登录
二、填空题
9.如图所示,在屋架上加一根横梁DE,已知∠ABC=31°,当∠ADE=
9.如图所示,在屋架上加一根横梁DE,已知∠ABC=31°,当∠ADE=
31°
就能使DE//BC.答案
9.31°
解析
【分析】
解题时首先明确目标是使DE//BC，需回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。观察图形可知∠ADE和∠ABC是直线DE、BC被直线AB所截形成的同位角，因此只要两个角相等即可满足平行条件，结合已知∠ABC的度数就能求出∠ADE的度数。
【解析】
解：根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
若要DE//BC，则需∠ADE=∠ABC，
已知∠ABC=31°，
因此∠ADE=31°。
【答案】
31°
【知识点】
平行线的判定；同位角的识别
【点评】
本题是平行线判定的基础应用，解题的核心是准确找到对应的同位角，利用判定规则建立角的等量关系即可快速求解，属于对基础概念和规则的直接考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确目标是使DE//BC，需回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。观察图形可知∠ADE和∠ABC是直线DE、BC被直线AB所截形成的同位角，因此只要两个角相等即可满足平行条件，结合已知∠ABC的度数就能求出∠ADE的度数。
【解析】
解：根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。
若要DE//BC，则需∠ADE=∠ABC，
已知∠ABC=31°，
因此∠ADE=31°。
【答案】
31°
【知识点】
平行线的判定；同位角的识别
【点评】
本题是平行线判定的基础应用，解题的核心是准确找到对应的同位角，利用判定规则建立角的等量关系即可快速求解，属于对基础概念和规则的直接考查。
【难度系数】
0.9
10. 如图所示,将一个宽度相等的纸条按图那样折叠一下,则∠1=
60°
.答案
10.60°
解析
【分析】
解题首先明确两个核心已知条件：第一，宽度相等的纸条对边互相平行，可应用平行线的性质推导角的关系；第二，折叠操作的本质是折叠前后重合的对应角大小相等。接下来结合平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，可得到∠1和它折叠重合的对应角的和等于图中120°的已知角，最后根据两个角相等的倍数关系即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 宽度相等的纸条对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得折叠后两个重合角的和为120°。
又
∵ 折叠前后对应角相等，即与∠1折叠重合的角和∠1大小相等，
∴ 2∠1 = 120°，
解得∠1 = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活中的折叠场景考查基础几何性质的应用，解题的关键是准确挖掘折叠隐含的等角关系和平行线带来的角的等量关系，属于角度计算类的常规题型。
【难度系数】
0.7
解题首先明确两个核心已知条件：第一，宽度相等的纸条对边互相平行，可应用平行线的性质推导角的关系；第二，折叠操作的本质是折叠前后重合的对应角大小相等。接下来结合平行线“两直线平行，内错角相等”的性质，可得到∠1和它折叠重合的对应角的和等于图中120°的已知角，最后根据两个角相等的倍数关系即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 宽度相等的纸条对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得折叠后两个重合角的和为120°。
又
∵ 折叠前后对应角相等，即与∠1折叠重合的角和∠1大小相等，
∴ 2∠1 = 120°，
解得∠1 = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；角度计算
【点评】
本题结合生活中的折叠场景考查基础几何性质的应用，解题的关键是准确挖掘折叠隐含的等角关系和平行线带来的角的等量关系，属于角度计算类的常规题型。
【难度系数】
0.7
如图所示，$AB// CD$，$CE$平分$∠ ACD$，$∠ A=110°$，则$∠ ECD=$
35°
。答案
11.35°
解析
【分析】
解题时可按两步思考：第一步，根据已知AB平行CD，利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，求出∠ACD的度数；第二步，结合CE是∠ACD的角平分线，根据角平分线的定义，即可求出∠ECD的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$
∴$∠A + ∠ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠A=110°$，代入得：
$∠ACD = 180° - 110° = 70°$
又
∵$CE$平分$∠ACD$
∴$∠ECD = \frac{1}{2}∠ACD = \frac{1}{2}×70° = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，将平行线性质与角平分线定义结合考察，解题关键是准确识别平行线的同旁内角，牢记相关性质和定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按两步思考：第一步，根据已知AB平行CD，利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，求出∠ACD的度数；第二步，结合CE是∠ACD的角平分线，根据角平分线的定义，即可求出∠ECD的度数。
【解析】
解：
∵$AB// CD$
∴$∠A + ∠ACD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠A=110°$，代入得：
$∠ACD = 180° - 110° = 70°$
又
∵$CE$平分$∠ACD$
∴$∠ECD = \frac{1}{2}∠ACD = \frac{1}{2}×70° = 35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，将平行线性质与角平分线定义结合考察，解题关键是准确识别平行线的同旁内角，牢记相关性质和定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
12.如图所示,AC⊥BC,CD⊥AB于D,AC=6,BC=8,AB=10,则A、C两点间的距离是
6
,点B到AC的距离是8
,AC＞CD的依据是垂线段最短
.答案
12.6 8 垂线段最短
解析
【分析】
解题时可对应三个问题依次匹配对应知识点思考：①求两点间的距离，需回忆两点间距离的定义：连接两点的线段的长度就是两点间的距离，直接提取已知的线段AC长度即可；②求点到直线的距离，需回忆点到直线距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，已知AC⊥BC，因此BC就是点B到AC的垂线段，取BC的长度即可；③分析AC＞CD的依据，先明确CD是点C到AB的垂线段，AC是点C到AB的斜线段，结合垂线段的相关性质即可得到结论。
【解析】
1. 根据两点间距离的定义，A、C两点间的距离为线段AC的长度，已知AC=6，因此第一个空填6；
2. 根据点到直线的距离的定义，点B到AC的距离是点B到直线AC的垂线段的长度，由AC⊥BC可知线段BC是点B到AC的垂线段，已知BC=8，因此第二个空填8；
3. 已知CD⊥AB，即CD是点C到直线AB的垂线段，AC是连接点C与直线AB上点A的斜线段，根据垂线段最短的性质，可得AC＞CD，因此第三个空的依据是垂线段最短。
【答案】
6；8；垂线段最短
【知识点】
两点间的距离；点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】
本题侧重考查几何基础概念和性质，解题的关键是准确区分两点间距离、点到直线的距离的概念，牢记垂线段的相关性质。
【难度系数】
0.9
解题时可对应三个问题依次匹配对应知识点思考：①求两点间的距离，需回忆两点间距离的定义：连接两点的线段的长度就是两点间的距离，直接提取已知的线段AC长度即可；②求点到直线的距离，需回忆点到直线距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，已知AC⊥BC，因此BC就是点B到AC的垂线段，取BC的长度即可；③分析AC＞CD的依据，先明确CD是点C到AB的垂线段，AC是点C到AB的斜线段，结合垂线段的相关性质即可得到结论。
【解析】
1. 根据两点间距离的定义，A、C两点间的距离为线段AC的长度，已知AC=6，因此第一个空填6；
2. 根据点到直线的距离的定义，点B到AC的距离是点B到直线AC的垂线段的长度，由AC⊥BC可知线段BC是点B到AC的垂线段，已知BC=8，因此第二个空填8；
3. 已知CD⊥AB，即CD是点C到直线AB的垂线段，AC是连接点C与直线AB上点A的斜线段，根据垂线段最短的性质，可得AC＞CD，因此第三个空的依据是垂线段最短。
【答案】
6；8；垂线段最短
【知识点】
两点间的距离；点到直线的距离；垂线段的性质
【点评】
本题侧重考查几何基础概念和性质，解题的关键是准确区分两点间距离、点到直线的距离的概念，牢记垂线段的相关性质。
【难度系数】
0.9
三、解答题
13. 如图所示,请写出能够得到直线$AB// CD$的所有直接条件.
13. 如图所示,请写出能够得到直线$AB// CD$的所有直接条件.
答案
13.$∠2=∠5$ $∠3=∠8$ $∠1=∠6$ $∠4=∠7$
$∠4=∠5$ $∠3=∠6$ $∠4+∠6=180°$ $∠3+∠5=180°$
$∠4=∠5$ $∠3=∠6$ $∠4+∠6=180°$ $∠3+∠5=180°$
解析
【分析】
要判定直线$AB// CD$，可依据平行线的三类判定定理推导对应角的关系：第一步先回忆平行线的判定规则：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，均能推出两直线平行；第二步识别图中截线与$AB$、$CD$形成的同位角、内错角、同旁内角，分别对应写出满足判定的条件即可，注意有序梳理避免遗漏所有符合要求的直接条件。
【解析】
根据平行线的判定定理，分三类整理符合要求的条件：
1. 同位角相等，两直线平行
图中$AB$、$CD$被截线形成的同位角对有$∠ 1$与$∠ 6$、$∠ 2$与$∠ 5$、$∠ 3$与$∠ 8$、$∠ 4$与$∠ 7$，对应判定条件为：$∠ 1=∠ 6$，$∠ 2=∠ 5$，$∠ 3=∠ 8$，$∠ 4=∠ 7$；
2. 内错角相等，两直线平行
图中$AB$、$CD$被截线形成的内错角对有$∠ 3$与$∠ 6$、$∠ 4$与$∠ 5$，对应判定条件为：$∠ 3=∠ 6$，$∠ 4=∠ 5$；
3. 同旁内角互补，两直线平行
图中$AB$、$CD$被截线形成的同旁内角对有$∠ 3$与$∠ 5$、$∠ 4$与$∠ 6$，对应判定条件为：$∠ 3+∠ 5=180°$，$∠ 4+∠ 6=180°$。
以上所有条件均可直接得到$AB// CD$。
【答案】
$∠ 2=∠ 5$ $∠ 3=∠ 8$ $∠ 1=∠ 6$ $∠ 4=∠ 7$
$∠ 4=∠ 5$ $∠ 3=∠ 6$ $∠ 4+∠ 6=180°$ $∠ 3+∠ 5=180°$
【知识点】
平行线的判定；同位角；内错角与同旁内角
【点评】
本题核心是对平行线判定定理的应用，需要准确识别三线八角的不同类型角，再对应判定条件梳理即可，解题时要注意按类别有序查找，避免漏写符合要求的条件。
【难度系数】
0.8
要判定直线$AB// CD$，可依据平行线的三类判定定理推导对应角的关系：第一步先回忆平行线的判定规则：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，均能推出两直线平行；第二步识别图中截线与$AB$、$CD$形成的同位角、内错角、同旁内角，分别对应写出满足判定的条件即可，注意有序梳理避免遗漏所有符合要求的直接条件。
【解析】
根据平行线的判定定理，分三类整理符合要求的条件：
1. 同位角相等，两直线平行
图中$AB$、$CD$被截线形成的同位角对有$∠ 1$与$∠ 6$、$∠ 2$与$∠ 5$、$∠ 3$与$∠ 8$、$∠ 4$与$∠ 7$，对应判定条件为：$∠ 1=∠ 6$，$∠ 2=∠ 5$，$∠ 3=∠ 8$，$∠ 4=∠ 7$；
2. 内错角相等，两直线平行
图中$AB$、$CD$被截线形成的内错角对有$∠ 3$与$∠ 6$、$∠ 4$与$∠ 5$，对应判定条件为：$∠ 3=∠ 6$，$∠ 4=∠ 5$；
3. 同旁内角互补，两直线平行
图中$AB$、$CD$被截线形成的同旁内角对有$∠ 3$与$∠ 5$、$∠ 4$与$∠ 6$，对应判定条件为：$∠ 3+∠ 5=180°$，$∠ 4+∠ 6=180°$。
以上所有条件均可直接得到$AB// CD$。
【答案】
$∠ 2=∠ 5$ $∠ 3=∠ 8$ $∠ 1=∠ 6$ $∠ 4=∠ 7$
$∠ 4=∠ 5$ $∠ 3=∠ 6$ $∠ 4+∠ 6=180°$ $∠ 3+∠ 5=180°$
【知识点】
平行线的判定；同位角；内错角与同旁内角
【点评】
本题核心是对平行线判定定理的应用，需要准确识别三线八角的不同类型角，再对应判定条件梳理即可，解题时要注意按类别有序查找，避免漏写符合要求的条件。
【难度系数】
0.8
14. 如图所示，∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD是∠AOB的平分线，∠EOC = 2∠BOE，∠DOE = 72°,求∠EOC的度数.
答案
14.$∠EOC=72°$
解析
【分析】
首先梳理已知条件：1. ∠AOB与∠BOC互为邻补角，可得∠AOB+∠BOC=180°；2. OD是∠AOB的平分线，因此∠DOB=½∠AOB；3. ∠EOC=2∠BOE，说明∠BOC可拆分为3倍的∠BOE。我们采用设未知数列方程的方法求解，先设∠BOE为x，即可用含x的式子表示出∠EOC、∠BOC、∠DOB，再结合∠DOE=72°建立等式，算出x后就能求出∠EOC的度数。
【解析】
解：设∠BOE = x
∵ ∠EOC = 2∠BOE
∴ ∠EOC = 2x，∠BOC = ∠BOE + ∠EOC = 3x
∵ ∠AOB与∠BOC互为邻补角
∴ ∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 3x
∵ OD是∠AOB的平分线
∴ ∠DOB = ½∠AOB = ½(180° - 3x) = 90° - $\frac{3}{2}$x
又
∵ ∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = 72°
代入得：$90° - \frac{3}{2}x + x = 72°$
整理得：$90° - \frac{1}{2}x = 72°$
解得：x = 36°
∴ ∠EOC = 2x = 2×36° = 72°
【答案】
∠EOC=72°
【知识点】
邻补角的性质；角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，结合了邻补角、角平分线的核心性质，用设未知数列方程的方法梳理角度间的数量关系，逻辑清晰，能帮助学生掌握几何计算中方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：1. ∠AOB与∠BOC互为邻补角，可得∠AOB+∠BOC=180°；2. OD是∠AOB的平分线，因此∠DOB=½∠AOB；3. ∠EOC=2∠BOE，说明∠BOC可拆分为3倍的∠BOE。我们采用设未知数列方程的方法求解，先设∠BOE为x，即可用含x的式子表示出∠EOC、∠BOC、∠DOB，再结合∠DOE=72°建立等式，算出x后就能求出∠EOC的度数。
【解析】
解：设∠BOE = x
∵ ∠EOC = 2∠BOE
∴ ∠EOC = 2x，∠BOC = ∠BOE + ∠EOC = 3x
∵ ∠AOB与∠BOC互为邻补角
∴ ∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 3x
∵ OD是∠AOB的平分线
∴ ∠DOB = ½∠AOB = ½(180° - 3x) = 90° - $\frac{3}{2}$x
又
∵ ∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = 72°
代入得：$90° - \frac{3}{2}x + x = 72°$
整理得：$90° - \frac{1}{2}x = 72°$
解得：x = 36°
∴ ∠EOC = 2x = 2×36° = 72°
【答案】
∠EOC=72°
【知识点】
邻补角的性质；角平分线的定义；角度计算
【点评】
本题是角度计算的常规题型，结合了邻补角、角平分线的核心性质，用设未知数列方程的方法梳理角度间的数量关系，逻辑清晰，能帮助学生掌握几何计算中方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
