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一、选择题
1. 如图,在$□ ABCD$中,用直尺和圆规作$∠BAD$的平分线$AG$交$BC$于点$E$,若$BF=6,AB=5$,则$AE$的长为 （
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
1. 如图,在$□ ABCD$中,用直尺和圆规作$∠BAD$的平分线$AG$交$BC$于点$E$,若$BF=6,AB=5$,则$AE$的长为 （
C
）A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先结合尺规作角平分线的特征，得到△ABF为等腰三角形，AG是其顶角平分线，根据等腰三角形三线合一可推出AG垂直平分BF，得到BG的长度及∠AGB=90°；再利用平行四边形AD//BC的性质，结合角平分线得到的等角，推导得出△ABE为等腰三角形，可知AE被G点平分；最后在Rt△ABG中用勾股定理求出AG的长度，即可得到AE的总长。
【解析】
设AE与BF交于点G。
1. 由尺规作角平分线的作图过程可知，AB=AF，AG平分∠BAD，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得AG⊥BF，且$BG=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×6=3$。
2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA。
3.
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=5，即△ABE为等腰三角形。
4. 又
∵AG⊥BF，根据等腰三角形三线合一，G为AE中点，即AE=2AG。
5. 在Rt△ABG中，由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，因此$AE=2×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是结合尺规作图的特征挖掘隐含的等腰三角形，再通过平行四边形的性质和角的等量代换推导出第二个等腰三角形，最后结合勾股定理计算线段长度，是几何中角度推导与线段计算结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合尺规作角平分线的特征，得到△ABF为等腰三角形，AG是其顶角平分线，根据等腰三角形三线合一可推出AG垂直平分BF，得到BG的长度及∠AGB=90°；再利用平行四边形AD//BC的性质，结合角平分线得到的等角，推导得出△ABE为等腰三角形，可知AE被G点平分；最后在Rt△ABG中用勾股定理求出AG的长度，即可得到AE的总长。
【解析】
设AE与BF交于点G。
1. 由尺规作角平分线的作图过程可知，AB=AF，AG平分∠BAD，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得AG⊥BF，且$BG=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×6=3$。
2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA。
3.
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=5，即△ABE为等腰三角形。
4. 又
∵AG⊥BF，根据等腰三角形三线合一，G为AE中点，即AE=2AG。
5. 在Rt△ABG中，由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，因此$AE=2×4=8$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的关键是结合尺规作图的特征挖掘隐含的等腰三角形，再通过平行四边形的性质和角的等量代换推导出第二个等腰三角形，最后结合勾股定理计算线段长度，是几何中角度推导与线段计算结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. 有下列说法:①在$△ ABC$中,如果$∠ C - ∠ B = ∠ A$,那么$△ ABC$是直角三角形;②在$△ ABC$中,如果$c^2 - a^2 = b^2$,那么$△ ABC$是直角三角形;③在$△ ABC$中,如果$(a + b) · (a - b) = c^2$,那么$∠ A = 90°$;④在$△ ABC$中,如果$a:b:c = 2:3:4$,那么$△ ABC$不是直角三角形. 其中说法正确的是 (
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
D
)A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，需逐个分析4个说法，结合三角形内角和定理、勾股定理的逆定理逐一验证正误，最终选出正确选项。解题思路：首先回忆直角三角形的两种判定依据：一是有一个内角为90°，二是三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，再对每个说法分别推导即可。
【解析】
我们对4个说法逐一验证：
1. 验证说法①：
根据三角形内角和定理，△ABC中$∠A+∠B+∠C=180°$，已知$∠C-∠B=∠A$，整理得$∠A+∠B=∠C$，代入内角和公式得$∠C+∠C=180°$，解得$∠C=90°$，因此△ABC是直角三角形，①正确。
2. 验证说法②：
已知$c^2 - a^2 = b^2$，移项得$a²+b²=c²$，符合勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，②正确。
3. 验证说法③：
先化简等式$(a+b)(a-b)=c²$，根据平方差公式展开左边得$a² -b² =c²$，移项得$a² =b² +c²$，根据勾股定理的逆定理，最长边$a$对应的角$∠A$为直角，即$∠A=90°$，③正确。
4. 验证说法④：
已知$a:b:c=2:3:4$，设$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（$k＞0$），分别计算三边平方：
$a²=(2k)²=4k²$，$b²=(3k)²=9k²$，$c²=(4k)²=16k²$，
较短两边平方和为$a²+b²=4k²+9k²=13k²≠16k²=c²$，不满足勾股定理的逆定理，因此△ABC不是直角三角形，④正确。
综上，①②③④都正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的判定；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查直角三角形的判定方法，解题时需注意：通过边的关系判断直角时，要明确最长边对应的角是直角，不要混淆边和角的对应关系；遇到边长比例的问题时，可设参数表示三边长度再计算平方关系，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，需逐个分析4个说法，结合三角形内角和定理、勾股定理的逆定理逐一验证正误，最终选出正确选项。解题思路：首先回忆直角三角形的两种判定依据：一是有一个内角为90°，二是三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，再对每个说法分别推导即可。
【解析】
我们对4个说法逐一验证：
1. 验证说法①：
根据三角形内角和定理，△ABC中$∠A+∠B+∠C=180°$，已知$∠C-∠B=∠A$，整理得$∠A+∠B=∠C$，代入内角和公式得$∠C+∠C=180°$，解得$∠C=90°$，因此△ABC是直角三角形，①正确。
2. 验证说法②：
已知$c^2 - a^2 = b^2$，移项得$a²+b²=c²$，符合勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，②正确。
3. 验证说法③：
先化简等式$(a+b)(a-b)=c²$，根据平方差公式展开左边得$a² -b² =c²$，移项得$a² =b² +c²$，根据勾股定理的逆定理，最长边$a$对应的角$∠A$为直角，即$∠A=90°$，③正确。
4. 验证说法④：
已知$a:b:c=2:3:4$，设$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$（$k＞0$），分别计算三边平方：
$a²=(2k)²=4k²$，$b²=(3k)²=9k²$，$c²=(4k)²=16k²$，
较短两边平方和为$a²+b²=4k²+9k²=13k²≠16k²=c²$，不满足勾股定理的逆定理，因此△ABC不是直角三角形，④正确。
综上，①②③④都正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形的判定；勾股定理的逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查直角三角形的判定方法，解题时需注意：通过边的关系判断直角时，要明确最长边对应的角是直角，不要混淆边和角的对应关系；遇到边长比例的问题时，可设参数表示三边长度再计算平方关系，降低计算难度。
【难度系数】
0.8
3. [2025·驻马店一模]如下左图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作$AE ⊥ BC$于点E,连接OE.若$OB=6$,菱形ABCD的面积为54,则OE的长为(
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
B
)A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的性质与直角三角形斜边中线的性质：首先菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。第一步先根据OB的长度求出对角线BD的长，再结合菱形面积求出AC的长度，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求出OE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OB=OD，AC⊥BD，AC=2AO=2OC，
∴ BD=2OB=2×6=12，
∵ 菱形ABCD的面积为54，且菱形面积$S=\frac{1}{2}AC· BD$，
∴ $\frac{1}{2}×AC×12=54$，
解得 $AC=9$，
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEC=90°，即△AEC是直角三角形，
又
∵ O是AC的中点，
∴ 在Rt△AEC中，OE是斜边AC上的中线，
∴ $OE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线性质，菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用菱形的性质求出对角线AC的长度，再结合直角三角形的特殊性质得到OE与AC的数量关系，需要熟练掌握特殊四边形的性质和直角三角形的相关定理。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆菱形的性质与直角三角形斜边中线的性质：首先菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。第一步先根据OB的长度求出对角线BD的长，再结合菱形面积求出AC的长度，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求出OE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OB=OD，AC⊥BD，AC=2AO=2OC，
∴ BD=2OB=2×6=12，
∵ 菱形ABCD的面积为54，且菱形面积$S=\frac{1}{2}AC· BD$，
∴ $\frac{1}{2}×AC×12=54$，
解得 $AC=9$，
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEC=90°，即△AEC是直角三角形，
又
∵ O是AC的中点，
∴ 在Rt△AEC中，OE是斜边AC上的中线，
∴ $OE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×9=4.5$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线性质，菱形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是熟练运用菱形的性质求出对角线AC的长度，再结合直角三角形的特殊性质得到OE与AC的数量关系，需要熟练掌握特殊四边形的性质和直角三角形的相关定理。
【难度系数】
0.7
4. 如上右图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格,正六边形的顶点称为格点,若$△ ABC$的顶点都在格点上,AB边如图所示,则使$△ ABC$是直角三角形的点C有 (
A.12个
B.10个
C.8个
D.6个
B
)A.12个
B.10个
C.8个
D.6个
答案
4. B
解析
【分析】
解题采用分类讨论的思路，分两种大情况分析：①AB为直角三角形的直角边；②AB为直角三角形的斜边。结合正六边形各边相等、内角为120°、对角线夹角存在直角的特征，分别在两类情况中数出符合要求的格点C的数量，最后相加得到总数即可，计数时注意不要重复、不要遗漏。
【解析】
我们分两类统计符合要求的点C：
1. 当AB为直角边时：
过点A作AB的垂线，观察格点分布，这条垂线上共有4个格点可作为点C；
过点B作AB的垂线，观察格点分布，这条垂线上共有4个格点可作为点C；
此类情况共4+4=8个符合条件的点C。
2. 当AB为斜边时：
根据“直径所对的圆周角为直角”的性质，此时点C在以AB为直径的圆上，查找格点可得符合要求的点C共有2个。
两类相加，总共有8+2=10个符合条件的点C。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质；直角三角形的判定；分类讨论计数
【点评】
本题结合正六边形网格考查直角三角形的判定，解题关键是合理划分分类标准，逐一计数，避免漏算或重复计数，能有效锻炼几何观察能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
解题采用分类讨论的思路，分两种大情况分析：①AB为直角三角形的直角边；②AB为直角三角形的斜边。结合正六边形各边相等、内角为120°、对角线夹角存在直角的特征，分别在两类情况中数出符合要求的格点C的数量，最后相加得到总数即可，计数时注意不要重复、不要遗漏。
【解析】
我们分两类统计符合要求的点C：
1. 当AB为直角边时：
过点A作AB的垂线，观察格点分布，这条垂线上共有4个格点可作为点C；
过点B作AB的垂线，观察格点分布，这条垂线上共有4个格点可作为点C；
此类情况共4+4=8个符合条件的点C。
2. 当AB为斜边时：
根据“直径所对的圆周角为直角”的性质，此时点C在以AB为直径的圆上，查找格点可得符合要求的点C共有2个。
两类相加，总共有8+2=10个符合条件的点C。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质；直角三角形的判定；分类讨论计数
【点评】
本题结合正六边形网格考查直角三角形的判定，解题关键是合理划分分类标准，逐一计数，避免漏算或重复计数，能有效锻炼几何观察能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
二、填空题
1. [2023·平顶山一模]如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,E,H分别为AD,CD的中点,沿BE将△ABE折叠,若点A恰好落在BH上的F处,则AD=
1. [2023·平顶山一模]如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,E,H分别为AD,CD的中点,沿BE将△ABE折叠,若点A恰好落在BH上的F处,则AD=
$6\sqrt{2}$
.答案
1. $6\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是矩形折叠类的几何计算题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合E是AD中点的条件，证明Rt△EFH和Rt△EDH全等，得到FH的长度，进而求出BH的总长度；最后在Rt△BCH中利用勾股定理列方程，即可求解AD的长度。
【解析】
解：设$AD=x$，
∵四边形ABCD是矩形，$AB=6$，
∴$AB=CD=6$，$AD=BC=x$，$∠ A=∠ D=∠ C=90°$，
∵E、H分别为AD、CD的中点，
∴$AE=ED=\frac{1}{2}x$，$DH=CH=3$，
由折叠的性质可得：$AB=BF=6$，$AE=EF$，$∠ BFE=∠ A=90°$，
∴$EF=ED$，$∠ EFH=∠ D=90°$，
在$Rt△ EFH$和$Rt△ EDH$中：
$\begin{cases}EF=ED \\EH=EH \end{cases}$
∴$Rt△ EFH≌Rt△ EDH(HL)$，
∴$FH=DH=3$，
∴$BH=BF+FH=6+3=9$，
在$Rt△ BCH$中，由勾股定理得：
$BC^2+CH^2=BH^2$，
即$x^2+3^2=9^2$，
解得$x^2=72$，
∵$x＞0$，
∴$x=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、折叠的性质和勾股定理的应用，解题关键是通过全等三角形求出BH的长度，再利用勾股定理建立方程求解，是几何中常见的折叠计算类题型。
【难度系数】
0.65
这是矩形折叠类的几何计算题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合E是AD中点的条件，证明Rt△EFH和Rt△EDH全等，得到FH的长度，进而求出BH的总长度；最后在Rt△BCH中利用勾股定理列方程，即可求解AD的长度。
【解析】
解：设$AD=x$，
∵四边形ABCD是矩形，$AB=6$，
∴$AB=CD=6$，$AD=BC=x$，$∠ A=∠ D=∠ C=90°$，
∵E、H分别为AD、CD的中点，
∴$AE=ED=\frac{1}{2}x$，$DH=CH=3$，
由折叠的性质可得：$AB=BF=6$，$AE=EF$，$∠ BFE=∠ A=90°$，
∴$EF=ED$，$∠ EFH=∠ D=90°$，
在$Rt△ EFH$和$Rt△ EDH$中：
$\begin{cases}EF=ED \\EH=EH \end{cases}$
∴$Rt△ EFH≌Rt△ EDH(HL)$，
∴$FH=DH=3$，
∴$BH=BF+FH=6+3=9$，
在$Rt△ BCH$中，由勾股定理得：
$BC^2+CH^2=BH^2$，
即$x^2+3^2=9^2$，
解得$x^2=72$，
∵$x＞0$，
∴$x=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、折叠的性质和勾股定理的应用，解题关键是通过全等三角形求出BH的长度，再利用勾股定理建立方程求解，是几何中常见的折叠计算类题型。
【难度系数】
0.65
2. [2024·许昌二模]如图,在$□ ABCD$中,$AD=3$,对角线AC与BD相交于点O,$AC+BD=10$,则$△ BOC$的周长为
8
.答案
2. 8
解析
【分析】
要计算△BOC的周长，需先明确其三边的长度关系：①首先回忆平行四边形的性质，平行四边形对边相等，可得BC=AD；平行四边形对角线互相平分，可得OB是BD的一半、OC是AC的一半。②已知AC+BD=10，可先求出OB与OC的和，再加上BC的长度，即可得到△BOC的周长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3（平行四边形对边相等），
OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC（平行四边形对角线互相平分）。
∵AC+BD=10，
∴OB+OC=$\frac{1}{2}$(AC+BD)=$\frac{1}{2}$×10=5。
∴△BOC的周长=OB+OC+BC=5+3=8。
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题考查平行四边形性质的基础应用，解题的核心是利用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，将未知线段转化为已知线段进行求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
要计算△BOC的周长，需先明确其三边的长度关系：①首先回忆平行四边形的性质，平行四边形对边相等，可得BC=AD；平行四边形对角线互相平分，可得OB是BD的一半、OC是AC的一半。②已知AC+BD=10，可先求出OB与OC的和，再加上BC的长度，即可得到△BOC的周长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3（平行四边形对边相等），
OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC（平行四边形对角线互相平分）。
∵AC+BD=10，
∴OB+OC=$\frac{1}{2}$(AC+BD)=$\frac{1}{2}$×10=5。
∴△BOC的周长=OB+OC+BC=5+3=8。
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题考查平行四边形性质的基础应用，解题的核心是利用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，将未知线段转化为已知线段进行求解，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
