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13. 先化简,再求值:
(1)$(1 - \dfrac{1}{x + 1}) ÷ \dfrac{x - 2}{x + 1}$,从$-1,2,3$中选择一个适当的数作为$x$值代入;
(2)$(1 - \dfrac{2}{x}) ÷ \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} - \dfrac{x + 4}{x + 2}$,其中$x^2 + 2x - 15 = 0$。
(1)$(1 - \dfrac{1}{x + 1}) ÷ \dfrac{x - 2}{x + 1}$,从$-1,2,3$中选择一个适当的数作为$x$值代入;
(2)$(1 - \dfrac{2}{x}) ÷ \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} - \dfrac{x + 4}{x + 2}$,其中$x^2 + 2x - 15 = 0$。
答案
13.解:(1)原式 = $\frac{x}{x+1} · \frac{x+1}{x-2} = \frac{x}{x-2}$,当x=3时,原式 = $\frac{3}{3-2}=3$。
(2)原式 = $\frac{x-2}{x} · \frac{x+2}{x-2} - \frac{x+4}{x+2} = \frac{x+2}{x} - \frac{x+4}{x+2} = \frac{4}{x^2 +2x}$。$\because x^2 +2x -15 =0,\therefore x^2 +2x =15$,
$\therefore$ 原式 = $\frac{4}{15}$。
(2)原式 = $\frac{x-2}{x} · \frac{x+2}{x-2} - \frac{x+4}{x+2} = \frac{x+2}{x} - \frac{x+4}{x+2} = \frac{4}{x^2 +2x}$。$\because x^2 +2x -15 =0,\therefore x^2 +2x =15$,
$\therefore$ 原式 = $\frac{4}{15}$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：先按照分式混合运算顺序计算，首先计算括号内的减法，将1通分转化为分母为$x+1$的分式，与$\frac{1}{x+1}$相减；再将除法运算转化为乘法运算，约分得到最简分式。接下来根据分式有意义的条件：分母不为0、除式不为0，排除不可取的$x$值，选择合适的$x$代入最简式计算即可。
(2) 解题思路：先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行分式的减法运算，通分化简得到最简结果。观察已知方程$x^2+2x-15=0$，可直接得到$x^2+2x=15$，采用整体代入的方法代入最简式求值，不需要求解$x$的值，简化计算。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1})÷\frac{x-2}{x+1}\\&=\frac{x}{x+1}·\frac{x+1}{x-2}\\&=\frac{x}{x-2}\end{aligned}$
要使分式有意义，则$x+1≠0$且$x-2≠0$，即$x≠-1$，$x≠2$，因此选择$x=3$代入：
原式$=\frac{3}{3-2}=3$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{x}{x}-\frac{2}{x})÷\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}-\frac{x+4}{x+2}\\&=\frac{x-2}{x}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x+4}{x+2}\\&=\frac{x+2}{x}-\frac{x+4}{x+2}\\&=\frac{(x+2)^2 - x(x+4)}{x(x+2)}\\&=\frac{x^2+4x+4 - x^2-4x}{x^2+2x}\\&=\frac{4}{x^2+2x}\end{aligned}$
由$x^2+2x-15=0$可得$x^2+2x=15$，代入得：
原式$=\frac{4}{15}$。
【答案】
(1) $\frac{x}{x-2}$，代入$x=3$得$3$；
(2) $\frac{4}{15}$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，解题时需严格遵循分式运算顺序，注意代入的数值必须保证所有分式、除式均有意义，第二问运用整体代入的思想可避免求解一元二次方程，大幅简化计算过程，要熟练掌握这种解题技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：先按照分式混合运算顺序计算，首先计算括号内的减法，将1通分转化为分母为$x+1$的分式，与$\frac{1}{x+1}$相减；再将除法运算转化为乘法运算，约分得到最简分式。接下来根据分式有意义的条件：分母不为0、除式不为0，排除不可取的$x$值，选择合适的$x$代入最简式计算即可。
(2) 解题思路：先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行分式的减法运算，通分化简得到最简结果。观察已知方程$x^2+2x-15=0$，可直接得到$x^2+2x=15$，采用整体代入的方法代入最简式求值，不需要求解$x$的值，简化计算。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{x+1}{x+1}-\frac{1}{x+1})÷\frac{x-2}{x+1}\\&=\frac{x}{x+1}·\frac{x+1}{x-2}\\&=\frac{x}{x-2}\end{aligned}$
要使分式有意义，则$x+1≠0$且$x-2≠0$，即$x≠-1$，$x≠2$，因此选择$x=3$代入：
原式$=\frac{3}{3-2}=3$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{x}{x}-\frac{2}{x})÷\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x-2)}-\frac{x+4}{x+2}\\&=\frac{x-2}{x}·\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x+4}{x+2}\\&=\frac{x+2}{x}-\frac{x+4}{x+2}\\&=\frac{(x+2)^2 - x(x+4)}{x(x+2)}\\&=\frac{x^2+4x+4 - x^2-4x}{x^2+2x}\\&=\frac{4}{x^2+2x}\end{aligned}$
由$x^2+2x-15=0$可得$x^2+2x=15$，代入得：
原式$=\frac{4}{15}$。
【答案】
(1) $\frac{x}{x-2}$，代入$x=3$得$3$；
(2) $\frac{4}{15}$
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，解题时需严格遵循分式运算顺序，注意代入的数值必须保证所有分式、除式均有意义，第二问运用整体代入的思想可避免求解一元二次方程，大幅简化计算过程，要熟练掌握这种解题技巧。
【难度系数】
0.7
14.当x满足什么条件时，分式$\frac{2 - 3x}{4x^2 + 1}$的值：
(1)等于0？
(2)小于0？
(1)等于0？
(2)小于0？
答案
14.解:(1)由$\frac{2-3x}{4x^2 +1}=0$得2-3x=0,解得$x=\frac{2}{3}$。
(2)由$\frac{2-3x}{4x^2 +1}＜0$得2-3x＜0,解得$x＞\frac{2}{3}$。
(2)由$\frac{2-3x}{4x^2 +1}＜0$得2-3x＜0,解得$x＞\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
解决该分式值相关问题的第一步是先判断分母的取值范围：由于任意实数的平方是非负的，即$x^2≥0$，因此$4x^2+1≥1＞0$，分母恒为正数，无需考虑分母为0时分式无意义的情况。
(1) 分式值为0的要求是分子为0且分母不为0，此处分母恒不为0，因此只需令分子等于0解方程即可；
(2) 分式值小于0即分式为负数，根据“同号得正、异号得负”的符号法则，分母为正时，只需分子小于0，解对应的一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
先推导分母的取值：对任意实数x，都有$x^2≥0$，因此$4x^2≥0$，可得$4x^2+1≥1＞0$，分母恒为正数。
(1) 若分式值等于0，令分子为0：
$2-3x=0$
解得$x=\frac{2}{3}$
(2) 若分式值小于0，因分母恒为正，故令分子小于0：
$2-3x＜0$
移项得$-3x＜-2$，两边同除以-3，不等号方向改变，解得$x＞\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $x=\frac{2}{3}$
(2) $x＞\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 分式符号法则
3. 一元一次不等式解法
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是先通过平方的非负性判断分母恒为正，简化了计算步骤，熟练掌握分式的相关性质和不等式解法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解决该分式值相关问题的第一步是先判断分母的取值范围：由于任意实数的平方是非负的，即$x^2≥0$，因此$4x^2+1≥1＞0$，分母恒为正数，无需考虑分母为0时分式无意义的情况。
(1) 分式值为0的要求是分子为0且分母不为0，此处分母恒不为0，因此只需令分子等于0解方程即可；
(2) 分式值小于0即分式为负数，根据“同号得正、异号得负”的符号法则，分母为正时，只需分子小于0，解对应的一元一次不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
先推导分母的取值：对任意实数x，都有$x^2≥0$，因此$4x^2≥0$，可得$4x^2+1≥1＞0$，分母恒为正数。
(1) 若分式值等于0，令分子为0：
$2-3x=0$
解得$x=\frac{2}{3}$
(2) 若分式值小于0，因分母恒为正，故令分子小于0：
$2-3x＜0$
移项得$-3x＜-2$，两边同除以-3，不等号方向改变，解得$x＞\frac{2}{3}$
【答案】
(1) $x=\frac{2}{3}$
(2) $x＞\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 分式符号法则
3. 一元一次不等式解法
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题核心是先通过平方的非负性判断分母恒为正，简化了计算步骤，熟练掌握分式的相关性质和不等式解法即可快速求解。
【难度系数】
0.85
