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15. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=8$,$BC=4$,分别以$AC$、$BC$为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为
A. $20π-16$
B. $10π-32$
C. $10π-16$
D. $20π-132$
A. $20π-16$
B. $10π-32$
C. $10π-16$
D. $20π-132$
答案
15. C
解析
【分析】
要计算图中阴影部分的面积，可采用“和差法”：观察图形可知，两个半圆的面积之和减去直角三角形ABC的面积，即为阴影部分的面积。因为两个半圆的面积覆盖了阴影部分和三角形内的空白部分，而三角形的面积是空白部分与阴影部分的和，因此阴影面积等于两半圆面积之和减去三角形面积。
【解析】
1. 计算以AC为直径的半圆面积：已知AC=8，其半径$ r_1 = 8÷2 = 4 $，根据圆的面积公式，该半圆面积$ S_1 = \frac{1}{2}πr_1^2 = \frac{1}{2}π×4^2 = 8π $；
2. 计算以BC为直径的半圆面积：已知BC=4，其半径$ r_2 = 4÷2 = 2 $，该半圆面积$ S_2 = \frac{1}{2}πr_2^2 = \frac{1}{2}π×2^2 = 2π $；
3. 计算直角三角形ABC的面积：因为$ ∠ACB=90° $，AC=8，BC=4，所以三角形面积$ S_{△ABC} = \frac{1}{2}×AC×BC = \frac{1}{2}×8×4 = 16 $；
4. 阴影部分面积：$ S = S_1 + S_2 - S_{△ABC} = 8π + 2π - 16 = 10π - 16 $。
【答案】
C
【知识点】
圆的面积，三角形面积，组合图形面积计算
【点评】
本题考查组合图形面积的计算，核心是运用和差法将不规则阴影转化为规则图形面积的差，属于初中几何基础题型，需熟练掌握半圆和三角形的面积公式。
【难度系数】
0.5
要计算图中阴影部分的面积，可采用“和差法”：观察图形可知，两个半圆的面积之和减去直角三角形ABC的面积，即为阴影部分的面积。因为两个半圆的面积覆盖了阴影部分和三角形内的空白部分，而三角形的面积是空白部分与阴影部分的和，因此阴影面积等于两半圆面积之和减去三角形面积。
【解析】
1. 计算以AC为直径的半圆面积：已知AC=8，其半径$ r_1 = 8÷2 = 4 $，根据圆的面积公式，该半圆面积$ S_1 = \frac{1}{2}πr_1^2 = \frac{1}{2}π×4^2 = 8π $；
2. 计算以BC为直径的半圆面积：已知BC=4，其半径$ r_2 = 4÷2 = 2 $，该半圆面积$ S_2 = \frac{1}{2}πr_2^2 = \frac{1}{2}π×2^2 = 2π $；
3. 计算直角三角形ABC的面积：因为$ ∠ACB=90° $，AC=8，BC=4，所以三角形面积$ S_{△ABC} = \frac{1}{2}×AC×BC = \frac{1}{2}×8×4 = 16 $；
4. 阴影部分面积：$ S = S_1 + S_2 - S_{△ABC} = 8π + 2π - 16 = 10π - 16 $。
【答案】
C
【知识点】
圆的面积，三角形面积，组合图形面积计算
【点评】
本题考查组合图形面积的计算，核心是运用和差法将不规则阴影转化为规则图形面积的差，属于初中几何基础题型，需熟练掌握半圆和三角形的面积公式。
【难度系数】
0.5
16. 如图,有一个半径为4的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过2点和4点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为
$\frac{8}{3}π-4\sqrt{3}$
.答案
16. $\frac{8}{3}π-4\sqrt{3}$
解析
【分析】首先，时钟是半径为4的圆，12个刻度将圆周等分为12份，每份对应的圆心角为30°。阴影部分为弓形AB，其面积等于扇形OAB的面积减去△OAB的面积。先确定∠AOB的度数，再分别计算扇形和三角形的面积，最终得到阴影面积。
【解析】已知圆的半径$ r=4 $，12个刻度将圆周平均分成12份，每份圆心角为$ 360°÷12=30° $，因此$ ∠ AOB=2×30°=60° $。
1. 计算扇形$ OAB $的面积：
$ S_{扇形OAB}=\frac{60°}{360°}×π r^2=\frac{1}{6}×π×4^2=\frac{8π}{3} $。
2. 计算$ △ OAB $的面积：
$ OA=OB=4 $，$ ∠ AOB=60° $，故$ △ OAB $是等边三角形，面积为$ S_{△ OAB}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3} $。
3. 阴影部分面积：
$ S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{△ OAB}=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3} $。
【答案】$\frac{8}{3}π -4\sqrt{3}$
【知识点】扇形面积计算，三角形面积计算，圆心角
【点评】本题结合时钟刻度的特点，将阴影面积转化为扇形与三角形的面积差，考查了圆的基本性质及面积运算，需掌握圆心角与刻度的对应关系，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】已知圆的半径$ r=4 $，12个刻度将圆周平均分成12份，每份圆心角为$ 360°÷12=30° $，因此$ ∠ AOB=2×30°=60° $。
1. 计算扇形$ OAB $的面积：
$ S_{扇形OAB}=\frac{60°}{360°}×π r^2=\frac{1}{6}×π×4^2=\frac{8π}{3} $。
2. 计算$ △ OAB $的面积：
$ OA=OB=4 $，$ ∠ AOB=60° $，故$ △ OAB $是等边三角形，面积为$ S_{△ OAB}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3} $。
3. 阴影部分面积：
$ S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{△ OAB}=\frac{8π}{3}-4\sqrt{3} $。
【答案】$\frac{8}{3}π -4\sqrt{3}$
【知识点】扇形面积计算，三角形面积计算，圆心角
【点评】本题结合时钟刻度的特点，将阴影面积转化为扇形与三角形的面积差，考查了圆的基本性质及面积运算，需掌握圆心角与刻度的对应关系，难度适中。
【难度系数】0.5
17. 如图,$CD$是$\odot O$的直径,点$B$在$\odot O$上,连接$BC$、$BD$,过圆心$O$作$OE// BC$,交$\odot O$于点$F$,连接$EB$并延长,交$DC$的延长线于点$A$,满足$∠ D=∠ E$.
(1) 求证:$AE$是$\odot O$的切线;
(2) 若$F$是$OE$的中点,$\odot O$的半径为3,求阴影部分的面积.
(1) 求证:$AE$是$\odot O$的切线;
(2) 若$F$是$OE$的中点,$\odot O$的半径为3,求阴影部分的面积.
答案
17. (1) 证明略 (2) $S_{\mathrm{阴影}}=\frac{3}{2}π-\frac{9}{8}\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 要证明AE是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明OB⊥AE。利用CD是直径得直径所对圆周角为直角，结合平行线性质、同弧圆周角相等及已知角的等量关系，推导得出∠OBE=90°即可。
(2) 已知F是OE中点，结合⊙O半径可推出△OBF为等边三角形，得到圆心角∠BOF=60°。阴影部分面积为扇形OBF面积减去△OBG的面积，分别计算两部分面积即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，
∴ ∠CBD=90°（直径所对的圆周角为直角），即∠CBO + ∠OBD=90°。
∵ OE//BC，
∴ ∠CBO=∠BOE（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠D与∠BCD都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠D=∠BCD。
已知∠D=∠E，
∴ ∠BCD=∠E。
在△OBE中，∠BOE + ∠E + ∠OBE=180°，
将∠BOE替换为∠CBO，∠E替换为∠BCD，得：
∠CBO + ∠BCD + ∠OBE=180°，
而∠CBO + ∠BCD=∠CBD=90°，
∴ ∠OBE=180° - 90°=90°，即OB⊥AE。
∵ OB是⊙O的半径，
∴ AE是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ F是OE的中点，⊙O半径为3，
∴ OF=FE=OB=3，故OE=6，且FB=OF=OB=3，
∴ △OBF是等边三角形，∠BOF=60°。
扇形OBF的面积：
$S_{扇形OBF}=\frac{60°}{360°}×π×3^2=\frac{1}{6}×9π=\frac{3}{2}π$。
∵ OE//BC，∠CBD=90°，
∴ OE⊥BD（垂直于平行线中一条的直线垂直于另一条），即OG⊥BD，G为BD中点。
在Rt△OBG中，∠BOG=60°，OB=3，
$OG=OB×cos60°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
$BG=OB×sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
△OBG的面积：
$S_{△OBG}=\frac{1}{2}×OG×BG=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
∴ 阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OBF}-S_{△OBG}=\frac{3}{2}π-\frac{9}{8}\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{3}{2}π - \frac{9}{8}\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，第一问需通过角度转换推导垂直关系，第二问结合等边三角形性质和面积公式求解，需熟练运用圆的相关定理，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
(1) 要证明AE是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明OB⊥AE。利用CD是直径得直径所对圆周角为直角，结合平行线性质、同弧圆周角相等及已知角的等量关系，推导得出∠OBE=90°即可。
(2) 已知F是OE中点，结合⊙O半径可推出△OBF为等边三角形，得到圆心角∠BOF=60°。阴影部分面积为扇形OBF面积减去△OBG的面积，分别计算两部分面积即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD是⊙O的直径，点B在⊙O上，
∴ ∠CBD=90°（直径所对的圆周角为直角），即∠CBO + ∠OBD=90°。
∵ OE//BC，
∴ ∠CBO=∠BOE（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠D与∠BCD都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠D=∠BCD。
已知∠D=∠E，
∴ ∠BCD=∠E。
在△OBE中，∠BOE + ∠E + ∠OBE=180°，
将∠BOE替换为∠CBO，∠E替换为∠BCD，得：
∠CBO + ∠BCD + ∠OBE=180°，
而∠CBO + ∠BCD=∠CBD=90°，
∴ ∠OBE=180° - 90°=90°，即OB⊥AE。
∵ OB是⊙O的半径，
∴ AE是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ F是OE的中点，⊙O半径为3，
∴ OF=FE=OB=3，故OE=6，且FB=OF=OB=3，
∴ △OBF是等边三角形，∠BOF=60°。
扇形OBF的面积：
$S_{扇形OBF}=\frac{60°}{360°}×π×3^2=\frac{1}{6}×9π=\frac{3}{2}π$。
∵ OE//BC，∠CBD=90°，
∴ OE⊥BD（垂直于平行线中一条的直线垂直于另一条），即OG⊥BD，G为BD中点。
在Rt△OBG中，∠BOG=60°，OB=3，
$OG=OB×cos60°=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
$BG=OB×sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
△OBG的面积：
$S_{△OBG}=\frac{1}{2}×OG×BG=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
∴ 阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OBF}-S_{△OBG}=\frac{3}{2}π-\frac{9}{8}\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{3}{2}π - \frac{9}{8}\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定、圆周角定理、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，第一问需通过角度转换推导垂直关系，第二问结合等边三角形性质和面积公式求解，需熟练运用圆的相关定理，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4
18. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$.
(1) 尺规作图:作$\odot O$,使得圆心$O$在边$AB$上,$\odot O$过点$B$且与边$AC$相切于点$D$;请保留作图痕迹,标明相应的字母,不写作法
(2) 在(1)的条件下,若$∠ ABC=60°$,$AB=4$,求$\odot O$与$△ ABC$重叠部分的面积.
(1) 尺规作图:作$\odot O$,使得圆心$O$在边$AB$上,$\odot O$过点$B$且与边$AC$相切于点$D$;请保留作图痕迹,标明相应的字母,不写作法
(2) 在(1)的条件下,若$∠ ABC=60°$,$AB=4$,求$\odot O$与$△ ABC$重叠部分的面积.
答案
18. (1) 作图略.
(2) $\odot O$ 与 $△ ABC$ 重叠部分的面积为 $\frac{4\sqrt{3}}{9}+\frac{16π}{27}$
(2) $\odot O$ 与 $△ ABC$ 重叠部分的面积为 $\frac{4\sqrt{3}}{9}+\frac{16π}{27}$
解析
【分析】
第(1)问需根据圆的切线性质和圆心位置要求作图：要使⊙O过点B且与AC相切，圆心O到AC的距离等于半径，结合O在AB上，可通过作线段BD的垂直平分线确定圆心O，再以OB为半径作圆；第(2)问先利用直角三角形的角度关系求出∠A=30°，设半径为r，结合切线性质（OD⊥AC）和直角三角形边角关系列方程求出r，再计算扇形ODB与△ODB的面积之和，即为⊙O与△ABC重叠部分的面积。
【解析】
(1) 尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB于点O；以O为圆心，OB为半径作圆，即为所求⊙O（作图痕迹略）。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB=4，因此∠A=180°−90°−60°=30°。
设⊙O的半径为r，则OB=OD=r，AO=AB−OB=4−r。
因为⊙O与AC相切于点D，所以OD⊥AC，又∠C=90°，故OD//BC，得∠AOD=∠ABC=60°。
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠A=30°，根据三角函数关系：OD=AO·sinA，即r=(4−r)×sin30°=(4−r)×1/2，
解方程得：2r=4−r → 3r=4 → r=4/3。
由∠AOD=60°，得∠DOB=180°−∠AOD=120°。
重叠部分面积为扇形ODB的面积与△ODB的面积之和：
扇形ODB的面积：$S_{扇}=\frac{120°}{360°}×πr^2=\frac{1}{3}×π×(\frac{4}{3})^2=\frac{16π}{27}$；
△ODB的面积：$S_{△}=\frac{1}{2}×OD×OB×sin∠DOB=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{4}{3}×sin120°=\frac{1}{2}×\frac{16}{9}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$；
因此重叠部分面积为$\frac{4\sqrt{3}}{9}+\frac{16π}{27}$。
【答案】
(1) 作图略；(2) $\frac{4\sqrt{3}}{9}+\frac{16π}{27}$
【知识点】
尺规作图、切线的性质、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查尺规作图、直角三角形性质及扇形面积计算，核心是利用切线性质建立半径与边长的关系，再结合角度求解面积，需掌握切线的性质和扇形面积公式，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
第(1)问需根据圆的切线性质和圆心位置要求作图：要使⊙O过点B且与AC相切，圆心O到AC的距离等于半径，结合O在AB上，可通过作线段BD的垂直平分线确定圆心O，再以OB为半径作圆；第(2)问先利用直角三角形的角度关系求出∠A=30°，设半径为r，结合切线性质（OD⊥AC）和直角三角形边角关系列方程求出r，再计算扇形ODB与△ODB的面积之和，即为⊙O与△ABC重叠部分的面积。
【解析】
(1) 尺规作图：作线段BD的垂直平分线，交AB于点O；以O为圆心，OB为半径作圆，即为所求⊙O（作图痕迹略）。
(2) 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB=4，因此∠A=180°−90°−60°=30°。
设⊙O的半径为r，则OB=OD=r，AO=AB−OB=4−r。
因为⊙O与AC相切于点D，所以OD⊥AC，又∠C=90°，故OD//BC，得∠AOD=∠ABC=60°。
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，∠A=30°，根据三角函数关系：OD=AO·sinA，即r=(4−r)×sin30°=(4−r)×1/2，
解方程得：2r=4−r → 3r=4 → r=4/3。
由∠AOD=60°，得∠DOB=180°−∠AOD=120°。
重叠部分面积为扇形ODB的面积与△ODB的面积之和：
扇形ODB的面积：$S_{扇}=\frac{120°}{360°}×πr^2=\frac{1}{3}×π×(\frac{4}{3})^2=\frac{16π}{27}$；
△ODB的面积：$S_{△}=\frac{1}{2}×OD×OB×sin∠DOB=\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{4}{3}×sin120°=\frac{1}{2}×\frac{16}{9}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$；
因此重叠部分面积为$\frac{4\sqrt{3}}{9}+\frac{16π}{27}$。
【答案】
(1) 作图略；(2) $\frac{4\sqrt{3}}{9}+\frac{16π}{27}$
【知识点】
尺规作图、切线的性质、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查尺规作图、直角三角形性质及扇形面积计算，核心是利用切线性质建立半径与边长的关系，再结合角度求解面积，需掌握切线的性质和扇形面积公式，属于中等难度题。
【难度系数】
0.5
