一、利用三角形面积为定值求解
1. 如图,平行于x轴的直线与函数$y=\frac{8}{x}$,$y=\frac{2}{x}$的部分图象分别相交于A,B两点,点C在x轴的负半轴上,则$△ ABC$的面积为 ()
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

(第1题)

1. B

【分析】
要计算△ABC的面积，观察到AB平行于x轴，因此A、B两点的纵坐标相等。我们可以设该纵坐标为$b(b＞0)$，利用反比例函数表达式分别求出A、B两点的横坐标，进而得到AB的长度；再结合点C在x轴上，△ABC的高等于AB的纵坐标$b$，最后根据三角形面积公式计算即可。
【解析】
设直线AB的纵坐标为$b(b＞0)$。
点A在函数$y=\frac{8}{x}$上，当$y=b$时，$x=\frac{8}{b}$，即A点坐标为$( \frac{8}{b}, b )$；
点B在函数$y=\frac{2}{x}$上，当$y=b$时，$x=\frac{2}{b}$，即B点坐标为$( \frac{2}{b}, b )$。
因此，线段AB的长度为：$\frac{8}{b} - \frac{2}{b} = \frac{6}{b}$。
由于AB平行于x轴，点C在x轴上，所以△ABC中AB边上的高等于AB的纵坐标$b$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} × \frac{6}{b} × b = 3$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数图象与性质，利用平行于坐标轴的线段简化计算，核心是通过AB平行x轴的特点，将三角形的高转化为已知纵坐标，快速求出面积，是反比例函数中常见的面积类题型。
【难度系数】
0.5

2. 如图,点A在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上,点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上,$AB// y$轴,交x轴于点C,连接OA,取OA的中点D,连接BD,则$△ ADB$的面积为 ()
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2

2. D

【分析】
要解决这个问题，我们利用反比例函数上点的坐标特征，结合中点坐标公式和三角形面积公式计算。因为AB平行于y轴，所以A、B两点横坐标相同，设该横坐标为a，分别表示A、B的坐标得到AB的长度；再根据OA中点D的坐标，求出D到AB的水平距离（即△ADB的高），最后用三角形面积公式计算面积。
【解析】
设点A、B的横坐标为$a(a＞0)$，
∵点A在$y=\frac{12}{x}$上，点B在$y=\frac{4}{x}$上，且$AB// y$轴，
∴点A坐标为$(a,\frac{12}{a})$，点B坐标为$(a,\frac{4}{a})$，
则$AB=\frac{12}{a}-\frac{4}{a}=\frac{8}{a}$。
∵D是OA的中点，O为原点$(0,0)$，根据中点坐标公式，点D坐标为$(\frac{a}{2},\frac{6}{a})$。
△ADB中，以AB为底，AB是竖直线段，点D到直线$x=a$（AB所在直线）的水平距离为高，即高为$a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}× AB× 高=\frac{1}{2}×\frac{8}{a}×\frac{a}{2}=2$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数、中点坐标公式、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数性质，通过设坐标表示点的位置，关键是找到△ADB的底和高，计算时注意坐标的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5

3. (2026泰州兴化)如图,点A在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$AB⊥ x$轴于点B,C是OB的中点,连接AO、AC.若$△ AOC$的面积为4,则k的值为 ()
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4

3. A

【分析】要解决这道题，需结合反比例函数的性质和三角形面积公式。首先设点A的坐标为(x,y)，由AB⊥x轴可知OB=x，AB=y；再根据C是OB中点，得到OC的长度；然后利用三角形面积公式表示出△AOC的面积，结合已知面积求出xy的值，最后根据反比例函数y=k/x中k=xy，即可求出k的值。
【解析】设点A的坐标为(x,y)（x＞0，y＞0），因为AB⊥x轴于点B，所以OB=x，AB=y。
又因为C是OB的中点，所以OC = (1/2)OB = x/2。
△AOC的面积 = (1/2)×OC×AB = (1/2)×(x/2)×y = xy/4。
已知△AOC的面积为4，因此xy/4 = 4，解得xy = 16。
因为点A在函数y = k/x（x＞0）的图象上，所以k = xy = 16。
故答案选A。
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质、三角形面积计算
【点评】本题考查反比例函数中k的几何意义，结合三角形面积公式求解，关键是建立点坐标与面积的关系，属于基础题型，注重对基础知识的应用。
【难度系数】0.5

二、利用矩形面积为定值求解
4. 如图,点A是反比例函数$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$的图象上的一点,过点A作平行四边形ABCD,使B,C在x轴上,点D在y轴上,则平行四边形ABCD的面积为 ()
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

4. B

【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的面积公式与反比例函数的性质。首先设点A的坐标，利用反比例函数的表达式得到坐标间的关系，再根据平行四边形的底和高与点A坐标的联系，计算平行四边形的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a, b)$，因为点A在反比例函数$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$的图象上，将A点坐标代入函数得：$b = -\frac{4}{a}$，整理得$ab = -4$。
由于四边形ABCD是平行四边形，B、C在x轴上，D在y轴上，因此AD平行于x轴，AD的长度为点A横坐标的绝对值，即$|a|=-a$（因$a＜0$）；平行四边形的高等于点A的纵坐标$b$（AD与x轴的垂直距离）。
根据平行四边形面积公式：面积=底×高，可得$S_{ABCD}=AD × b = (-a) × b = -ab$。
将$ab=-4$代入，得$S_{ABCD}=-(-4)=4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形面积计算
【点评】
本题核心是利用反比例函数中“双曲线上一点横纵坐标的乘积为定值$k$”的性质，结合平行四边形的底和高与点坐标的关系求解面积，难度适中，需掌握坐标与图形的转化方法。
【难度系数】
0.5

5. 如图,点A在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,点B在函数$y=\frac{5}{x}(x＞0)$的图象上,且$AB// x$轴,$BC⊥ x$轴于点C,则四边形ABCO的面积为.

5. $\frac{7}{2}$

【分析】
要解决这个问题，需结合反比例函数的性质和梯形面积公式：首先利用AB平行x轴的条件，得到A、B两点纵坐标相同，再根据反比例函数解析式求出两点的横坐标，最后代入梯形面积公式计算四边形ABCO的面积。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{3}{a})$（$a＞0$），因为$AB // x$轴，所以点B的纵坐标与点A相等，为$\frac{3}{a}$。
由于点B在函数$y=\frac{5}{x}(x＞0)$的图象上，将$y=\frac{3}{a}$代入$y=\frac{5}{x}$，解得$x_B=\frac{5a}{3}$，即点B的坐标为$(\frac{5a}{3}, \frac{3}{a})$。
由$BC ⊥ x$轴可知，四边形ABCO是直角梯形，其中上底$AB = \frac{5a}{3} - a = \frac{2a}{3}$，下底$OC = \frac{5a}{3}$，高为点A的纵坐标$\frac{3}{a}$。
根据梯形面积公式：$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×(\frac{2a}{3}+\frac{5a}{3})×\frac{3}{a}=\frac{1}{2}×\frac{7a}{3}×\frac{3}{a}=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
反比例函数性质、梯形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数图象性质与梯形面积公式，核心是利用AB平行x轴的关系确定A、B的坐标，体现了数形结合的解题思想，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5

6. 如图,反比例函数$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$的图象经过四边形OABC的顶点A,C,$∠ ABC=90°$,OC平分OA与x轴负半轴的夹角,$AB// x$轴,将$△ ABC$沿AC翻折后得到$△ AB'C$,点B'落在OA上,则四边形OABC的面积是.

6. 3

【分析】
要解决本题，需结合反比例函数的坐标特征、翻折的性质、角平分线的性质及坐标法计算面积。首先利用反比例函数上点的坐标关系，结合AB平行x轴、∠B=90°的条件确定各点坐标关联；再通过翻折后B'在OA上，推导线段相等的关系，进而得到坐标间的数量关系；最后用鞋带公式计算四边形面积。
【解析】
1. 设点A坐标为$(x_1,y_1)$，点C坐标为$(x_2,y_2)$，因A、C在$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$上，故$x_1y_1=-3$，$x_2y_2=-3$。
2. 由$AB//x$轴，$∠ ABC=90°$，得点B坐标为$(x_2,y_1)$，则$AB=x_1-x_2$，$BC=y_1-y_2$。
3. 将$△ ABC$沿AC翻折后，$B'$在OA上，根据翻折性质：$AB'=AB$，$CB'=CB$，$∠ AB'C=∠ ABC=90°$，故$CB'⊥OA$。
4. OC平分OA与x轴负半轴的夹角，由角平分线性质，点C到OA的距离等于到x轴的距离，即$CB'=y_2$（C在第二象限，$y_2＞0$），因此$y_1-y_2=y_2$，得$y_1=2y_2$。
5. 代入$x_1y_1=-3$和$x_2y_2=-3$，结合$y_1=2y_2$，得$x_1·2y_2=-3$，$x_2y_2=-3$，两式相除得$\frac{2x_1}{x_2}=1$，即$x_2=2x_1$。
6. 用鞋带公式计算四边形OABC的面积，顶点为$O(0,0)$、$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_1)$、$C(x_2,y_2)$：
面积$=\frac{1}{2}|(0·y_1 + x_1·y_1 + x_2·y_2 + x_2·0) - (0·x_1 + y_1·x_2 + y_1·x_2 + y_2·0)|$
代入$x_1y_1=-3$，$x_2y_2=-3$，$x_2=2x_1$，$y_1=2y_2$，化简得：
面积$=\frac{1}{2}|(-3)+(-3)-2x_2y_1|=\frac{1}{2}|-6 -2×(-6)|=3$。
【答案】3
【知识点】反比例函数性质、翻折变换、角平分线性质
【点评】本题综合反比例函数与几何图形，需熟练运用坐标法、翻折性质、角平分线性质推导关系，对学生综合应用能力有一定要求，是典型的代数几何结合题。
【难度系数】0.5