登录
7. 如图,点$P(3,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,过点P作$PM// x$轴交反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象于点M,作$PN// y$轴交反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象于点N,连接MN.
(1) $k=$
(2) $△ PMN$的面积为
(3) 连接OM,ON,则$△ MON$的面积为
(1) $k=$
6
；(2) $△ PMN$的面积为
$\frac{4}{3}$
；(3) 连接OM,ON,则$△ MON$的面积为
$\frac{8}{3}$
.答案
7. (1) 6 (2) $\frac{4}{3}$ (3) $\frac{8}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，分三步思考：
1. 求k值：利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点P的坐标代入即可求出k；
2. 求△PMN的面积：根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，分别求出M、N的坐标，再判断△PMN为直角三角形，用直角三角形面积公式计算；
3. 求△MON的面积：利用坐标法，结合三点坐标计算三角形面积。
【解析】
(1) 因为点$P(3,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=3$，$y=2$代入解析式得：
$k = 3×2 = 6$；
(2) 由$PM//x$轴，可知点$M$的纵坐标与$P$相同，为$2$，将$y=2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$2=\frac{2}{x}$，解得$x=1$，故$M(1,2)$；
由$PN//y$轴，可知点$N$的横坐标与$P$相同，为$3$，将$x=3$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{3}$，故$N(3,\frac{2}{3})$；
因为$PM//x$轴，$PN//y$轴，所以$PM⊥PN$，$PM$的长度为$3-1=2$，$PN$的长度为$2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，则$△ PMN$的面积为：
$\frac{1}{2}×PM×PN = \frac{1}{2}×2×\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$；
(3) 对于$△ MON$，三点坐标为$O(0,0)$，$M(1,2)$，$N(3,\frac{2}{3})$，利用三角形面积的坐标公式：
$S_{△ MON} = \frac{1}{2}|x_M y_N - x_N y_M| = \frac{1}{2}|1×\frac{2}{3} - 3×2| = \frac{1}{2}|\frac{2}{3} -6| = \frac{1}{2}×\frac{16}{3} = \frac{8}{3}$；
【答案】
(1) $6$；(2) $\frac{4}{3}$；(3) $\frac{8}{3}$
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算、坐标与图形性质
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，核心是利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特点确定未知点坐标，再结合直角三角形面积公式或坐标法计算三角形面积，难度适中，需掌握坐标与图形的对应关系。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分三步思考：
1. 求k值：利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点P的坐标代入即可求出k；
2. 求△PMN的面积：根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，分别求出M、N的坐标，再判断△PMN为直角三角形，用直角三角形面积公式计算；
3. 求△MON的面积：利用坐标法，结合三点坐标计算三角形面积。
【解析】
(1) 因为点$P(3,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$x=3$，$y=2$代入解析式得：
$k = 3×2 = 6$；
(2) 由$PM//x$轴，可知点$M$的纵坐标与$P$相同，为$2$，将$y=2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$2=\frac{2}{x}$，解得$x=1$，故$M(1,2)$；
由$PN//y$轴，可知点$N$的横坐标与$P$相同，为$3$，将$x=3$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=\frac{2}{3}$，故$N(3,\frac{2}{3})$；
因为$PM//x$轴，$PN//y$轴，所以$PM⊥PN$，$PM$的长度为$3-1=2$，$PN$的长度为$2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，则$△ PMN$的面积为：
$\frac{1}{2}×PM×PN = \frac{1}{2}×2×\frac{4}{3} = \frac{4}{3}$；
(3) 对于$△ MON$，三点坐标为$O(0,0)$，$M(1,2)$，$N(3,\frac{2}{3})$，利用三角形面积的坐标公式：
$S_{△ MON} = \frac{1}{2}|x_M y_N - x_N y_M| = \frac{1}{2}|1×\frac{2}{3} - 3×2| = \frac{1}{2}|\frac{2}{3} -6| = \frac{1}{2}×\frac{16}{3} = \frac{8}{3}$；
【答案】
(1) $6$；(2) $\frac{4}{3}$；(3) $\frac{8}{3}$
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算、坐标与图形性质
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，核心是利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特点确定未知点坐标，再结合直角三角形面积公式或坐标法计算三角形面积，难度适中，需掌握坐标与图形的对应关系。
【难度系数】
0.6
三、设点的坐标进行求解
8. 如图,过$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的点A,分别作x轴、y轴的平行线交$y=-\frac{1}{x}$的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$,若$S_{2}+S_{3}+S_{4}=\frac{7}{3}$,则k的值为
8. 如图,过$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的点A,分别作x轴、y轴的平行线交$y=-\frac{1}{x}$的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$,若$S_{2}+S_{3}+S_{4}=\frac{7}{3}$,则k的值为
3
.答案
8. 3
解析
【分析】
要解决本题，先设点A的坐标，利用反比例函数的性质求出B、D两点的坐标，再根据各小矩形的边长计算面积，结合已知条件列出关于k的方程，进而求解k的值。步骤：1. 设A点坐标为$(m,n)$，由A在$y=\frac{k}{x}$上得$mn=k$；2. 根据平行线性质，求出B、D的坐标；3. 分别计算四个小矩形的面积；4. 代入已知$S_2+S_3+S_4=\frac{7}{3}$，解方程得k。
【解析】
设点A的坐标为$(m, n)$（$m＞0, n＞0$），因为点A在$y=\frac{k}{x}$上，所以$mn = k$。
过A作x轴的平行线（水平方向）交$y=-\frac{1}{x}$于B点，B点纵坐标与A相同为$n$，代入$y=-\frac{1}{x}$得$x=-\frac{1}{n}$，故B点坐标为$(-\frac{1}{n}, n)$；
过A作y轴的平行线（竖直方向）交$y=-\frac{1}{x}$于D点，D点横坐标与A相同为$m$，代入$y=-\frac{1}{x}$得$y=-\frac{1}{m}$，故D点坐标为$(m, -\frac{1}{m})$。
计算各小矩形面积：
$S_1$：第一象限矩形，长为$m$，宽为$n$，面积$S_1 = m · n = k$；
$S_2$：第二象限矩形，长为$\frac{1}{n}$，宽为$n$，面积$S_2 = \frac{1}{n} · n = 1$；
$S_3$：第三象限矩形，长为$\frac{1}{n}$，宽为$\frac{1}{m}$，面积$S_3 = \frac{1}{n} · \frac{1}{m} = \frac{1}{mn} = \frac{1}{k}$；
$S_4$：第四象限矩形，长为$m$，宽为$\frac{1}{m}$，面积$S_4 = m · \frac{1}{m} = 1$。
已知$S_2 + S_3 + S_4 = \frac{7}{3}$，代入得：
$1 + \frac{1}{k} + 1 = \frac{7}{3}$
化简得：$2 + \frac{1}{k} = \frac{7}{3}$
移项得：$\frac{1}{k} = \frac{1}{3}$
解得：$k = 3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数性质；矩形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与矩形面积公式，关键是利用反比例函数上点的坐标关系求出各小矩形的面积，进而建立方程求解，考查学生对反比例函数性质的理解与应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，先设点A的坐标，利用反比例函数的性质求出B、D两点的坐标，再根据各小矩形的边长计算面积，结合已知条件列出关于k的方程，进而求解k的值。步骤：1. 设A点坐标为$(m,n)$，由A在$y=\frac{k}{x}$上得$mn=k$；2. 根据平行线性质，求出B、D的坐标；3. 分别计算四个小矩形的面积；4. 代入已知$S_2+S_3+S_4=\frac{7}{3}$，解方程得k。
【解析】
设点A的坐标为$(m, n)$（$m＞0, n＞0$），因为点A在$y=\frac{k}{x}$上，所以$mn = k$。
过A作x轴的平行线（水平方向）交$y=-\frac{1}{x}$于B点，B点纵坐标与A相同为$n$，代入$y=-\frac{1}{x}$得$x=-\frac{1}{n}$，故B点坐标为$(-\frac{1}{n}, n)$；
过A作y轴的平行线（竖直方向）交$y=-\frac{1}{x}$于D点，D点横坐标与A相同为$m$，代入$y=-\frac{1}{x}$得$y=-\frac{1}{m}$，故D点坐标为$(m, -\frac{1}{m})$。
计算各小矩形面积：
$S_1$：第一象限矩形，长为$m$，宽为$n$，面积$S_1 = m · n = k$；
$S_2$：第二象限矩形，长为$\frac{1}{n}$，宽为$n$，面积$S_2 = \frac{1}{n} · n = 1$；
$S_3$：第三象限矩形，长为$\frac{1}{n}$，宽为$\frac{1}{m}$，面积$S_3 = \frac{1}{n} · \frac{1}{m} = \frac{1}{mn} = \frac{1}{k}$；
$S_4$：第四象限矩形，长为$m$，宽为$\frac{1}{m}$，面积$S_4 = m · \frac{1}{m} = 1$。
已知$S_2 + S_3 + S_4 = \frac{7}{3}$，代入得：
$1 + \frac{1}{k} + 1 = \frac{7}{3}$
化简得：$2 + \frac{1}{k} = \frac{7}{3}$
移项得：$\frac{1}{k} = \frac{1}{3}$
解得：$k = 3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数性质；矩形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与矩形面积公式，关键是利用反比例函数上点的坐标关系求出各小矩形的面积，进而建立方程求解，考查学生对反比例函数性质的理解与应用。
【难度系数】
0.5
9. 如图,平行四边形OABC的顶点A,B在函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上,边BC与y轴交于点D,$AE⊥ x$轴于点E.若$△ AOB$的面积为8,则$\frac{OD}{AE}$的值为
2
.答案
9. 2
解析
【分析】
首先，利用反比例函数上点的坐标特征设出A、B两点坐标，结合平行四边形性质推导直线BC的表达式，求出OD的长度；再根据三角形面积公式，结合△AOB的面积建立坐标关系，最后计算OD与AE的比值。
步骤：1. 设A、B坐标，利用反比例函数性质得坐标满足xy=8；2. 由平行四边形性质得直线BC的斜率，求出直线BC与y轴交点D的纵坐标即OD；3. 用三角形面积公式结合已知面积得到m、n的关系；4. 代入OD和AE的表达式计算比值。
【解析】
设点A的坐标为$(m, \frac{8}{m})$，点B的坐标为$(n, \frac{8}{n})$（$m＞n＞0$），因A、B在$y=\frac{8}{x}$上，故$m · \frac{8}{m}=8$，$n · \frac{8}{n}=8$。
四边形OABC是平行四边形，故$OA // BC$，直线OA斜率为$\frac{8}{m^2}$，则直线BC斜率也为$\frac{8}{m^2}$。
直线BC过$B(n, \frac{8}{n})$，方程为$y - \frac{8}{n} = \frac{8}{m^2}(x - n)$，令$x=0$，得D点纵坐标：$y=\frac{8}{n} - \frac{8n}{m^2}$，即$OD=\frac{8}{n} - \frac{8n}{m^2}$。
因$AE ⊥ x$轴，故$AE=\frac{8}{m}$。
△AOB的面积公式为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|x_A y_B - x_B y_A|$，代入得：
$8=\frac{1}{2}\left| m · \frac{8}{n} - n · \frac{8}{m} \right|$，化简得$\frac{m^2 - n^2}{mn}=2$（$m＞n＞0$）。
计算$\frac{OD}{AE}$：
$\frac{OD}{AE}=\frac{\frac{8}{n} - \frac{8n}{m^2}}{\frac{8}{m}}=\frac{m^2 - n^2}{mn}=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数与平行四边形的性质，通过坐标法求解线段比值，关键是利用三角形面积建立坐标关系，体现数形结合思想，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先，利用反比例函数上点的坐标特征设出A、B两点坐标，结合平行四边形性质推导直线BC的表达式，求出OD的长度；再根据三角形面积公式，结合△AOB的面积建立坐标关系，最后计算OD与AE的比值。
步骤：1. 设A、B坐标，利用反比例函数性质得坐标满足xy=8；2. 由平行四边形性质得直线BC的斜率，求出直线BC与y轴交点D的纵坐标即OD；3. 用三角形面积公式结合已知面积得到m、n的关系；4. 代入OD和AE的表达式计算比值。
【解析】
设点A的坐标为$(m, \frac{8}{m})$，点B的坐标为$(n, \frac{8}{n})$（$m＞n＞0$），因A、B在$y=\frac{8}{x}$上，故$m · \frac{8}{m}=8$，$n · \frac{8}{n}=8$。
四边形OABC是平行四边形，故$OA // BC$，直线OA斜率为$\frac{8}{m^2}$，则直线BC斜率也为$\frac{8}{m^2}$。
直线BC过$B(n, \frac{8}{n})$，方程为$y - \frac{8}{n} = \frac{8}{m^2}(x - n)$，令$x=0$，得D点纵坐标：$y=\frac{8}{n} - \frac{8n}{m^2}$，即$OD=\frac{8}{n} - \frac{8n}{m^2}$。
因$AE ⊥ x$轴，故$AE=\frac{8}{m}$。
△AOB的面积公式为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|x_A y_B - x_B y_A|$，代入得：
$8=\frac{1}{2}\left| m · \frac{8}{n} - n · \frac{8}{m} \right|$，化简得$\frac{m^2 - n^2}{mn}=2$（$m＞n＞0$）。
计算$\frac{OD}{AE}$：
$\frac{OD}{AE}=\frac{\frac{8}{n} - \frac{8n}{m^2}}{\frac{8}{m}}=\frac{m^2 - n^2}{mn}=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数与平行四边形的性质，通过坐标法求解线段比值，关键是利用三角形面积建立坐标关系，体现数形结合思想，难度适中。
【难度系数】
0.5
10. 如图,点A,C在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,点B,D在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,$AB// y$轴,且四边形ABCD是平行四边形,则$□ ABCD$的面积为
8
.答案
10. 8
解析
【分析】
要计算平行四边形ABCD的面积，需结合反比例函数上点的坐标特征与平行四边形的性质：
1. 设AB所在直线的横坐标为t（t＞0），利用AB平行y轴，得到A、B两点横坐标相同，分别代入两个反比例函数求出A、B的纵坐标，进而得到AB的长度；
2. 由平行四边形对边平行且相等，可知CD平行于y轴且CD=AB，设CD所在直线的横坐标为s，同理求出CD的长度，结合AB=CD得到s与t的关系；
3. 平行四边形的面积等于底（AB的长度）乘以AB与CD之间的水平距离，代入计算即可得到结果。
【解析】
设点A的横坐标为t（t＞0），
∵ AB//y轴，
∴点B的横坐标也为t，
∵点A在$y=\frac{6}{x}$上，
∴$A(t, \frac{6}{t})$；点B在$y=\frac{2}{x}$上，
∴$B(t, \frac{2}{t})$，
∴AB的长度为：$\frac{6}{t} - \frac{2}{t} = \frac{4}{t}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，且AB=CD，
∴CD//y轴，设点C的横坐标为s，同理可得：
点C在$y=\frac{6}{x}$上，
∴$C(s, \frac{6}{s})$；点D在$y=\frac{2}{x}$上，
∴$D(s, \frac{2}{s})$，
∴CD的长度为：$\frac{2}{s} - \frac{6}{s} = \frac{-4}{s}$（s＜0，故CD长度为正）。
由AB=CD，得：$\frac{4}{t} = \frac{-4}{s}$，化简得$s=-t$。
AB所在直线为$x=t$，CD所在直线为$x=s=-t$，两直线间的水平距离为$t - s = t - (-t)=2t$，
平行四边形ABCD的面积 = AB长度 × 两直线间的水平距离 = $\frac{4}{t} × 2t = 8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数性质；平行四边形性质
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与平行四边形的性质，通过设参数简化计算，关键是利用平行四边形对边相等建立参数关系，进而求出面积，属于中等难度的综合题，需掌握反比例函数上点的坐标特点和平行四边形的面积计算方法。
【难度系数】
0.5
要计算平行四边形ABCD的面积，需结合反比例函数上点的坐标特征与平行四边形的性质：
1. 设AB所在直线的横坐标为t（t＞0），利用AB平行y轴，得到A、B两点横坐标相同，分别代入两个反比例函数求出A、B的纵坐标，进而得到AB的长度；
2. 由平行四边形对边平行且相等，可知CD平行于y轴且CD=AB，设CD所在直线的横坐标为s，同理求出CD的长度，结合AB=CD得到s与t的关系；
3. 平行四边形的面积等于底（AB的长度）乘以AB与CD之间的水平距离，代入计算即可得到结果。
【解析】
设点A的横坐标为t（t＞0），
∵ AB//y轴，
∴点B的横坐标也为t，
∵点A在$y=\frac{6}{x}$上，
∴$A(t, \frac{6}{t})$；点B在$y=\frac{2}{x}$上，
∴$B(t, \frac{2}{t})$，
∴AB的长度为：$\frac{6}{t} - \frac{2}{t} = \frac{4}{t}$。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，且AB=CD，
∴CD//y轴，设点C的横坐标为s，同理可得：
点C在$y=\frac{6}{x}$上，
∴$C(s, \frac{6}{s})$；点D在$y=\frac{2}{x}$上，
∴$D(s, \frac{2}{s})$，
∴CD的长度为：$\frac{2}{s} - \frac{6}{s} = \frac{-4}{s}$（s＜0，故CD长度为正）。
由AB=CD，得：$\frac{4}{t} = \frac{-4}{s}$，化简得$s=-t$。
AB所在直线为$x=t$，CD所在直线为$x=s=-t$，两直线间的水平距离为$t - s = t - (-t)=2t$，
平行四边形ABCD的面积 = AB长度 × 两直线间的水平距离 = $\frac{4}{t} × 2t = 8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数性质；平行四边形性质
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与平行四边形的性质，通过设参数简化计算，关键是利用平行四边形对边相等建立参数关系，进而求出面积，属于中等难度的综合题，需掌握反比例函数上点的坐标特点和平行四边形的面积计算方法。
【难度系数】
0.5
11. 如图,点$A(1,6)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上一个点,点$B(m,n)(m＞1)$是该函数图象上一个动点,过点A分别作$AD⊥ x$轴,$AC⊥ y$轴,垂足分别为D,C,过点B分别作$BF⊥ x$轴,$BE⊥ y$轴,垂足分别为F,E,设AD交BE于点G,连接AB.
(1) 求此反比例函数的表达式；
(2) 证明:点B在运动过程中,四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等；
(3) 若三角形AGB的面积等于四边形ODGE面积的一半,求点B的坐标.
(1) 求此反比例函数的表达式；
(2) 证明:点B在运动过程中,四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等；
(3) 若三角形AGB的面积等于四边形ODGE面积的一半,求点B的坐标.
答案
(1) $y=\frac{6}{x}$.
(2) 证明:$\because$点A,B在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,$AD⊥$
$x$轴,$AC⊥ y$轴,$BF⊥ x$轴,$BE⊥ y$轴,
$\therefore S_{四边形ACOD}=S_{四边形BEOF}=6$.
$\therefore S_{四边形ACOD}-S_{四边形GEOD}=S_{四边形BEOF}-S_{四边形GEOD}$,即
$S_{四边形ACEG}=S_{四边形BGDF}$.
(3) 点B的坐标为(2,3).
(2) 证明:$\because$点A,B在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上,$AD⊥$
$x$轴,$AC⊥ y$轴,$BF⊥ x$轴,$BE⊥ y$轴,
$\therefore S_{四边形ACOD}=S_{四边形BEOF}=6$.
$\therefore S_{四边形ACOD}-S_{四边形GEOD}=S_{四边形BEOF}-S_{四边形GEOD}$,即
$S_{四边形ACEG}=S_{四边形BGDF}$.
(3) 点B的坐标为(2,3).
解析
【分析】
第(1)问利用反比例函数上点的坐标特征，代入已知点A的坐标即可求出k值，得到函数表达式；第(2)问根据反比例函数的性质：双曲线上的点向坐标轴作垂线，所得矩形面积等于|k|，结合图形面积的差即可证明两个四边形面积相等；第(3)问先通过坐标表示出三角形AGB和四边形ODGE的面积，再结合已知条件列方程，结合反比例函数关系求解点B的坐标。
【解析】
(1) 将点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×6=6$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 证明：因为点A、B在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，$AD⊥x$轴，$AC⊥y$轴，$BF⊥x$轴，$BE⊥y$轴，所以四边形$ACOD$是矩形，面积为$AC·AD=1×6=6$；四边形$BEOF$是矩形，面积为$OE·OF=m·n=6$（因$mn=6$）。故$S_{四边形ACOD}=S_{四边形BEOF}=6$。又$S_{四边形ACOD}-S_{四边形GEOD}=S_{四边形ACEG}$，$S_{四边形BEOF}-S_{四边形GEOD}=S_{四边形BGDF}$，因此$S_{四边形ACEG}=S_{四边形BGDF}$。
(3) 由题意，G点坐标为$(1,n)$，则$AG=6-n$，$BG=m-1$，所以$S_{△AGB}=\frac{1}{2}·AG·BG=\frac{1}{2}(6-n)(m-1)$；四边形$ODGE$是矩形，面积为$OD·OE=1·n=n$。根据题意：$\frac{1}{2}(6-n)(m-1)=\frac{1}{2}n$，两边同乘2得$(6-n)(m-1)=n$。又因点B在$y=\frac{6}{x}$上，故$n=\frac{6}{m}$，代入得：
$(6-\frac{6}{m})(m-1)=\frac{6}{m}$，化简左边为$\frac{6(m-1)^2}{m}$，因此$\frac{6(m-1)^2}{m}=\frac{6}{m}$，两边同乘m得$6(m-1)^2=6$，即$(m-1)^2=1$。因$m＞1$，故$m-1=1$，解得$m=2$，则$n=\frac{6}{2}=3$，所以点B的坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；(2) 证明见解析；(3) $(2,3)$
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数面积性质、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的综合题，结合坐标与图形面积的关系，利用反比例函数的核心性质解题，需理清各图形面积的联系，难度中等。
【难度系数】
0.3
第(1)问利用反比例函数上点的坐标特征，代入已知点A的坐标即可求出k值，得到函数表达式；第(2)问根据反比例函数的性质：双曲线上的点向坐标轴作垂线，所得矩形面积等于|k|，结合图形面积的差即可证明两个四边形面积相等；第(3)问先通过坐标表示出三角形AGB和四边形ODGE的面积，再结合已知条件列方程，结合反比例函数关系求解点B的坐标。
【解析】
(1) 将点$A(1,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×6=6$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 证明：因为点A、B在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，$AD⊥x$轴，$AC⊥y$轴，$BF⊥x$轴，$BE⊥y$轴，所以四边形$ACOD$是矩形，面积为$AC·AD=1×6=6$；四边形$BEOF$是矩形，面积为$OE·OF=m·n=6$（因$mn=6$）。故$S_{四边形ACOD}=S_{四边形BEOF}=6$。又$S_{四边形ACOD}-S_{四边形GEOD}=S_{四边形ACEG}$，$S_{四边形BEOF}-S_{四边形GEOD}=S_{四边形BGDF}$，因此$S_{四边形ACEG}=S_{四边形BGDF}$。
(3) 由题意，G点坐标为$(1,n)$，则$AG=6-n$，$BG=m-1$，所以$S_{△AGB}=\frac{1}{2}·AG·BG=\frac{1}{2}(6-n)(m-1)$；四边形$ODGE$是矩形，面积为$OD·OE=1·n=n$。根据题意：$\frac{1}{2}(6-n)(m-1)=\frac{1}{2}n$，两边同乘2得$(6-n)(m-1)=n$。又因点B在$y=\frac{6}{x}$上，故$n=\frac{6}{m}$，代入得：
$(6-\frac{6}{m})(m-1)=\frac{6}{m}$，化简左边为$\frac{6(m-1)^2}{m}$，因此$\frac{6(m-1)^2}{m}=\frac{6}{m}$，两边同乘m得$6(m-1)^2=6$，即$(m-1)^2=1$。因$m＞1$，故$m-1=1$，解得$m=2$，则$n=\frac{6}{2}=3$，所以点B的坐标为$(2,3)$。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}$；(2) 证明见解析；(3) $(2,3)$
【知识点】
反比例函数表达式、反比例函数面积性质、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的综合题，结合坐标与图形面积的关系，利用反比例函数的核心性质解题，需理清各图形面积的联系，难度中等。
【难度系数】
0.3
