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4. 平行四边形ABCD中，∠A=50°,AB=30 cm,则∠B=
130°
,DC=30
cm。答案
4.130° 30
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：1. 平行四边形的邻角互补；2. 平行四边形的对边相等。第一步求∠B：∠A和∠B是平行四边形的一组邻角，满足和为180°，已知∠A的度数，代入即可求出∠B。第二步求DC的长度：DC和AB是平行四边形的一组对边，长度相等，已知AB的长度，直接可得DC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，DC=AB，
∴ ∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠A=50°，AB=30cm，
∴ ∠B = 180° - 50° = 130°，
DC = AB = 30cm。
【答案】
130°；30
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对边相等
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平行四边形的基本性质，熟练掌握平行四边形边角的相关性质即可快速求解，注意区分平行四边形邻角、对角的性质，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平行四边形的性质：1. 平行四边形的邻角互补；2. 平行四边形的对边相等。第一步求∠B：∠A和∠B是平行四边形的一组邻角，满足和为180°，已知∠A的度数，代入即可求出∠B。第二步求DC的长度：DC和AB是平行四边形的一组对边，长度相等，已知AB的长度，直接可得DC的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，DC=AB，
∴ ∠A + ∠B = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠A=50°，AB=30cm，
∴ ∠B = 180° - 50° = 130°，
DC = AB = 30cm。
【答案】
130°；30
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对边相等
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查平行四边形的基本性质，熟练掌握平行四边形边角的相关性质即可快速求解，注意区分平行四边形邻角、对角的性质，避免混淆。
【难度系数】
0.9
5. ① $\sqrt{4 × 121}$ =
22
;② $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$ = $\sqrt{5} - 2$
。答案
5.22 $\sqrt{5} - 2$
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关性质，解题思路如下：①对于乘积的算术平方根，利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}（a≥0，b≥0）$，将被开方数的两个因数分别开方后再相乘即可求解；②对于平方的算术平方根，利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先转化为绝对值形式，再判断2和$\sqrt{5}$的大小关系，确定$2-\sqrt{5}$的正负，去绝对值后即可得到结果。
【解析】
① 计算$\sqrt{4 × 121}$：
根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}（a≥0，b≥0）$，可得：
$\sqrt{4 × 121}=\sqrt{4}×\sqrt{121}=2×11=22$
② 计算$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$：
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|$
因为$\sqrt{5}≈2.236＞2$，所以$2-\sqrt{5}＜0$，负数的绝对值等于它的相反数，因此：
$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$
【答案】
①22；②$\sqrt{5}-2$
【知识点】
二次根式化简、绝对值的性质、算术平方根运算
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，重点考查对二次根式核心性质的掌握，解题的关键是注意化简$\sqrt{a^2}$时要先转化为绝对值，再根据底数的正负去绝对值，避免出现符号错误，是二次根式模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关性质，解题思路如下：①对于乘积的算术平方根，利用性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}（a≥0，b≥0）$，将被开方数的两个因数分别开方后再相乘即可求解；②对于平方的算术平方根，利用性质$\sqrt{a^2}=|a|$，先转化为绝对值形式，再判断2和$\sqrt{5}$的大小关系，确定$2-\sqrt{5}$的正负，去绝对值后即可得到结果。
【解析】
① 计算$\sqrt{4 × 121}$：
根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}（a≥0，b≥0）$，可得：
$\sqrt{4 × 121}=\sqrt{4}×\sqrt{121}=2×11=22$
② 计算$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}$：
根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|$
因为$\sqrt{5}≈2.236＞2$，所以$2-\sqrt{5}＜0$，负数的绝对值等于它的相反数，因此：
$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$
【答案】
①22；②$\sqrt{5}-2$
【知识点】
二次根式化简、绝对值的性质、算术平方根运算
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，重点考查对二次根式核心性质的掌握，解题的关键是注意化简$\sqrt{a^2}$时要先转化为绝对值，再根据底数的正负去绝对值，避免出现符号错误，是二次根式模块的基础常考题。
【难度系数】
0.8
1.如右图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且AE = CF。求证：四边形DEBF是平行四边形。
答案
证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD,AD = BC,AB // CD,AD // BC,
∴ ∠DCF = ∠BAE, ∠BCF = ∠DAE,
在△ABE 和△CDF 中，
$\begin{cases} AB = CD, \\ ∠BAE = ∠DCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF(SAS),
∴ BE = DF。
同理,△ADE≌△CBF(SAS),
∴ DE = BF。
∴ 四边形DEBF 是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD,AD = BC,AB // CD,AD // BC,
∴ ∠DCF = ∠BAE, ∠BCF = ∠DAE,
在△ABE 和△CDF 中，
$\begin{cases} AB = CD, \\ ∠BAE = ∠DCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF(SAS),
∴ BE = DF。
同理,△ADE≌△CBF(SAS),
∴ DE = BF。
∴ 四边形DEBF 是平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形DEBF是平行四边形，可通过“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质，得到对边平行且相等，进而推出AC与平行四边形两组对边形成的内错角相等；结合已知条件AE=CF，可通过SAS判定分别证明△ABE和△CDF全等、△ADE和△CBF全等，得到BE=DF、DE=BF，即可得出四边形DEBF的两组对边分别相等，完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC，AB // CD，AD // BC，
∴ ∠DCF = ∠BAE，∠BCF = ∠DAE，
在△ABE 和△CDF 中，
$\begin{cases} AB = CD, \\ ∠BAE = ∠DCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF（SAS），
∴ BE = DF。
同理可证△ADE≌△CBF（SAS），
∴ DE = BF。
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形DEBF是平行四边形。
【答案】
证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD,AD = BC,AB // CD,AD // BC,
∴ ∠DCF = ∠BAE, ∠BCF = ∠DAE,
在△ABE 和△CDF 中，
$\begin{cases} AB = CD, \\ ∠BAE = ∠DCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF(SAS),
∴ BE = DF。
同理,△ADE≌△CBF(SAS),
∴ DE = BF。
∴ 四边形DEBF 是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查平行四边形性质与判定的综合运用，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明四边形DEBF是平行四边形，可通过“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。首先利用平行四边形ABCD的性质，得到对边平行且相等，进而推出AC与平行四边形两组对边形成的内错角相等；结合已知条件AE=CF，可通过SAS判定分别证明△ABE和△CDF全等、△ADE和△CBF全等，得到BE=DF、DE=BF，即可得出四边形DEBF的两组对边分别相等，完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC，AB // CD，AD // BC，
∴ ∠DCF = ∠BAE，∠BCF = ∠DAE，
在△ABE 和△CDF 中，
$\begin{cases} AB = CD, \\ ∠BAE = ∠DCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF（SAS），
∴ BE = DF。
同理可证△ADE≌△CBF（SAS），
∴ DE = BF。
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形DEBF是平行四边形。
【答案】
证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD,AD = BC,AB // CD,AD // BC,
∴ ∠DCF = ∠BAE, ∠BCF = ∠DAE,
在△ABE 和△CDF 中，
$\begin{cases} AB = CD, \\ ∠BAE = ∠DCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF(SAS),
∴ BE = DF。
同理,△ADE≌△CBF(SAS),
∴ DE = BF。
∴ 四边形DEBF 是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查平行四边形性质与判定的综合运用，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,∠1=∠2。
(1)求证:四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BOC=120°,AB=4 cm,求四边形ABCD的面积。
(1)求证:四边形ABCD是矩形；
(2)若∠BOC=120°,AB=4 cm,求四边形ABCD的面积。
答案
(1)证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA = OC,OB = OD。又因为∠1 = ∠2,所以OB = OC,进而AC = BD。根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,可得四边形ABCD是矩形。
(2) $16\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
(2) $16\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 要证明平行四边形ABCD是矩形，可选用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理，目标是证AC=BD。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得OA=OC、OB=OD；再结合∠1=∠2，由等角对等边得OB=OC，即可推出AC=BD，完成证明。
(2) 已知四边形是矩形，因此∠ABC为直角，可结合直角三角形性质计算边长。先由∠BOC=120°，结合OB=OC求出∠2=30°，再利用直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半求出AC的长度，用勾股定理算出BC的长度，最后根据矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵∠1=∠2，
∴OB=OC（等角对等边），
∴AC=2OC，BD=2OB，即AC=BD。
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵∠BOC=120°，OB=OC，
∴∠2=(180°-120°)÷2=30°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。
在Rt△ABC中，∠2=30°，AB=4cm，
∴AC=2AB=8cm（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
∴矩形ABCD的面积$=AB× BC=4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $16\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
【知识点】
矩形的判定与性质，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形的基础综合题，既考查了平行四边形转化为矩形的判定方法，也结合了等腰三角形、直角三角形的性质计算边长，解题时要牢记特殊四边形的判定和性质，灵活结合三角形相关定理求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明平行四边形ABCD是矩形，可选用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理，目标是证AC=BD。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得OA=OC、OB=OD；再结合∠1=∠2，由等角对等边得OB=OC，即可推出AC=BD，完成证明。
(2) 已知四边形是矩形，因此∠ABC为直角，可结合直角三角形性质计算边长。先由∠BOC=120°，结合OB=OC求出∠2=30°，再利用直角三角形中30°角对的直角边是斜边一半求出AC的长度，用勾股定理算出BC的长度，最后根据矩形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵∠1=∠2，
∴OB=OC（等角对等边），
∴AC=2OC，BD=2OB，即AC=BD。
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵∠BOC=120°，OB=OC，
∴∠2=(180°-120°)÷2=30°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）。
在Rt△ABC中，∠2=30°，AB=4cm，
∴AC=2AB=8cm（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
∴矩形ABCD的面积$=AB× BC=4×4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $16\sqrt{3}\mathrm{cm}^2$
【知识点】
矩形的判定与性质，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形的基础综合题，既考查了平行四边形转化为矩形的判定方法，也结合了等腰三角形、直角三角形的性质计算边长，解题时要牢记特殊四边形的判定和性质，灵活结合三角形相关定理求解。
【难度系数】
0.7
四、综合实践活动
如右图，为修通铁路凿通隧道AC，量出$∠ C=90°$，$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，若每天凿隧道$0.3\ \mathrm{km}$，问几天才能把隧道AC凿通？
如右图，为修通铁路凿通隧道AC，量出$∠ C=90°$，$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$，若每天凿隧道$0.3\ \mathrm{km}$，问几天才能把隧道AC凿通？
答案
10 天才能将隧道凿通。
解析
【分析】
首先观察到△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB和直角边BC的长度，我们可以先利用勾股定理求出另一条直角边AC的长度，也就是隧道的总长度，再用总长度除以每天开凿的长度，就能得到需要的总天数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$代入得：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
∵AC为长度，取正数，
∴$AC=3\ \mathrm{km}$
已知每天凿隧道0.3km，故需要的天数为：
$3÷0.3=10$（天）
【答案】
10天才能把隧道AC凿通。
【知识点】
勾股定理；工程问题计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是先利用直角三角形的勾股定理求出待开凿隧道的总长度，再结合工作效率计算出所需的工作时间，解题时注意计算结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
首先观察到△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知斜边AB和直角边BC的长度，我们可以先利用勾股定理求出另一条直角边AC的长度，也就是隧道的总长度，再用总长度除以每天开凿的长度，就能得到需要的总天数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
将$AB=5\ \mathrm{km}$，$BC=4\ \mathrm{km}$代入得：
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$
∵AC为长度，取正数，
∴$AC=3\ \mathrm{km}$
已知每天凿隧道0.3km，故需要的天数为：
$3÷0.3=10$（天）
【答案】
10天才能把隧道AC凿通。
【知识点】
勾股定理；工程问题计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的核心是先利用直角三角形的勾股定理求出待开凿隧道的总长度，再结合工作效率计算出所需的工作时间，解题时注意计算结果要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
