登录
15.某校举行大型活动,用甲、乙两架无人机进行航拍.若无人机在上升过程中匀速飞行,甲无人机先从地面起飞,在空中停留一会儿后继续按原速度上升,此时乙无人机从地面起飞.无人机所在高度$ h $(单位:m)与甲无人机起飞时间$ t $(单位:s)之间的关系如图所示.根据图象回答下列问题:
(1)甲无人机在空中停留时的高度是
(2)求甲无人机的上升速度；
(3)若两架无人机所在的高度相差$ 12 \ \mathrm{m} $,直接写出此时$ t $的值.
(1)甲无人机在空中停留时的高度是
20
m,甲无人机起飞14
s后,乙无人机开始起飞；(2)求甲无人机的上升速度；
(3)若两架无人机所在的高度相差$ 12 \ \mathrm{m} $,直接写出此时$ t $的值.
答案
解:(1)20 14
(2)$20÷5=4(\mathrm{m/s})$.
答:甲无人机的上升速度为$4\ \mathrm{m/s}$.
(3)乙无人机的上升速度是 $60÷(24-14)=60÷10=6(\mathrm{m/s})$,根据题意,得$4t=12$ 或 $20+4(t-14)-6(t-14)=12$ 或 $6(t-14)-[20+4(t-14)]=12$. 解得$t=3$ 或 $t=18$ 或 $t=30$.
因此,当$t$的值为3或18或30时,两架无人机所在的高度相差12 m.
(2)$20÷5=4(\mathrm{m/s})$.
答:甲无人机的上升速度为$4\ \mathrm{m/s}$.
(3)乙无人机的上升速度是 $60÷(24-14)=60÷10=6(\mathrm{m/s})$,根据题意,得$4t=12$ 或 $20+4(t-14)-6(t-14)=12$ 或 $6(t-14)-[20+4(t-14)]=12$. 解得$t=3$ 或 $t=18$ 或 $t=30$.
因此,当$t$的值为3或18或30时,两架无人机所在的高度相差12 m.
解析
【分析】
解题时先明确横、纵坐标的含义：横坐标t是甲无人机的起飞时间，纵坐标h是无人机的高度。(1)问直接从图象中找甲水平段对应的高度、乙起飞对应的t值即可；(2)问匀速运动的速度等于上升高度除以上升时间，选取甲上升阶段的对应数据计算即可；(3)问先求出乙的上升速度，再分三种情况讨论：①乙未起飞时，甲的高度为12m；②乙起飞后甲高度高于乙12m；③乙起飞后乙高度高于甲12m，分别列一元一次方程求解，注意检验解是否符合对应时间段的范围。
【解析】
(1) 观察图象可知，甲无人机在5~14s高度保持20m不变，即停留时高度为20m；乙无人机在t=14s时才从地面开始上升，即甲起飞14s后乙开始起飞。
(2) 甲无人机0~5s匀速上升20m，上升速度为：
$v_甲=\frac{20\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}}=4\ \mathrm{m/s}$
(3) 先求乙无人机的上升速度：乙在14s~24s共10s上升了60m，因此
$v_乙=\frac{60\ \mathrm{m}}{24\ \mathrm{s}-14\ \mathrm{s}}=6\ \mathrm{m/s}$
分三种情况讨论：
① 当$0＜t＜14$时，乙未起飞，高度为0，若两架无人机高度差12m，即甲的高度为12m，列方程：$4t=12$，解得$t=3$，符合取值范围；
② 当$t≥14$时，甲的高度为$20+4(t-14)$，乙的高度为$6(t-14)$，若甲比乙高12m，列方程：$20+4(t-14)-6(t-14)=12$，解得$t=18$，符合取值范围；
③ 当$t≥14$时，若乙比甲高12m，列方程：$6(t-14)-[20+4(t-14)]=12$，解得$t=30$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{20}$，$\boxed{14}$
(2) $\boxed{4\ \mathrm{m/s}}$
(3) $\boxed{3}$或$\boxed{18}$或$\boxed{30}$
【知识点】
函数图象识别，匀速运动计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合实际航拍场景考查图象信息提取能力和分类讨论思想，解题关键是准确写出不同时间段两架无人机的高度表达式，分类讨论时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先明确横、纵坐标的含义：横坐标t是甲无人机的起飞时间，纵坐标h是无人机的高度。(1)问直接从图象中找甲水平段对应的高度、乙起飞对应的t值即可；(2)问匀速运动的速度等于上升高度除以上升时间，选取甲上升阶段的对应数据计算即可；(3)问先求出乙的上升速度，再分三种情况讨论：①乙未起飞时，甲的高度为12m；②乙起飞后甲高度高于乙12m；③乙起飞后乙高度高于甲12m，分别列一元一次方程求解，注意检验解是否符合对应时间段的范围。
【解析】
(1) 观察图象可知，甲无人机在5~14s高度保持20m不变，即停留时高度为20m；乙无人机在t=14s时才从地面开始上升，即甲起飞14s后乙开始起飞。
(2) 甲无人机0~5s匀速上升20m，上升速度为：
$v_甲=\frac{20\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{s}}=4\ \mathrm{m/s}$
(3) 先求乙无人机的上升速度：乙在14s~24s共10s上升了60m，因此
$v_乙=\frac{60\ \mathrm{m}}{24\ \mathrm{s}-14\ \mathrm{s}}=6\ \mathrm{m/s}$
分三种情况讨论：
① 当$0＜t＜14$时，乙未起飞，高度为0，若两架无人机高度差12m，即甲的高度为12m，列方程：$4t=12$，解得$t=3$，符合取值范围；
② 当$t≥14$时，甲的高度为$20+4(t-14)$，乙的高度为$6(t-14)$，若甲比乙高12m，列方程：$20+4(t-14)-6(t-14)=12$，解得$t=18$，符合取值范围；
③ 当$t≥14$时，若乙比甲高12m，列方程：$6(t-14)-[20+4(t-14)]=12$，解得$t=30$，符合取值范围。
【答案】
(1) $\boxed{20}$，$\boxed{14}$
(2) $\boxed{4\ \mathrm{m/s}}$
(3) $\boxed{3}$或$\boxed{18}$或$\boxed{30}$
【知识点】
函数图象识别，匀速运动计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合实际航拍场景考查图象信息提取能力和分类讨论思想，解题关键是准确写出不同时间段两架无人机的高度表达式，分类讨论时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
16. (新定义题)现规定$[m]$为不大于$m$的最大整数,如$[5.3]=5,[-5.3]=-6$.
(1)在下图中画出满足上述定义的函数$y=5-[m](0≤m＜5)$的图象.
(2)某共享单车的计费规则为骑行时长在$1\ \mathrm{h}$以内,每半小时计费$1$元(不足半小时按半小时计费),骑行时长超出$1\ \mathrm{h}$的部分,每小时计费$0.5$元(不足$1\ \mathrm{h}$的部分不计费).请用含“$[\ \ ]$”的式子表示:骑行时长超出$1\ \mathrm{h}$时,所收取的费用$y=$
(1)在下图中画出满足上述定义的函数$y=5-[m](0≤m＜5)$的图象.
(2)某共享单车的计费规则为骑行时长在$1\ \mathrm{h}$以内,每半小时计费$1$元(不足半小时按半小时计费),骑行时长超出$1\ \mathrm{h}$的部分,每小时计费$0.5$元(不足$1\ \mathrm{h}$的部分不计费).请用含“$[\ \ ]$”的式子表示:骑行时长超出$1\ \mathrm{h}$时,所收取的费用$y=$
2+[m-1]×0.5
.由此计算骑行$4.7\ \mathrm{h}$,应收费3.5
元.答案
解:(1)函数$y=5-[m](0≤ m＜5)$的图象如图所示
.(2)$2+[m-1]×0.5$ 3.5
解析
【分析】
（1）首先理解新定义$[m]$为不大于$m$的最大整数，将定义域$0≤ m＜5$按$[m]$的取值划分为5个区间，分别计算每个区间内$y=5-[m]$的定值，再根据区间左闭右开的性质，确定线段端点的虚实（左端点实心、右端点空心），依次绘制各段水平线段即可得到函数图象。
（2）先计算骑行1小时的基础费用：1小时包含2个半小时，每半小时1元，因此基础费用为2元。骑行时长超出1h时，超出部分为$(m-1)h$，不足1h的部分不计费，即超出部分的计费时长为$[m-1]$，乘以超出部分的单价0.5元/小时，再加上基础费用即可得到总费用$y$的表达式；将$m=4.7$代入表达式计算即可得到对应收费金额。
【解析】
（1）分区间讨论$y=5-[m]$的取值：
①当$0≤ m＜1$时，$[m]=0$，则$y=5-0=5$；
②当$1≤ m＜2$时，$[m]=1$，则$y=5-1=4$；
③当$2≤ m＜3$时，$[m]=2$，则$y=5-2=3$；
④当$3≤ m＜4$时，$[m]=3$，则$y=5-3=2$；
⑤当$4≤ m＜5$时，$[m]=4$，则$y=5-4=1$。
每个区间绘制水平线段，左端点为实心点，右端点为空心点，得到对应函数图象。
（2）1小时以内的费用：1小时包含2个半小时，每半小时收费1元，因此1小时的基础费用为$2×1=2$元。
当骑行时长$m＞1$时，超出1小时的时长为$(m-1)h$，由于不足1h的部分不计费，因此超出部分的计费时长为$[m-1]$，超出部分费用为$0.5×[m-1]$，因此总费用$y=2+0.5[m-1]$。
当骑行时长为$4.7h$时，$m-1=4.7-1=3.7$，根据定义得$[3.7]=3$，代入计算得$y=2+3×0.5=3.5$元。
【答案】
(1)函数$y=5-[m](0≤ m＜5)$的图象如图所示。
(2)$2+[m-1]×0.5$；$3.5$
【知识点】
新定义运算；分段函数；函数的实际应用
【点评】
本题以新定义取整函数为载体，考查了分段函数图象的绘制以及函数在实际计费问题中的应用，解题的核心是准确理解取整符号的含义，结合区间划分和实际规则分析计算，能够有效考查学生的知识迁移能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）首先理解新定义$[m]$为不大于$m$的最大整数，将定义域$0≤ m＜5$按$[m]$的取值划分为5个区间，分别计算每个区间内$y=5-[m]$的定值，再根据区间左闭右开的性质，确定线段端点的虚实（左端点实心、右端点空心），依次绘制各段水平线段即可得到函数图象。
（2）先计算骑行1小时的基础费用：1小时包含2个半小时，每半小时1元，因此基础费用为2元。骑行时长超出1h时，超出部分为$(m-1)h$，不足1h的部分不计费，即超出部分的计费时长为$[m-1]$，乘以超出部分的单价0.5元/小时，再加上基础费用即可得到总费用$y$的表达式；将$m=4.7$代入表达式计算即可得到对应收费金额。
【解析】
（1）分区间讨论$y=5-[m]$的取值：
①当$0≤ m＜1$时，$[m]=0$，则$y=5-0=5$；
②当$1≤ m＜2$时，$[m]=1$，则$y=5-1=4$；
③当$2≤ m＜3$时，$[m]=2$，则$y=5-2=3$；
④当$3≤ m＜4$时，$[m]=3$，则$y=5-3=2$；
⑤当$4≤ m＜5$时，$[m]=4$，则$y=5-4=1$。
每个区间绘制水平线段，左端点为实心点，右端点为空心点，得到对应函数图象。
（2）1小时以内的费用：1小时包含2个半小时，每半小时收费1元，因此1小时的基础费用为$2×1=2$元。
当骑行时长$m＞1$时，超出1小时的时长为$(m-1)h$，由于不足1h的部分不计费，因此超出部分的计费时长为$[m-1]$，超出部分费用为$0.5×[m-1]$，因此总费用$y=2+0.5[m-1]$。
当骑行时长为$4.7h$时，$m-1=4.7-1=3.7$，根据定义得$[3.7]=3$，代入计算得$y=2+3×0.5=3.5$元。
【答案】
(1)函数$y=5-[m](0≤ m＜5)$的图象如图所示
。(2)$2+[m-1]×0.5$；$3.5$
【知识点】
新定义运算；分段函数；函数的实际应用
【点评】
本题以新定义取整函数为载体，考查了分段函数图象的绘制以及函数在实际计费问题中的应用，解题的核心是准确理解取整符号的含义，结合区间划分和实际规则分析计算，能够有效考查学生的知识迁移能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
