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15. 如图所示,A,O,B在一条直线上,OE平分∠COB,OD⊥OE于O,试说明OD平分∠AOC. 
答案
15. 解:因为 $OD ⊥ OE$,所以 $∠2 + ∠3 = 90°$,又因为 A,O,B 在一条直线上,所以 $∠AOB = 180°$,所以 $∠4 + ∠1 = 90°$,又因为 OE 平分 $∠BOC$,所以 $∠1 = ∠2$,所以 $∠3 = ∠4$,所以 OD 平分 $∠AOC$.
解析
【分析】
要说明OD平分∠AOC，本质是要证明∠3=∠4。我们可以从已知条件出发推导：首先由OD⊥OE可得∠2与∠3互余，再结合A、O、B共线得到∠AOB是平角，可推出∠1与∠4也互余；最后利用OE平分∠COB得到∠1=∠2，根据等角的余角相等即可证得∠3=∠4，从而得出结论。
【解析】
解：因为 $OD ⊥ OE$，所以 $∠2 + ∠3 = 90°$，
又因为 A，O，B 在一条直线上，所以 $∠AOB = 180°$，
所以 $∠4 + ∠1 = 90°$，
又因为 OE 平分 $∠BOC$，所以 $∠1 = ∠2$，
所以 $∠3 = ∠4$，
所以 OD 平分 $∠AOC$。
【答案】
OD平分$\boldsymbol{∠AOC}$
【知识点】
角平分线的判定，垂直的定义，余角的性质
【点评】
本题是角平分线判定的基础题型，解题核心是结合垂直、平角的性质得到两组互余的角，再利用等角的余角相等推导待证角相等，能够很好地训练基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要说明OD平分∠AOC，本质是要证明∠3=∠4。我们可以从已知条件出发推导：首先由OD⊥OE可得∠2与∠3互余，再结合A、O、B共线得到∠AOB是平角，可推出∠1与∠4也互余；最后利用OE平分∠COB得到∠1=∠2，根据等角的余角相等即可证得∠3=∠4，从而得出结论。
【解析】
解：因为 $OD ⊥ OE$，所以 $∠2 + ∠3 = 90°$，
又因为 A，O，B 在一条直线上，所以 $∠AOB = 180°$，
所以 $∠4 + ∠1 = 90°$，
又因为 OE 平分 $∠BOC$，所以 $∠1 = ∠2$，
所以 $∠3 = ∠4$，
所以 OD 平分 $∠AOC$。
【答案】
OD平分$\boldsymbol{∠AOC}$
【知识点】
角平分线的判定，垂直的定义，余角的性质
【点评】
本题是角平分线判定的基础题型，解题核心是结合垂直、平角的性质得到两组互余的角，再利用等角的余角相等推导待证角相等，能够很好地训练基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
16. 如图所示,已知∠1=∠2=∠3,∠GFA=36°,∠ACB=60°,AQ平分∠FAC.求∠HAQ的度数.
答案
16.$12°$
解析
【分析】
首先观察已知条件中∠1=∠2=∠3，可根据“同位角相等，两直线平行”先后推出GE//AH、AH//BD，进而得到GE//AH//BD；再利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，分别求出∠FAH和∠HAC的度数，相加得到∠FAC的总度数；接下来根据角平分线的定义求出∠FAQ的度数，最后用∠FAQ减去∠FAH的度数即可得到∠HAQ的大小。
【解析】
解：
∵∠1=∠2（已知）
∴GE//AH（同位角相等，两直线平行）
∴∠FAH=∠GFA=36°（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠2=∠3（已知）
∴AH//BD（同位角相等，两直线平行）
∴∠HAC=∠ACB=60°（两直线平行，内错角相等）
∴∠FAC=∠FAH + ∠HAC = 36° + 60° = 96°
∵AQ平分∠FAC（已知）
∴∠FAQ = $\frac{1}{2}$∠FAC = $\frac{1}{2}$×96° = 48°
∴∠HAQ = ∠FAQ - ∠FAH = 48° - 36° = 12°
【答案】
$12°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查平行线和角平分线相关知识的综合应用，解题的核心是通过角的等量关系推导平行线，再利用平行线的性质完成角的转化，结合角平分线的定义即可算出待求角度。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件中∠1=∠2=∠3，可根据“同位角相等，两直线平行”先后推出GE//AH、AH//BD，进而得到GE//AH//BD；再利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，分别求出∠FAH和∠HAC的度数，相加得到∠FAC的总度数；接下来根据角平分线的定义求出∠FAQ的度数，最后用∠FAQ减去∠FAH的度数即可得到∠HAQ的大小。
【解析】
解：
∵∠1=∠2（已知）
∴GE//AH（同位角相等，两直线平行）
∴∠FAH=∠GFA=36°（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠2=∠3（已知）
∴AH//BD（同位角相等，两直线平行）
∴∠HAC=∠ACB=60°（两直线平行，内错角相等）
∴∠FAC=∠FAH + ∠HAC = 36° + 60° = 96°
∵AQ平分∠FAC（已知）
∴∠FAQ = $\frac{1}{2}$∠FAC = $\frac{1}{2}$×96° = 48°
∴∠HAQ = ∠FAQ - ∠FAH = 48° - 36° = 12°
【答案】
$12°$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题侧重考查平行线和角平分线相关知识的综合应用，解题的核心是通过角的等量关系推导平行线，再利用平行线的性质完成角的转化，结合角平分线的定义即可算出待求角度。
【难度系数】
0.7
17. 如图所示,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)∠1与∠3的大小有什么关系?为什么?∠2与∠4呢?
(2)反射光线BC与EF也平行吗?
(1)∠1与∠3的大小有什么关系?为什么?∠2与∠4呢?
(2)反射光线BC与EF也平行吗?
答案
17.(1)相等;两直线平行,同位角相等;相等 (2)平行
解析
【分析】
(1) 首先已知入射光线AB和DE平行，根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可直接得到∠1和∠3的大小关系；再结合题目给出的反射角相等的条件∠1=∠2、∠3=∠4，通过等量代换就能推出∠2和∠4的关系。
(2) 判断两条直线是否平行，可通过平行线的判定定理验证，观察∠2和∠4是直线BC、EF被BE所截的同位角，若同位角相等，则两条直线平行。
【解析】
(1) ∠1=∠3，理由：
∵ AB、DE是平行光线，即AB//DE
∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
又
∵ 已知镜面反射时∠1=∠2，∠3=∠4
∴ ∠2=∠4（等量代换）
(2) BC//EF，理由：
∵ 已证得∠2=∠4，∠2和∠4是直线BC、EF被直线BE所截形成的同位角
∴ BC//EF（同位角相等，两直线平行）
【答案】
(1) ∠1与∠3相等，依据为两直线平行，同位角相等；∠2与∠4相等
(2) 反射光线BC与EF平行
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题结合生活中镜面反射的实际场景，考查平行线的性质与判定的综合应用，解题时需准确识别同位角，理清性质和判定的适用场景，有助于培养学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.85
(1) 首先已知入射光线AB和DE平行，根据平行线的性质，两直线平行同位角相等，可直接得到∠1和∠3的大小关系；再结合题目给出的反射角相等的条件∠1=∠2、∠3=∠4，通过等量代换就能推出∠2和∠4的关系。
(2) 判断两条直线是否平行，可通过平行线的判定定理验证，观察∠2和∠4是直线BC、EF被BE所截的同位角，若同位角相等，则两条直线平行。
【解析】
(1) ∠1=∠3，理由：
∵ AB、DE是平行光线，即AB//DE
∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
又
∵ 已知镜面反射时∠1=∠2，∠3=∠4
∴ ∠2=∠4（等量代换）
(2) BC//EF，理由：
∵ 已证得∠2=∠4，∠2和∠4是直线BC、EF被直线BE所截形成的同位角
∴ BC//EF（同位角相等，两直线平行）
【答案】
(1) ∠1与∠3相等，依据为两直线平行，同位角相等；∠2与∠4相等
(2) 反射光线BC与EF平行
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题结合生活中镜面反射的实际场景，考查平行线的性质与判定的综合应用，解题时需准确识别同位角，理清性质和判定的适用场景，有助于培养学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.85
