9. 如图,在扇形$AOB$中,$∠ AOB=80°$,半径$OA=3$,$C$是$\overset{\frown}{AB}$上一点,连接$OC$,$D$是$OC$上一点,且$OD=DC$,连接$BD$.若$BD⊥ OC$,求$\overset{\frown}{AC}$的长.结果保留$π$.

9. $\frac{π}{3}$

【分析】
要计算弧AC的长，需先求出弧AC对应的圆心角∠AOC的度数。根据已知条件，BD垂直平分OC，利用垂直平分线的性质可得OB=BC，结合扇形半径相等（OB=OC），可推出△OBC为等边三角形，进而求出∠COB，再用∠AOB减去∠COB得到∠AOC，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接BC，
∵ BD⊥OC，且OD=DC，
∴ BD是OC的垂直平分线，
∴ OB=BC（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
又
∵ OB=OC（扇形的半径相等），
∴ OB=OC=BC，即△OBC是等边三角形，
∴ ∠COB=60°。
已知∠AOB=80°，
∴ ∠AOC=∠AOB - ∠COB=80° - 60°=20°。
根据弧长公式 $ l = \frac{nπ r}{180} $（n为圆心角度数，r为半径），
弧AC的长为：$ \frac{20π × 3}{180} = \frac{π}{3} $。
【答案】
$\frac{π}{3}$
【知识点】
垂直平分线性质、等边三角形判定、弧长计算
【点评】
本题结合扇形性质，利用垂直平分线构造等边三角形，核心是求出弧AC对应的圆心角，再代入弧长公式计算，属于基础几何计算题型，需掌握垂直平分线性质和弧长公式的应用。
【难度系数】
0.5

10. 如图,$A$,$B$,$C$,$D$是$\odot O$上的点,半径$OA=3$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,$∠ DBC=25°$,连接$AD$,则扇形$AOB$的面积为

A.$\dfrac{5}{4}π$
B.$\dfrac{5}{8}π$
C.$\dfrac{5}{2}π$
D.$\dfrac{5}{12}π$

10. A

【分析】要计算扇形AOB的面积，需先求出圆心角∠AOB的度数。根据“等弧对应的圆心角相等”，可知∠AOB与弧CD对应的圆心角相等；再结合圆周角定理，∠DBC是弧CD所对的圆周角，可求出弧CD对应的圆心角，进而得到∠AOB，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。已知∠DBC=25°，它是弧CD所对的圆周角，因此弧CD对应的圆心角∠COD=2×∠DBC=2×25°=50°。
2. 因为$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，等弧对应的圆心角相等，所以∠AOB=∠COD=50°。
3. 扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），已知半径OA=3，代入得：
$S_{扇形AOB}=\frac{50×π×3^2}{360}=\frac{50×9π}{360}=\frac{5}{4}π$。
【答案】A
【知识点】弧与圆心角的关系；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】本题考查圆的基本性质，核心是利用等弧对等圆心角、圆周角定理求出圆心角，再计算扇形面积，属于基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.6

11. 如图,$\odot O$是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形$ABC$的外接圆,点$D$是$\overset{\frown}{BC}$的中点,连接$BD$、$CD$.以点$D$为圆心,$BD$的长为半径在$\odot O$内画弧,则阴影部分的面积为

A.$\dfrac{8π}{3}$
B.$4π$
C.$\dfrac{16π}{3}$
D.$16π$

11. C

【分析】
要计算阴影部分面积，需先确定相关图形的核心参数：首先利用等边三角形的性质求出其外接圆半径，再结合弧中点的性质得到扇形的圆心角和半径，最后通过扇形面积公式计算阴影面积。具体步骤：1. 由等边三角形边长求外接圆半径；2. 利用圆内接四边形性质确定扇形的圆心角；3. 结合弧中点性质确定扇形半径；4. 代入扇形面积公式计算结果。
【解析】
1. 求等边△ABC的外接圆半径：
等边三角形外接圆半径公式为 $ R = \frac{a}{\sqrt{3}} $（$ a $ 为边长），已知 $ a=4\sqrt{3} $，则 $ R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 $，即⊙O的半径为4。
2. 确定扇形的圆心角：
△ABC是等边三角形，故∠BAC=60°；圆内接四边形对角互补，因此∠BDC=180°-∠BAC=120°，即阴影部分对应的扇形圆心角为120°。
3. 确定扇形的半径：
D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，弧BC对应的圆心角∠BOC=2∠BAC=120°，故弧BD=弧DC=60°；在△BOD中，OB=OD=4，∠BOD=60°，因此△BOD是等边三角形，得BD=OB=4，即扇形半径为4。
4. 计算阴影面积：
扇形面积公式为 $ S = \frac{nπ r^2}{360} $（$ n $ 为圆心角度数，$ r $ 为半径），代入得：
$ S_{阴影} = \frac{120π × 4^2}{360} = \frac{16π}{3} $。
【答案】
$\dfrac{16π}{3}$
【知识点】
等边三角形外接圆、扇形面积计算、圆内接四边形性质
【点评】
本题结合等边三角形与圆的性质，考查扇形面积的计算，核心是确定扇形的圆心角和半径，需熟练掌握圆内接四边形性质、等边三角形判定及扇形面积公式，综合性适中。
【难度系数】
0.5

12. 如图,等边三角形$ABC$内接于$\odot O$,$OB=2$,则图中阴影部分的面积是.

12. $\frac{4π}{3}$

【分析】
要计算阴影部分面积，需结合等边三角形内接于圆的性质，先确定圆心角的度数，再通过割补法将不规则阴影转化为规则图形，最后利用扇形面积公式计算。
【解析】
因为△ABC是等边三角形，内接于⊙O，所以三个圆心角∠AOB=∠BOC=∠COA=360°÷3=120°，⊙O的半径OB=2。观察图形，阴影部分可通过割补转化为圆心角为120°的扇形面积。根据扇形面积公式：$ S=\frac{nπ r^2}{360} $（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=120，r=2，得：
$ S=\frac{120×π×2^2}{360}=\frac{4π}{3} $
【答案】
$\frac{4π}{3}$
【知识点】
扇形面积计算，等边三角形性质，圆的圆心角
【点评】
本题通过割补法将不规则阴影转化为规则扇形，考察学生对图形转化能力和扇形面积公式的应用，属于中等难度的几何计算题目。
【难度系数】
0.5

13. 两个半径相等的半圆按如图所示的方式放置,半圆$O'$的一个直径端点与半圆$O$的圆心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积为.

13. $\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$

【分析】要计算阴影部分的面积，先观察图形：两个半圆半径均为2，故OA=OO'=O'A=2，因此△OAO'是等边三角形，内角为60°。阴影部分的面积可转化为“以O为圆心、半径2，圆心角为120°的扇形面积减去等边三角形OAO'的面积”，需先确定扇形的圆心角，再分别计算扇形和三角形的面积，最后作差得到结果。
【解析】已知半圆半径为2，所以OA=OO'=O'A=2，△OAO'为等边三角形，∠AOO'=60°，则以O为圆心、半径2的扇形，其圆心角为120°（OA与O左侧直径的夹角），扇形面积为：$\frac{120}{360}×π×2^2=\frac{4π}{3}$；等边三角形OAO'的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×2^2=\sqrt{3}$；因此阴影部分面积为：$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】$\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$
【知识点】扇形面积、等边三角形面积、圆的性质
【点评】本题通过图形转化将阴影面积拆分为扇形与三角形的面积差，关键是确定扇形的圆心角，需熟练掌握扇形和等边三角形的面积公式，属于中等几何计算题。
【难度系数】0.5

14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=3$,$AC=4$,$BC=5$,$\odot A$与$BC$相切于点$D$.
(1) 求图中阴影部分的面积;
(2) 设$\odot A$上有一动点$P$,连接$CP$、$BP$.当$CP$的长最大时,求$BP$的长.

14. (1) $S_{\mathrm{阴影}}=6-\frac{36}{25}π$ (2) $PB=\frac{3}{5}\sqrt{41}$

【分析】
首先根据三边长度用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，得出∠BAC=90°；结合切线性质，利用面积法求出⊙A的半径AD；阴影部分面积是直角三角形面积减去圆心角为90°的扇形面积。第二问中，圆外一点到圆上点的最长距离是该点与圆心连线延长线与圆的交点，据此确定P点位置，再用勾股定理计算BP的长度。
【解析】
(1) 已知AB=3，AC=4，BC=5，因为 $3^2 + 4^2 = 5^2$，根据勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
△ABC的面积 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
因为⊙A与BC相切于点D，所以AD⊥BC，AD是⊙A的半径，且△ABC的面积也可表示为 $\frac{1}{2} × BC × AD$，即 $\frac{1}{2} × 5 × AD = 6$，解得 $AD = \frac{12}{5}$，即⊙A的半径 $r = \frac{12}{5}$。
圆心角为90°的扇形面积 $S_{扇形} = \frac{90°}{360°} × π r^2 = \frac{1}{4} × π × (\frac{12}{5})^2 = \frac{36π}{25}$。
因此阴影部分面积 $S_{阴影} = S_{△ ABC} - S_{扇形} = 6 - \frac{36}{25}π$。
(2) 当CP的长最大时，点P在CA的延长线上，且在⊙A上（圆外一点到圆上点的最长距离为该点与圆心连线延长线与圆的交点，远离该点的一侧）。
建立平面直角坐标系，设A为原点(0,0)，AC在y轴，AB在x轴，则C(0,4)，B(3,0)，P点坐标为(0, -$\frac{12}{5}$)。
根据两点间距离公式，$BP = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-\frac{12}{5}))^2} = \sqrt{9 + \frac{144}{25}} = \sqrt{\frac{225 + 144}{25}} = \sqrt{\frac{369}{25}} = \frac{3\sqrt{41}}{5}$。
【答案】
(1) $6 - \frac{36}{25}π$；(2) $\frac{3}{5}\sqrt{41}$
【知识点】
勾股定理逆定理，扇形面积，切线性质
【点评】
本题综合考查直角三角形判定、圆的切线性质、扇形面积及圆上点的距离问题，需先利用勾股定理逆定理确定直角，通过面积法求半径，第二问需明确圆外一点到圆上点的最长距离的位置，结合勾股定理计算，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5