登录
三、解答题
11.约分。
(1)$\dfrac{-5a^5bc^3}{25a^3bc^4}$；
(2)$\dfrac{x^2 - 2xy}{x^3 - 4x^2y + 4xy^2}$。
11.约分。
(1)$\dfrac{-5a^5bc^3}{25a^3bc^4}$；
(2)$\dfrac{x^2 - 2xy}{x^3 - 4x^2y + 4xy^2}$。
答案
11.解:(1)原式 = $-\frac{a^2}{5c}$
(2)原式 = $\frac{x(x-2y)}{x(x^2 -4xy +4y^2)} = \frac{x(x-2y)}{x(x-2y)^2} = \frac{1}{x-2y}$
(2)原式 = $\frac{x(x-2y)}{x(x^2 -4xy +4y^2)} = \frac{x(x-2y)}{x(x-2y)^2} = \frac{1}{x-2y}$
解析
【分析】
分式约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到最简分式。解题思路如下：
(1) 对于分子分母都是单项式的分式，先找公因式：公因式为系数的最大公约数、相同字母的最低次幂的乘积，约去公因式即可，同时注意符号的处理。
(2) 对于分子分母是多项式的分式，第一步先分别对分子、分母因式分解，再提取公因式约去，约分时要保证公因式不为0。
【解析】
(1) 先确定分子分母的公因式为$5a^3bc^3$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以公因式：
$\dfrac{-5a^5bc^3}{25a^3bc^4}=\dfrac{-5a^5bc^3÷ 5a^3bc^3}{25a^3bc^4÷ 5a^3bc^3}=-\dfrac{a^2}{5c}$
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2-2xy=x(x-2y)$
分母$x^3-4x^2y+4xy^2=x(x^2-4xy+4y^2)=x(x-2y)^2$
约去分子分母的公因式$x(x-2y)$（隐含条件$x≠0$且$x≠2y$）：
$\dfrac{x(x-2y)}{x(x-2y)^2}=\dfrac{1}{x-2y}$
【答案】
(1)$-\dfrac{a^2}{5c}$；(2)$\dfrac{1}{x-2y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质 2. 因式分解 3. 分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查约分的方法：单项式约分需准确找出系数和相同字母的公因式，多项式约分需先因式分解再找公因式，熟练掌握本题的解题方法是学习后续分式四则运算的基础。
【难度系数】
0.8
分式约分的核心是利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到最简分式。解题思路如下：
(1) 对于分子分母都是单项式的分式，先找公因式：公因式为系数的最大公约数、相同字母的最低次幂的乘积，约去公因式即可，同时注意符号的处理。
(2) 对于分子分母是多项式的分式，第一步先分别对分子、分母因式分解，再提取公因式约去，约分时要保证公因式不为0。
【解析】
(1) 先确定分子分母的公因式为$5a^3bc^3$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以公因式：
$\dfrac{-5a^5bc^3}{25a^3bc^4}=\dfrac{-5a^5bc^3÷ 5a^3bc^3}{25a^3bc^4÷ 5a^3bc^3}=-\dfrac{a^2}{5c}$
(2) 先对分子、分母分别因式分解：
分子$x^2-2xy=x(x-2y)$
分母$x^3-4x^2y+4xy^2=x(x^2-4xy+4y^2)=x(x-2y)^2$
约去分子分母的公因式$x(x-2y)$（隐含条件$x≠0$且$x≠2y$）：
$\dfrac{x(x-2y)}{x(x-2y)^2}=\dfrac{1}{x-2y}$
【答案】
(1)$-\dfrac{a^2}{5c}$；(2)$\dfrac{1}{x-2y}$
【知识点】
1. 分式的基本性质 2. 因式分解 3. 分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查约分的方法：单项式约分需准确找出系数和相同字母的公因式，多项式约分需先因式分解再找公因式，熟练掌握本题的解题方法是学习后续分式四则运算的基础。
【难度系数】
0.8
12.化简。
(1)$(\dfrac{b}{2a})^2 ÷ \dfrac{(-b)}{a} × (-\dfrac{3b}{4a})^3 × (\dfrac{4a}{3b})^2$；
(2)$\dfrac{x}{x^2 -1} · \dfrac{x^2 +x}{x^2}$；
(3)$\dfrac{x^2 -1}{x^2 +2x} ÷ \dfrac{x -1}{x}$；
(4)$\dfrac{a -1}{a} + \dfrac{1}{a}$；
(5)$\dfrac{x^2 -2x +1}{x^2 -1} + \dfrac{2}{x +1}$；
(1)$(\dfrac{b}{2a})^2 ÷ \dfrac{(-b)}{a} × (-\dfrac{3b}{4a})^3 × (\dfrac{4a}{3b})^2$；
(2)$\dfrac{x}{x^2 -1} · \dfrac{x^2 +x}{x^2}$；
(3)$\dfrac{x^2 -1}{x^2 +2x} ÷ \dfrac{x -1}{x}$；
(4)$\dfrac{a -1}{a} + \dfrac{1}{a}$；
(5)$\dfrac{x^2 -2x +1}{x^2 -1} + \dfrac{2}{x +1}$；
答案
12.解:(1)原式 = $\frac{b^2}{4a^2} × \frac{a}{(-b)} × (-\frac{27b^3}{64a^3}) × \frac{16a^2}{9b^2} = \frac{3b^2}{16a^2}$
(2)原式 = $\frac{x}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x^2} = \frac{1}{x-1}$
(3)原式 = $\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)} · \frac{x}{x-1} = \frac{x+1}{x+2}$
(4)原式 = $\frac{a-1+1}{a} =1$
(5)原式 = $\frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 -2x +1 +2x -2}{(x+1)(x-1)} =1$
(6)原式 = $\frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)} ÷ \frac{m-3}{m-2} = \frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)} · \frac{m-2}{m-3} = \frac{m+3}{3m}$
(2)原式 = $\frac{x}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x^2} = \frac{1}{x-1}$
(3)原式 = $\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)} · \frac{x}{x-1} = \frac{x+1}{x+2}$
(4)原式 = $\frac{a-1+1}{a} =1$
(5)原式 = $\frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 -2x +1 +2x -2}{(x+1)(x-1)} =1$
(6)原式 = $\frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)} ÷ \frac{m-3}{m-2} = \frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)} · \frac{m-2}{m-3} = \frac{m+3}{3m}$
解析
【分析】
解这道分式化简题，首先明确运算顺序：有括号先算括号内的运算，再算括号外的除法。第一步先对括号外的分式的分子、分母进行因式分解：分子$m^2-9$是平方差形式，可分解为$(m+3)(m-3)$，分母$3m^2-6m$提取公因式$3m$可得$3m(m-2)$；第二步计算括号内的异分母分式减法，将1通分为$\frac{m-2}{m-2}$，再和$\frac{1}{m-2}$相减，得到最简结果；第三步将分式除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），最后约去分子分母的公因式，得到最简分式即可。
【解析】
首先对各部分变形：
1. 因式分解被除式：$\frac{m^2-9}{3m^2-6m}=\frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)}$
2. 计算括号内的减法：$1-\frac{1}{m-2}=\frac{m-2}{m-2}-\frac{1}{m-2}=\frac{m-2-1}{m-2}=\frac{m-3}{m-2}$
3. 除法转乘法并约分：
原式$=\frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)} ÷ \frac{m-3}{m-2}$
$=\frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)} × \frac{m-2}{m-3}$
约去公因式$m-3$和$m-2$，得$\frac{m+3}{3m}$
【答案】
$\dfrac{m+3}{3m}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是遵守运算顺序，先处理括号内的运算，再对分子分母正确因式分解后约分，计算时要注意通分、因式分解的准确性，避免因符号或者公因式漏约出错。
【难度系数】
0.7
解这道分式化简题，首先明确运算顺序：有括号先算括号内的运算，再算括号外的除法。第一步先对括号外的分式的分子、分母进行因式分解：分子$m^2-9$是平方差形式，可分解为$(m+3)(m-3)$，分母$3m^2-6m$提取公因式$3m$可得$3m(m-2)$；第二步计算括号内的异分母分式减法，将1通分为$\frac{m-2}{m-2}$，再和$\frac{1}{m-2}$相减，得到最简结果；第三步将分式除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），最后约去分子分母的公因式，得到最简分式即可。
【解析】
首先对各部分变形：
1. 因式分解被除式：$\frac{m^2-9}{3m^2-6m}=\frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)}$
2. 计算括号内的减法：$1-\frac{1}{m-2}=\frac{m-2}{m-2}-\frac{1}{m-2}=\frac{m-2-1}{m-2}=\frac{m-3}{m-2}$
3. 除法转乘法并约分：
原式$=\frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)} ÷ \frac{m-3}{m-2}$
$=\frac{(m+3)(m-3)}{3m(m-2)} × \frac{m-2}{m-3}$
约去公因式$m-3$和$m-2$，得$\frac{m+3}{3m}$
【答案】
$\dfrac{m+3}{3m}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的核心是遵守运算顺序，先处理括号内的运算，再对分子分母正确因式分解后约分，计算时要注意通分、因式分解的准确性，避免因符号或者公因式漏约出错。
【难度系数】
0.7
