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【变式训练 2】
如图，直线 $a$，$b$ 被直线 $c$ 所截。添加一个条件：
如图，直线 $a$，$b$ 被直线 $c$ 所截。添加一个条件：
∠1=∠3
，可得 $a // b$。(填写一种情况即可)答案
变式训练 2 ∠1=∠3
解析
【分析】要判定直线$a // b$，需依据平行线的判定定理（如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等）。观察图形，直线$a$、$b$被直线$c$所截，$∠1$和$∠3$是同位角，若这组同位角相等，就满足“同位角相等，两直线平行”的判定条件，因此可添加$∠1=∠3$使$a // b$。
【解析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。直线$a$、$b$被直线$c$所截，$∠1$与$∠3$是同位角，当$∠1=∠3$时，满足同位角相等的条件，因此可推出$a // b$。
【答案】$∠1=∠3$
【知识点】平行线的判定、同位角
【点评】本题考查平行线判定的基础应用，核心是掌握平行线的判定定理，能准确识别图形中的同位角，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.2
【解析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。直线$a$、$b$被直线$c$所截，$∠1$与$∠3$是同位角，当$∠1=∠3$时，满足同位角相等的条件，因此可推出$a // b$。
【答案】$∠1=∠3$
【知识点】平行线的判定、同位角
【点评】本题考查平行线判定的基础应用，核心是掌握平行线的判定定理，能准确识别图形中的同位角，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.2
1. 如图，这是一个“七”字形，则与 $∠ 1$ 是同位角的是(
A.$∠ 2$
B.$∠ 3$
C.$∠ 4$
D.$∠ 5$
C
)A.$∠ 2$
B.$∠ 3$
C.$∠ 4$
D.$∠ 5$
答案
1. C
解析
【分析】要确定与∠1是同位角的角，需先明确同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线同一侧的角，称为同位角。解题时先找出本题的被截直线与截线，再根据定义判断∠1的同位角。
【解析】本题中，两条被截直线为BC和DE，截线为AB。根据同位角的定义，∠1与∠4都在截线AB的同侧，且分别在被截直线BC、DE的同一侧，符合同位角的特征；∠2、∠3、∠5均不符合同位角的定义，因此与∠1是同位角的是∠4。
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【点评】本题考查同位角的识别，核心是掌握同位角的定义，需准确区分截线与被截直线，结合图形判断角的位置关系，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】本题中，两条被截直线为BC和DE，截线为AB。根据同位角的定义，∠1与∠4都在截线AB的同侧，且分别在被截直线BC、DE的同一侧，符合同位角的特征；∠2、∠3、∠5均不符合同位角的定义，因此与∠1是同位角的是∠4。
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【点评】本题考查同位角的识别，核心是掌握同位角的定义，需准确区分截线与被截直线，结合图形判断角的位置关系，属于基础题型。
【难度系数】0.6
2. 给出下列说法：①等角的余角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。其中，正确的有(
A.$4$ 个
B.$3$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个
D
)A.$4$ 个
B.$3$ 个
C.$2$ 个
D.$1$ 个
答案
2. D
解析
①等角的余角相等，正确；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
③相等的角不一定是对顶角，原说法错误；
④两直线平行，同位角相等，原说法错误。
正确的有1个。
D
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
③相等的角不一定是对顶角，原说法错误；
④两直线平行，同位角相等，原说法错误。
正确的有1个。
D
3. 已知 $a$，$b$，$c$ 三条直线。下列说法正确的是(
A.若 $a ⊥ b$，$b // c$，则 $a // c$
B.若 $a ⊥ b$，$b ⊥ c$，则 $a ⊥ c$
C.若 $a // b$，$b ⊥ c$，则 $a // c$
D.若 $a // b$，$b // c$，则 $a // c$
D
)A.若 $a ⊥ b$，$b // c$，则 $a // c$
B.若 $a ⊥ b$，$b ⊥ c$，则 $a ⊥ c$
C.若 $a // b$，$b ⊥ c$，则 $a // c$
D.若 $a // b$，$b // c$，则 $a // c$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查同一平面内直线的平行与垂直关系，需结合平行线、垂线的基本性质逐一分析每个选项，判断说法的正确性。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：若$a ⊥ b$，$b // c$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条”，可得$a ⊥ c$，而非$a // c$，故A错误；
选项B：若$a ⊥ b$，$b ⊥ c$，根据“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”，可得$a // c$，而非$a ⊥ c$，故B错误；
选项C：若$a // b$，$b ⊥ c$，同理可得$a ⊥ c$，而非$a // c$，故C错误；
选项D：若$a // b$，$b // c$，根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”，可得$a // c$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
直线平行的判定；直线垂直的性质
【点评】
本题为基础题型，核心考查同一平面内直线平行、垂直的基本性质，需准确记忆相关定理，避免性质混淆，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查同一平面内直线的平行与垂直关系，需结合平行线、垂线的基本性质逐一分析每个选项，判断说法的正确性。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：若$a ⊥ b$，$b // c$，根据“一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条”，可得$a ⊥ c$，而非$a // c$，故A错误；
选项B：若$a ⊥ b$，$b ⊥ c$，根据“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”，可得$a // c$，而非$a ⊥ c$，故B错误；
选项C：若$a // b$，$b ⊥ c$，同理可得$a ⊥ c$，而非$a // c$，故C错误；
选项D：若$a // b$，$b // c$，根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”，可得$a // c$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
直线平行的判定；直线垂直的性质
【点评】
本题为基础题型，核心考查同一平面内直线平行、垂直的基本性质，需准确记忆相关定理，避免性质混淆，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，这种过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫作“推平行线”法，其依据是
同位角相等，两直线平行
。答案
4. 同位角相等，两直线平行
解析
【分析】要确定“推平行线”法的依据，需观察画图过程中角的关系：画图时，三角板平移过程中，使过点P的直线与已知直线a被同一条截线所截形成的两个同位角相等，结合平行线的判定定理即可得出结论。
【解析】在“推平行线”的操作中，通过三角板的移动，保证了过点P的直线与直线a被截线所形成的同位角相等，根据平行线的判定规则，当同位角相等时，两条直线平行，因此该方法的依据是“同位角相等，两直线平行”。
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定、同位角
【点评】本题结合画图操作考查平行线的判定定理，属于基础题型，需理解画图过程中角的相等关系对应平行线的判定依据，是几何作图中常用的方法原理。
【难度系数】0.6
【解析】在“推平行线”的操作中，通过三角板的移动，保证了过点P的直线与直线a被截线所形成的同位角相等，根据平行线的判定规则，当同位角相等时，两条直线平行，因此该方法的依据是“同位角相等，两直线平行”。
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定、同位角
【点评】本题结合画图操作考查平行线的判定定理，属于基础题型，需理解画图过程中角的相等关系对应平行线的判定依据，是几何作图中常用的方法原理。
【难度系数】0.6
5. 如图，若 $∠ 2 = 105^{\circ}$，则要使木条 $a$ 与 $b$ 平行，$∠ 1$ 的度数必须是
75°
。答案
5. 75°
解析
【分析】要使木条a与b平行，需依据平行线的判定定理。观察图形可知，∠1与∠2是直线a、b被第三条直线所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可知当∠1 + ∠2 = 180°时，a//b，结合已知∠2的度数即可求出∠1。
【解析】
∵ 要使a//b，∠1与∠2是同旁内角，根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°。已知∠2 = 105°，则∠1 = 180° - 105° = 75°。
【答案】75°
【知识点】平行线的判定
【点评】本题考查平行线判定的基础应用，核心是识别同旁内角并利用互补关系计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
∵ 要使a//b，∠1与∠2是同旁内角，根据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，
∴ ∠1 + ∠2 = 180°。已知∠2 = 105°，则∠1 = 180° - 105° = 75°。
【答案】75°
【知识点】平行线的判定
【点评】本题考查平行线判定的基础应用，核心是识别同旁内角并利用互补关系计算，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
6. 如图，直线 $AB$，$CD$ 被直线 $EF$ 所截，$∠ 1 = 40^{\circ}$。若 $∠ 3=$
40°
，则 $AB // CD$；若 $∠ 2=$140°
，则 $AB // CD$。答案
6. 40° 140°
解析
【分析】
要判定AB//CD，需运用平行线的判定定理：一是同位角相等，两直线平行；二是同旁内角互补，两直线平行。先识别∠1与∠3是同位角，∠1与∠2是同旁内角，结合已知∠1=40°，即可计算出对应的∠3和∠2的度数。
【解析】
1. 因为∠1和∠3是直线AB、CD被EF所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，当∠3=∠1=40°时，AB//CD；
2. 因为∠1和∠2是直线AB、CD被EF所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，当∠2=180°-∠1=180°-40°=140°时，AB//CD。
【答案】
40°；140°
【知识点】
平行线的判定，同位角，同旁内角
【点评】
本题考查平行线的基础判定，核心是识别同位角、同旁内角并运用判定定理，属于基础题型，需熟练掌握相关概念。
【难度系数】
0.7
要判定AB//CD，需运用平行线的判定定理：一是同位角相等，两直线平行；二是同旁内角互补，两直线平行。先识别∠1与∠3是同位角，∠1与∠2是同旁内角，结合已知∠1=40°，即可计算出对应的∠3和∠2的度数。
【解析】
1. 因为∠1和∠3是直线AB、CD被EF所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，当∠3=∠1=40°时，AB//CD；
2. 因为∠1和∠2是直线AB、CD被EF所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，当∠2=180°-∠1=180°-40°=140°时，AB//CD。
【答案】
40°；140°
【知识点】
平行线的判定，同位角，同旁内角
【点评】
本题考查平行线的基础判定，核心是识别同位角、同旁内角并运用判定定理，属于基础题型，需熟练掌握相关概念。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$∠ 1=∠ 2=∠ 3$，那么 $BA$ 与 $ED$ 有怎样的位置关系？$BC$ 与 $EF$ 呢？试分别说明理由。
答案
7. 解：BA//ED，BC//EF。
理由：因为∠1=∠2，所以 BA//ED。
因为∠1=∠3，所以 BC//EF。
理由：因为∠1=∠2，所以 BA//ED。
因为∠1=∠3，所以 BC//EF。
解析
【分析】要判断直线BA与ED、BC与EF的位置关系，需依据平行线的判定定理，通过识别图中的同位角，结合已知的角相等关系推导平行。对于BA和ED，需找它们被直线BC所截形成的同位角∠1和∠2；对于BC和EF，需找它们被直线DE所截形成的同位角∠1和∠3，利用已知角相等即可判定两直线平行。
【解析】解：BA//ED，BC//EF。
理由：① 因为∠1与∠2是直线BA、ED被直线BC所截得到的同位角，且已知∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，所以BA//ED；
② 因为∠1与∠3是直线BC、EF被直线DE所截得到的同位角，且已知∠1=∠3，根据“同位角相等，两直线平行”，所以BC//EF。
【答案】BA//ED，BC//EF
【知识点】平行线的判定、同位角相等两直线平行
【点评】本题考查平行线判定定理的基础应用，核心是识别同位角并运用判定定理，属于几何入门的基础题型，需准确掌握同位角的概念和平行线判定方法。
【难度系数】0.6
【解析】解：BA//ED，BC//EF。
理由：① 因为∠1与∠2是直线BA、ED被直线BC所截得到的同位角，且已知∠1=∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，所以BA//ED；
② 因为∠1与∠3是直线BC、EF被直线DE所截得到的同位角，且已知∠1=∠3，根据“同位角相等，两直线平行”，所以BC//EF。
【答案】BA//ED，BC//EF
【知识点】平行线的判定、同位角相等两直线平行
【点评】本题考查平行线判定定理的基础应用，核心是识别同位角并运用判定定理，属于几何入门的基础题型，需准确掌握同位角的概念和平行线判定方法。
【难度系数】0.6
8. 如图，直线 $ED$，$FC$ 相交于点 $C$，点 $A$ 在直线 $FC$ 上。若 $∠ BAF = 115^{\circ}$，$∠ ECF = 65^{\circ}$，则 $AB$ 与 $CD$ 平行吗？为什么？
答案
8. 解：AB//CD。理由如下：
因为∠DCF=180°−∠ECF，∠ECF=65°，
所以∠DCF=180°−65°=115°。
又因为∠BAF=115°，
所以∠DCF=∠BAF，
所以 AB//CD。
因为∠DCF=180°−∠ECF，∠ECF=65°，
所以∠DCF=180°−65°=115°。
又因为∠BAF=115°，
所以∠DCF=∠BAF，
所以 AB//CD。
解析
【分析】要判断AB与CD是否平行，需依据平行线的判定定理，找到对应角的关系。已知∠BAF和∠ECF的度数，先利用邻补角的性质求出∠DCF的度数，再比较∠DCF与∠BAF的大小，若二者相等，根据同位角相等，两直线平行即可判定AB与CD平行。
【解析】解：AB与CD平行，理由如下：
因为F、A、C在同一直线上，所以∠ECF与∠DCF是邻补角，根据邻补角和为180°，可得：
∠DCF = 180° - ∠ECF = 180° - 65° = 115°。
又已知∠BAF = 115°，因此∠DCF = ∠BAF。
∠DCF和∠BAF是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出AB//CD。
【答案】AB与CD平行，理由见上述解析。
【知识点】平行线的判定、邻补角的性质
【点评】本题考查平行线判定的基础应用，核心是利用邻补角性质转化角度，再结合同位角相等的判定定理得出结论，属于基础题型，侧重对基础知识的掌握与应用。
【难度系数】0.6
【解析】解：AB与CD平行，理由如下：
因为F、A、C在同一直线上，所以∠ECF与∠DCF是邻补角，根据邻补角和为180°，可得：
∠DCF = 180° - ∠ECF = 180° - 65° = 115°。
又已知∠BAF = 115°，因此∠DCF = ∠BAF。
∠DCF和∠BAF是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可推出AB//CD。
【答案】AB与CD平行，理由见上述解析。
【知识点】平行线的判定、邻补角的性质
【点评】本题考查平行线判定的基础应用，核心是利用邻补角性质转化角度，再结合同位角相等的判定定理得出结论，属于基础题型，侧重对基础知识的掌握与应用。
【难度系数】0.6
