1. 下列计算错误的是()。

A.$\sqrt{14} × \sqrt{7} = 7\sqrt{2}$
B.$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = 2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 8\sqrt{a}$
D.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$

1.D

【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路是依次运用二次根式的乘除运算法则、加减运算法则（同类二次根式合并规则）对四个选项逐一计算验证，找出计算错误的选项。首先明确二次根式运算的基本规则：乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，除法法则$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，加减运算时先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，合并时仅系数相加减，根式部分保持不变。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\sqrt{14} × \sqrt{7} = \sqrt{14 × 7} = \sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = 7\sqrt{2}$，计算正确，不符合题意。
B选项：$\sqrt{60} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{60 ÷ 5} = \sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，计算正确，不符合题意。
C选项：由二次根式有意义可知$a≥0$，则$\sqrt{9a} + \sqrt{25a} = 3\sqrt{a} + 5\sqrt{a} = 8\sqrt{a}$，计算正确，不符合题意。
D选项：$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = (3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} ≠ 3$，计算错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式加减运算，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式运算法则的掌握程度，做题时要注意二次根式加减时仅合并同类二次根式的系数，不能省略根式部分，避免出现类似D选项的错误。
【难度系数】
0.85

2. 若$\dfrac{1}{\sqrt{2x - 1}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是()。

A.$x ≥ \dfrac{1}{2}$
B.$x ≥ -\dfrac{1}{2}$
C.$x ＞ \dfrac{1}{2}$
D.$x ≠ \dfrac{1}{2}$

2.C

【分析】
要确定式子有意义时x的取值范围，需结合分式和二次根式有意义的条件分析：首先，二次根式的被开方数必须是非负数；其次，分式的分母不能为0。将两个条件联立得到关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
若$\dfrac{1}{\sqrt{2x - 1}}$在实数范围内有意义，需同时满足两个要求：
1. 二次根式$\sqrt{2x-1}$的被开方数非负：$2x-1≥0$；
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{2x-1}≠0$，即$2x-1≠0$。
联立两个条件可得$2x-1＞0$，
解不等式：
$2x＞1$，
$x＞\dfrac{1}{2}$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题，重点考察二次根式与分式有意义条件的综合运用，易错点是容易忽略分母不能为0的要求，误选A选项，解题时需注意多个限制条件要同时满足。
【难度系数】
0.7

3.已知一直角三角形的两直角边长分别为12,16,则斜边上的中线为()。

A.6
B.8
C.9
D.10

3.D

【分析】
要计算直角三角形斜边上的中线，首先回忆直角三角形的相关性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此解题分为两步：第一步先利用勾股定理求出斜边的长度，第二步将斜边长度除以2即可得到斜边上的中线长。
【解析】
已知直角三角形两直角边长分别为12和16，根据勾股定理，斜边的长度为：
$\sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线长为：
$20 ÷ 2 = 10$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形的核心基础性质，只要熟练掌握勾股定理的计算以及斜边中线的性质，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

4. $△ ABC$中,若$(a + b)^2 - c^2 = 2ab$,则此三角形应是()。

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

4.B

【分析】
解题时首先对已知的含三角形三边的等式进行化简，先利用完全平方公式展开等式左边，再通过移项消去同类项，得到三角形三边的平方关系，最后结合勾股定理的逆定理判断三角形的类型即可。
【解析】
首先展开等式左边的完全平方：
$\begin{aligned}(a + b)^2 - c^2 &= a^2 + 2ab + b^2 - c^2\end{aligned}$
已知该式等于2ab，因此可得：
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$
等式两边同时减去2ab，化简得：
$a^2 + b^2 = c^2$
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查整式化简与三角形类型判断的结合，解题核心是先通过代数运算得到三边的平方关系，再套用勾股定理的逆定理完成判断，属于基础题型，计算量小。
【难度系数】
0.8

5.如右图,平行四边形ABCD中,对角线AC , BD交于点O,点E是BC的中点。若OE = 3 cm ,则AB的长为()。

A.3 cm
B.6 cm
C.9 cm
D.12 cm

5.B

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可得到点O是AC的中点；结合已知E是BC的中点，可知OE是△ABC的中位线；再根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，即可推出AB与OE的数量关系，代入OE的长度就能求出AB的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O
∴O是AC的中点（平行四边形对角线互相平分）
又
∵E是BC的中点
∴OE是△ABC的中位线
根据三角形中位线定理可得：$OE=\frac{1}{2}AB$
已知$OE=3\mathrm{cm}$，代入得：
$AB=2OE=2×3=6\mathrm{cm}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础题，将平行四边形的性质与三角形中位线定理结合考查，解题关键是识别出中位线，熟练掌握相关性质定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

1. 在$□ ABCD$中，AC与BD相交于点O，要使$□ ABCD$是矩形，可以添加如下条件中的________（填序号）：①$AB = AD$；②$OA = OB$；③$AC = BD$；④$CD ⊥ BC$。

1.②③④

【分析】
解题时先回忆平行四边形的基本性质和矩形的判定定理：矩形的判定包括“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”。再结合已知平行四边形的性质，逐个分析4个条件是否能推出平行四边形是矩形即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形性质可得：$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，且对边平行、邻角互补。
对各条件逐一判断：
① 若$AB=AD$：即平行四边形邻边相等，这是菱形的判定条件，无法判定是矩形，不符合要求；
② 若$OA=OB$：结合$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB=\frac{1}{2}BD$，可推出$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$\ykparallelogram ABCD$是矩形，符合要求；
③ 若$AC=BD$：直接满足“对角线相等的平行四边形是矩形”的判定条件，可判定$\ykparallelogram ABCD$是矩形，符合要求；
④ 若$CD⊥BC$：即$∠ BCD=90°$，根据“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”，可判定$\ykparallelogram ABCD$是矩形，符合要求。
综上，符合要求的条件是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
平行四边形的性质、矩形的判定定理、菱形的判定定理
【点评】
本题是特殊平行四边形判定的基础题，核心是区分矩形和菱形的判定规则，熟练掌握特殊平行四边形的性质和判定方法即可快速求解，注意不要混淆不同特殊四边形的判定条件。
【难度系数】
0.8

2.若$\sqrt{x - 8} + \sqrt{y - 2} = 0$,则$x + y =$。

2.10

【分析】
首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的结果是非负数，即$\sqrt{a} ≥ 0$（$a ≥ 0$）。题目中两个算术平方根的和为0，根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可以分别令两个根号对应的被开方数相关的等式成立，求出x和y的值，再计算$x+y$即可。
【解析】
解：根据二次根式的非负性可知：
$\sqrt{x-8} ≥ 0$，$\sqrt{y-2} ≥ 0$
又因为$\sqrt{x - 8} + \sqrt{y - 2} = 0$，
所以只有当$\sqrt{x-8}=0$且$\sqrt{y-2}=0$时，等式才成立，
即：
$x-8=0$，解得$x=8$
$y-2=0$，解得$y=2$
因此$x+y=8+2=10$
【答案】
10
【知识点】
二次根式的非负性；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是掌握算术平方根的非负性以及“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，熟练运用该性质即可快速求出未知数的值，进而得到计算结果。
【难度系数】
0.9

3.用40 cm长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3:2，则长边是 cm，短边是 cm。

3.12 8

【分析】
解题首先要用到平行四边形对边相等的性质，先推导平行四边形周长和邻边和的关系：周长等于2倍的邻边之和。已知周长为40cm，可先算出一组邻边的和，再结合长边与短边的比为3:2，通过设参数或按比例分配的方法就能分别算出长边和短边的长度。
【解析】
解：
∵ 平行四边形的对边相等，
∴ 平行四边形的周长 = 2×(长边长度 + 短边长度)
已知周长为40cm，代入得：
长边 + 短边 = 40÷2 = 20 cm
∵ 长边:短边 = 3:2，设长边为3x cm，短边为2x cm，可得：
3x + 2x = 20
5x = 20
解得x = 4
∴ 长边长度 = 3x = 3×4 = 12 cm
短边长度 = 2x = 2×4 = 8 cm
【答案】
12；8
【知识点】
平行四边形对边相等；按比例分配；平行四边形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质与比例知识结合的基础题型，解题关键是牢记平行四边形对边相等的性质，进而结合周长条件和边长比例求解，计算量小，掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9