9. 若$(m^2 + n^2)(1 - m^2 - n^2) + 6 = 0$，则$m^2 + n^2$的值为（）。

A.3
B.$-2$
C.3或$-2$
D.$-3$或2

9. A

【分析】
观察方程可发现$m^2+n^2$重复出现，可通过换元法将复杂的原式简化为我们熟悉的一元二次方程求解；另外要注意平方数具有非负性，因此$m^2+n^2$的取值一定大于等于0，求出方程的根后需要结合这个隐含条件验证，排除不符合的解。解题时先换元，再整理方程求解，最后验根即可。
【解析】
解：设$x=m^2+n^2$，根据平方的非负性可知$x≥0$。
将$x=m^2+n^2$代入原方程得：
$x(1-x)+6=0$
展开并整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+2)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-2$
因为$x≥0$，所以$x=-2$不符合取值要求，舍去。
因此$m^2+n^2=3$，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程求解，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程应用中的典型易错题，核心考点为换元法的使用，解题时要注意挖掘隐含的取值条件，避免求出根后直接选择多解选项。
【难度系数】
0.6

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$AB=16$.点$P$为斜边$AB$上一点,$PQ ⊥ AB$,垂足为$P$,交边$AC$或边$CB$于点$Q$.设$AP=x$,当$△ APQ$的面积为$14\sqrt{3}$时,$x$的值为().

A.$2\sqrt{21}$
B.$2\sqrt{21}$或$14$
C.$2$或$2\sqrt{21}$或$14$
D.$2$或$14$

10. B

【分析】
本题需结合Q点的不同位置分情况讨论求解：首先根据含30°角的直角三角形的性质求出△ABC各边长度，找到Q与点C重合时AP的长度作为分界值，分别对Q在AC上、Q在BC上两种情况，用含x的式子表示PQ的长度，再结合三角形面积公式列方程求解，最后验证解是否符合对应区间的取值范围，舍去不符合的解即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=8$，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=8\sqrt{3}$，∠B=60°。
过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，$AD=AC·\cos30°=8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=12$，即当x=12时，Q与C重合。
分两种情况讨论：
1. 当$0＜x≤12$时，Q在AC边上：
∵PQ⊥AB，∠A=30°，
∴$PQ=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
△APQ的面积$S=\frac{1}{2}× AP× PQ=\frac{1}{2}× x×\frac{\sqrt{3}}{3}x=\frac{\sqrt{3}x^2}{6}$，
令$S=14\sqrt{3}$，即$\frac{\sqrt{3}x^2}{6}=14\sqrt{3}$，
化简得$x^2=84$，解得$x=2\sqrt{21}$（负值舍去），$2\sqrt{21}＜12$，符合取值范围。
2. 当$12＜x＜16$时，Q在BC边上：
$PB=AB-AP=16-x$，
∵PQ⊥AB，∠B=60°，
∴$PQ=\sqrt{3}(16-x)$，
△APQ的面积$S=\frac{1}{2}× AP× PQ=\frac{1}{2}× x×\sqrt{3}(16-x)$，
令$S=14\sqrt{3}$，即$\frac{1}{2}x(16-x)\sqrt{3}=14\sqrt{3}$，
化简得$x^2-16x+28=0$，解得$x_1=14$，$x_2=2$，
其中x=2不在$12＜x＜16$范围内，舍去，故x=14符合要求。
综上，x的值为$2\sqrt{21}$或14。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；分类讨论思想；解一元二次方程
【点评】
本题易错点在于容易忽略Q点在BC边上的情况，或求解方程后未验证解是否符合对应区间的取值范围，导致漏解或多解，解题时要注意分段讨论的合理性。
【难度系数】
0.6

11. 如图,有一面积为 $ 150 \ \mathrm{m}^2 $ 的长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长 $ 18 \ \mathrm{m} $),另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的长为 $ 35 \ \mathrm{m} $,养鸡场的长与宽各为多少米?

11. 养鸡场的长为15 m、宽为10 m

【分析】
观察图形可知，养鸡场为长方形，平行于墙的一侧不需要竹篱笆，因此竹篱笆总长度=2条垂直于墙的边长+1条平行于墙的边长。解题时先设垂直于墙的边长为未知数，用篱笆总长表示出平行于墙的边长，再根据长方形面积公式列一元二次方程求解，最后结合墙长18m的限制，对求出的解进行检验，舍去不符合实际情况的解即可。
【解析】
解：设养鸡场垂直于墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于墙的一边长为$ (35-2x) \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式列方程：
$ x(35-2x)=150 $
整理得：$ 2x^2-35x+150=0 $
计算判别式$ \Delta = 35^2 - 4 × 2 × 150 = 25 $
解得：$ x_1=10 $，$ x_2=7.5 $
对解进行检验：
①当$ x=10 $时，平行于墙的边长为$ 35-2×10=15 \, \mathrm{m} $，$ 15＜18 $，符合墙长限制；
②当$ x=7.5 $时，平行于墙的边长为$ 35-2×7.5=20 \, \mathrm{m} $，$ 20＞18 $，超出墙长，不符合实际，舍去。
因此养鸡场平行于墙的长为15m，垂直于墙的宽为10m。
【答案】
养鸡场的长为15 m、宽为10 m
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 长方形面积公式
3. 实际问题解的取舍
【点评】
本题是典型的一元二次方程实际应用题，解题核心是结合篱笆围建的特点正确表示长方形的边长，要特别注意实际问题中解要符合现实限制条件，避免多解错用。
【难度系数】
0.7