km/h。答案
10.80
解析
【分析】
这是行程类应用题，核心公式为路程=速度×时间。解题时可直接设汽车原来的速度为未知数，分别表示出原速行驶全程的时间和提速后行驶全程的时间，根据“原行驶时间 - 提速后行驶时间 = 提前的0.4h”这一等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
【解析】
解：设这辆汽车原来的速度是$ x $ km/h，则提速后的速度为$ (1+25\%)x=1.25x $ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{160}{x}-\frac{160}{1.25x}=0.4$
化简左边得：
$\frac{160}{x}-\frac{128}{x}=\frac{32}{x}$
即$\frac{32}{x}=0.4$
解得$x=80$
检验：当$x=80$时，$1.25x=100≠0$，且速度为正数符合实际意义，因此$x=80$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
80
【知识点】
分式方程的应用，行程问题等量关系
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题，解题关键是找准时间差的等量关系列方程，需注意解分式方程后要检验根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
这是行程类应用题，核心公式为路程=速度×时间。解题时可直接设汽车原来的速度为未知数，分别表示出原速行驶全程的时间和提速后行驶全程的时间，根据“原行驶时间 - 提速后行驶时间 = 提前的0.4h”这一等量关系列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
【解析】
解：设这辆汽车原来的速度是$ x $ km/h，则提速后的速度为$ (1+25\%)x=1.25x $ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{160}{x}-\frac{160}{1.25x}=0.4$
化简左边得：
$\frac{160}{x}-\frac{128}{x}=\frac{32}{x}$
即$\frac{32}{x}=0.4$
解得$x=80$
检验：当$x=80$时，$1.25x=100≠0$，且速度为正数符合实际意义，因此$x=80$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
80
【知识点】
分式方程的应用，行程问题等量关系
【点评】
本题是典型的分式方程实际应用题，解题关键是找准时间差的等量关系列方程，需注意解分式方程后要检验根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 解方程。
(1)$\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{1 - x}=4$；
(2)$\frac{2}{x + 3}=\frac{1}{x - 1}$。
11. 解方程。
(1)$\frac{x}{x - 1} + \frac{2}{1 - x}=4$；
(2)$\frac{2}{x + 3}=\frac{1}{x - 1}$。
答案
11. 解:(1)方程两边同乘$(x-1)$,得$x-2 = 4(x-1)$,整理得$-3x = -2$,解得$x = \frac{2}{3}$,经检验,$x = \frac{2}{3}$是原方程的根。
(2)去分母得$2x-2 = x+3$,解得$x=5$,经检验,$x=5$是原方程的根。
(2)去分母得$2x-2 = x+3$,解得$x=5$,经检验,$x=5$是原方程的根。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解，最后必须检验所得解是否使原方程分母为0，若使分母为0则为增根，需要舍去。
(1)观察方程可得两个分母$x-1$和$1-x$互为相反数，确定最简公分母为$x-1$，方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，求解后检验即可；
(2)该方程的两个分母为$x+3$和$x-1$，最简公分母为$(x+3)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母消去分母得到整式方程，求解后检验即可。
【解析】
(1)方程两边同乘$(x-1)$，得：
$x - 2 = 4(x-1)$
整理得：$-3x = -2$
解得：$x = \frac{2}{3}$
检验：当$x=\frac{2}{3}$时，$x-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}≠0$，因此$x=\frac{2}{3}$是原方程的根。
(2)方程两边同乘$(x+3)(x-1)$去分母，得：
$2(x-1) = x+3$
整理得：$2x-2 = x+3$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$(x+3)(x-1)=(5+3)×(5-1)=32≠0$，因此$x=5$是原方程的根。
【答案】
(1)$x=\frac{2}{3}$；(2)$x=5$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程的基础常规题，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，处理互为相反数的分母时要注意符号变化，养成解完分式方程主动检验的习惯，避免增根干扰。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为已学的整式方程求解，最后必须检验所得解是否使原方程分母为0，若使分母为0则为增根，需要舍去。
(1)观察方程可得两个分母$x-1$和$1-x$互为相反数，确定最简公分母为$x-1$，方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到整式方程，求解后检验即可；
(2)该方程的两个分母为$x+3$和$x-1$，最简公分母为$(x+3)(x-1)$，方程两边同时乘最简公分母消去分母得到整式方程，求解后检验即可。
【解析】
(1)方程两边同乘$(x-1)$，得：
$x - 2 = 4(x-1)$
整理得：$-3x = -2$
解得：$x = \frac{2}{3}$
检验：当$x=\frac{2}{3}$时，$x-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}≠0$，因此$x=\frac{2}{3}$是原方程的根。
(2)方程两边同乘$(x+3)(x-1)$去分母，得：
$2(x-1) = x+3$
整理得：$2x-2 = x+3$
解得：$x=5$
检验：当$x=5$时，$(x+3)(x-1)=(5+3)×(5-1)=32≠0$，因此$x=5$是原方程的根。
【答案】
(1)$x=\frac{2}{3}$；(2)$x=5$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程的基础常规题，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的项，处理互为相反数的分母时要注意符号变化，养成解完分式方程主动检验的习惯，避免增根干扰。
【难度系数】
0.8
12. 某商场购进甲、乙两种商品,乙商品的单价是甲商品单价的2倍,购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件,求两种商品的单价。
A. $\frac{400}{x}=\frac{300}{x - 30}$
B. $\frac{400}{x - 30}=\frac{300}{x}$
C. $\frac{400}{x + 30}=\frac{300}{x}$
D. $\frac{400}{x}=\frac{300}{x + 30}$
二、填空题
6. 方程$\frac{2x - 1}{x - 1}=1$的根是$x=$
7. 若分式方程$\frac{x - a}{x + 1}=a$无解,则$a$的值为
8. 已知关于$x$的分式方程$\frac{k}{x + 1}+\frac{x + k}{x - 1}=1$的解为负数,则$k$的取值范围是
A. $\frac{400}{x}=\frac{300}{x - 30}$
B. $\frac{400}{x - 30}=\frac{300}{x}$
C. $\frac{400}{x + 30}=\frac{300}{x}$
D. $\frac{400}{x}=\frac{300}{x + 30}$
二、填空题
6. 方程$\frac{2x - 1}{x - 1}=1$的根是$x=$
-2
7. 若分式方程$\frac{x - a}{x + 1}=a$无解,则$a$的值为
±1
8. 已知关于$x$的分式方程$\frac{k}{x + 1}+\frac{x + k}{x - 1}=1$的解为负数,则$k$的取值范围是
$k ＞ -\frac{1}{2}且k≠0$
答案
12. 解:设甲商品的单价为x元,则乙商品的单价为2x元,根据题意得$\frac{240}{x} - \frac{300}{2x}=15$,解这个方程得$x=6$,经检验,$x=6$是所列方程的根,$\therefore 2x = 2×6 = 12$。答:甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元。
解析
【分析】
本题是分式方程的实际应用题目，解题思路如下：首先根据甲、乙商品单价的倍数关系设定未知数，设甲商品单价为x元，则乙商品单价为2x元；再结合“数量=总价÷单价”的关系，找到核心等量关系：购买240元甲商品的数量减去购买300元乙商品的数量等于15件，据此列出分式方程；之后按照分式方程的求解步骤去分母、计算求解，最后检验根的合理性，再算出乙商品的单价即可。
【解析】
解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为2x元。
根据题意列方程：
$\frac{240}{x} - \frac{300}{2x}=15$
方程两边同时乘以最简公分母2x去分母，得：
$240×2 - 300 = 30x$
计算整理得：$180 = 30x$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$2x=12≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合商品单价的实际意义。
则乙商品的单价为$2x=2×6=12$（元）
答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元。
【答案】
甲商品单价为6元，乙商品单价为12元
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是找准购物场景下的数量等量关系，解题时要注意分式方程求出的根必须检验，既要满足方程本身，也要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程的实际应用题目，解题思路如下：首先根据甲、乙商品单价的倍数关系设定未知数，设甲商品单价为x元，则乙商品单价为2x元；再结合“数量=总价÷单价”的关系，找到核心等量关系：购买240元甲商品的数量减去购买300元乙商品的数量等于15件，据此列出分式方程；之后按照分式方程的求解步骤去分母、计算求解，最后检验根的合理性，再算出乙商品的单价即可。
【解析】
解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为2x元。
根据题意列方程：
$\frac{240}{x} - \frac{300}{2x}=15$
方程两边同时乘以最简公分母2x去分母，得：
$240×2 - 300 = 30x$
计算整理得：$180 = 30x$
解得：$x=6$
检验：当$x=6$时，$2x=12≠0$，所以$x=6$是原分式方程的解，且符合商品单价的实际意义。
则乙商品的单价为$2x=2×6=12$（元）
答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元。
【答案】
甲商品单价为6元，乙商品单价为12元
【知识点】
分式方程的应用，解分式方程，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是找准购物场景下的数量等量关系，解题时要注意分式方程求出的根必须检验，既要满足方程本身，也要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
