1. 如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以点B为圆心,BO的长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则∠O的度数为 ()

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

1.C

【分析】
解题时先从作图步骤入手，首先明确以同一点为圆心画出的弧上的点到圆心的距离相等，也就是半径相等：第一步以O为圆心画弧，所以OB和OC都是⊙O的半径，可得OB=OC；第二步以B为圆心、BO长为半径画弧得到点C，所以BC是⊙B的半径，可得BC=BO，由此推出△OBC三边相等，判定其为等边三角形，再根据等边三角形内角为60°的性质即可求出∠O的度数。
【解析】
根据尺规作图的过程：
1. 以O为圆心画弧时，OB、OC均为该圆的半径，因此$\boldsymbol{OB=OC}$；
2. 以B为圆心，BO长为半径画弧交前弧于点C，因此BC为该圆的半径，$\boldsymbol{BC=BO}$；
3. 由上述结论可得$OB=OC=BC$，因此$△ OBC$是等边三角形；
4. 等边三角形的三个内角均为$60°$，因此$∠ O=60°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题将尺规作图与等边三角形的知识结合考查，解题的核心是通过作图步骤提炼出线段的等量关系，属于基础题，只要掌握等边三角形的判定和性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

2.如图,在等边$△ ABC$中,BD是AC边上的中线,延长BC至点E,使$CE=CD$.若$DE=4$,则
$BD=$
()

A.2
B.3
C.4
D.5

2.C

【分析】
解题时先利用等边三角形的性质，由BD是中线结合“三线合一”得到∠DBC的度数；再根据CE=CD得出△CDE为等腰三角形，结合三角形外角的性质求出∠E的度数；最后通过等角对等边判断BD与DE的等量关系，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是AC边上的中线，根据等边三角形“三线合一”的性质，BD平分∠ABC
∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°
∵CE=CD
∴△CDE是等腰三角形，∠CDE=∠E
又
∵∠ACB是△CDE的外角
∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E=60°
解得∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°
根据等角对等边，可得BD=DE
∵DE=4
∴BD=4
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础类考题，重点考查等腰三角形和等边三角形性质的综合运用，解题的突破口是通过角度推导得到等角，进而推导出边的相等关系，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8

3.(2025·资阳)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE//DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是.

3.∠BCE=∠B(答案不唯一)

【分析】
解题时先从已知条件入手推导：首先由CE//DA，结合平行线的同位角相等可得∠BEC=∠A，再结合已知∠A=∠B，可推出∠BEC=∠B，得到△BCE是等腰三角形（CE=BC）。接下来回忆等边三角形的判定定理：三个角相等的三角形是等边三角形，或有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，或三边相等的三角形是等边三角形，只需补充满足以上判定的条件即可。
【解析】
已知CE//DA，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠BEC=∠A。
又
∵∠A=∠B，
∴∠BEC=∠B，
∴CE=BC，即△BCE为等腰三角形。
若添加条件∠BCE=∠B，则有∠B=∠BEC=∠BCE，根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”，可判定△BCE是等边三角形。
（注：添加∠A=60°、BC=BE、CE=BE等符合判定要求的条件均可）
【答案】
∠BCE=∠B（答案不唯一）
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的判定；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于条件开放型题目，核心考查等边三角形判定的灵活运用，解题时需先梳理已知条件推导得到隐含的等腰三角形结论，再补充对应条件即可，答案不唯一，符合逻辑即可。
【难度系数】
0.7

4.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$AB=4$,以点$B$为圆心,$BC$的长为半径画弧,交边$AB$于点$D$,连接$CD$,则$CD$的长为________.

4.2

【分析】
解题时先利用含30°角的直角三角形的性质求出BC的长度，再根据作图规则得到BD=BC，随后计算∠ABC的度数，判断△BCD的形状，最终根据等边三角形的性质得到CD的长度。具体思路：①首先回忆30°角在直角三角形中的特殊性质，30°角所对直角边等于斜边的一半，可直接求出BC的长；②根据题意“以B为圆心，BC长为半径画弧”可得BD=BC，可知△BCD是等腰三角形；③利用三角形内角和求出∠B的度数，结合等腰三角形的条件可判定△BCD是等边三角形，等边三角形三边相等，即可得CD的长。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
再根据三角形内角和为180°，可得：
∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-90°-30°=60°
由作图规则可知，BD是圆B的半径，因此$BD=BC=2$，即△BCD为等腰三角形
又因为∠ABC=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△BCD是等边三角形
因此$CD=BC=2$
【答案】
2
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，将直角三角形的特殊性质和等边三角形的判定结合考查，解题的关键是准确把握作图的含义，判断出△BCD的形状，主要考察学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8

5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AB$,$AC$边的垂直平分线分别交$BC$于点$E$,$D$,连接$AE$,$AD$.求证:$△ AED$是等边三角形.

证明:
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=1/2(180°−∠BAC)=1/2×(180°−120°)=30°.
∵AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点E,D,
∴AE=BE,AD=CD,
∴∠BAE=∠B=30°,∠CAD=∠C=30°,
∴∠AED=∠B+∠BAE=60°,∠ADE=∠C+∠CAD=60°,
∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=180°−60°−60°=60°,
∴△ADE是等边三角形.

【分析】
要证明△AED是等边三角形，可通过证明其三个内角均为60°实现。首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，先求出△ABC的底角∠B和∠C的度数；再利用线段垂直平分线的性质得到AE=BE、AD=CD，结合等边对等角推出∠BAE=∠B、∠CAD=∠C；接着通过三角形外角的性质求出∠AED、∠ADE的度数，最后用三角形内角和求出∠DAE的度数，三个角均为60°即可判定△AED为等边三角形。
【解析】
证明:
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°−120°)=30°.
∵AB,AC边的垂直平分线分别交BC于点E,D,
∴AE=BE,AD=CD,
∴∠BAE=∠B=30°,∠CAD=∠C=30°,
∴∠AED=∠B+∠BAE=60°,∠ADE=∠C+∠CAD=60°,
∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=180°−60°−60°=60°,
∴△ADE是等边三角形.
【答案】
△AED是等边三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了多个常见几何性质的应用，解题核心是通过角度推导得到三角形三个内角均为60°，能够帮助学生梳理几何证明的逻辑，巩固相关知识点的应用。
【难度系数】
0.7

6. 如图，$△ ABC$ 为等边三角形，$M$ 是线段 $BC$ 上的任意一点，$N$ 是线段 $CA$ 上的任意一点，且 $BM=CN$，直线 $BN$ 与 $AM$ 交于点 $Q$。
(1)求证：$△ BAN≌△ ACM$；
(2)求 $∠ BQM$ 的度数。

(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°.
∵BM=CN,
∴CM=AN.
在△BAN和△ACM中,
$\begin{cases} BA=AC, \\ ∠ BAN=∠ ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)解:
∵△BAN≌△ACM,
∴∠CAM=∠ABN,
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.

【分析】
(1)要证明△BAN≌△ACM，首先根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAN=∠ACM=60°，再结合已知BM=CN，可推导出AN=CM，满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2)求∠BQM的度数时，先利用全等三角形的对应角相等得到∠CAM=∠ABN，再结合角的和差关系，将∠BQM转化为等边三角形的内角∠BAC，即可求出度数。
【解析】
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°.
∵BM=CN,
∴BC-BM=AC-CN，即CM=AN.
在△BAN和△ACM中,
$\begin{cases} BA=AC, \\ ∠ BAN=∠ ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS).
(2)解:
∵△BAN≌△ACM,
∴∠CAM=∠ABN,
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.
【答案】
(1)△BAN≌△ACM得证；
(2)∠BQM=60°
【知识点】
等边三角形性质，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础常考题，解题核心是熟练运用等边三角形的边角性质推导全等条件，再通过全等的性质实现角度转化，进而求出目标角的度数，能较好地考查学生对三角形基础性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7