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1. 如右图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，$AF ⊥ CD$于点$F$。若$∠ EAF = 55°$，则$∠ D$的大小为(
A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
C
)。A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，先观察四边形AECF，已知AE⊥BC、AF⊥CD可得两个内角为90°，结合四边形内角和为360°，可求出∠C的度数；第二步，根据平行四边形邻角互补的性质，∠C与∠D是邻角，二者之和为180°，代入∠C的度数即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°。
∵四边形的内角和为360°，在四边形AECF中：
∠EAF + ∠AEC + ∠C + ∠AFC = 360°，
将∠EAF=55°，∠AEC=∠AFC=90°代入得：
∠C = 360° - 55° - 90° - 90° = 125°。
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠D + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠D = 180° - 125° = 55°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；四边形内角和定理；垂直的定义
【点评】
本题是基础几何题，重点考察平行四边形性质与四边形内角和的结合应用，解题的突破口是先通过四边形AECF的内角和求出∠C的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算目标角，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，先观察四边形AECF，已知AE⊥BC、AF⊥CD可得两个内角为90°，结合四边形内角和为360°，可求出∠C的度数；第二步，根据平行四边形邻角互补的性质，∠C与∠D是邻角，二者之和为180°，代入∠C的度数即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°。
∵四边形的内角和为360°，在四边形AECF中：
∠EAF + ∠AEC + ∠C + ∠AFC = 360°，
将∠EAF=55°，∠AEC=∠AFC=90°代入得：
∠C = 360° - 55° - 90° - 90° = 125°。
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠D + ∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠D = 180° - 125° = 55°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；四边形内角和定理；垂直的定义
【点评】
本题是基础几何题，重点考察平行四边形性质与四边形内角和的结合应用，解题的突破口是先通过四边形AECF的内角和求出∠C的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算目标角，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.如右图,在$□ ABCD$中,BC = 2,点E在DA的延长线上,BE = 3,若BA平分$∠ EBC$,则DE的长为(
A.6
B.3
C.2
D.5
D
)。A.6
B.3
C.2
D.5
答案
2.D
解析
【分析】
解题思路：首先回忆平行四边形的性质，可得对边平行且相等，能得到AD的长度以及BC与ED平行的关系；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得出∠EBA=∠EAB，根据等角对等边可得EA=EB，最后将EA和AD相加即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，BC//AD，
∴∠CBA=∠EAB（两直线平行，内错角相等），
∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA=∠CBA，
∴∠EBA=∠EAB，
∴EA=EB=3（等角对等边），
∴DE=EA+AD=3+2=5。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是结合平行关系和角平分线条件推导等腰三角形，进而求出对应线段长度，解题时要注意梳理图形中的角和边的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆平行四边形的性质，可得对边平行且相等，能得到AD的长度以及BC与ED平行的关系；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得出∠EBA=∠EAB，根据等角对等边可得EA=EB，最后将EA和AD相加即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，BC//AD，
∴∠CBA=∠EAB（两直线平行，内错角相等），
∵BA平分∠EBC，
∴∠EBA=∠CBA，
∴∠EBA=∠EAB，
∴EA=EB=3（等角对等边），
∴DE=EA+AD=3+2=5。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是结合平行关系和角平分线条件推导等腰三角形，进而求出对应线段长度，解题时要注意梳理图形中的角和边的对应关系。
【难度系数】
0.8
3.如右图,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接EF,则EF的长是(
A.$2\sqrt{6}$
B.$5$
C.$4\sqrt{2}$
D.$10$
B
)。A.$2\sqrt{6}$
B.$5$
C.$4\sqrt{2}$
D.$10$
答案
3.B
解析
【分析】
看到题目中存在多个边的中点，且已知两条互相垂直的对角线的长度，我们可以借助三角形中位线定理搭建已知条件和所求线段EF的联系。思考步骤：首先取AB的中点G，连接EG、FG，将EG、FG构造为三角形的中位线，利用中位线性质得到EG、FG的长度和二者的位置关系，再结合AC⊥BD的条件可得△EGF为直角三角形，最后用勾股定理计算EF的长度即可。
【解析】
解：取AB的中点G，连接EG、FG。
∵ E是AD的中点，G是AB的中点，
∴ EG是△ABD的中位线，
∴ EG//BD，且EG = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
∵ F是BC的中点，G是AB的中点，
∴ FG是△ABC的中位线，
∴ FG//AC，且FG = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
又
∵ AC⊥BD，EG//BD，FG//AC，
∴ EG⊥FG，即∠EGF = 90°，△EGF是直角三角形。
根据勾股定理可得：
EF = $\sqrt{EG^2 + FG^2}$ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = $\sqrt{25}$ = 5。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是典型的中点类几何计算题，解题核心是通过作辅助线构造三角形中位线，将分散的已知长度、垂直关系集中到同一个直角三角形中，很好地考查了对三角形中位线性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
看到题目中存在多个边的中点，且已知两条互相垂直的对角线的长度，我们可以借助三角形中位线定理搭建已知条件和所求线段EF的联系。思考步骤：首先取AB的中点G，连接EG、FG，将EG、FG构造为三角形的中位线，利用中位线性质得到EG、FG的长度和二者的位置关系，再结合AC⊥BD的条件可得△EGF为直角三角形，最后用勾股定理计算EF的长度即可。
【解析】
解：取AB的中点G，连接EG、FG。
∵ E是AD的中点，G是AB的中点，
∴ EG是△ABD的中位线，
∴ EG//BD，且EG = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
∵ F是BC的中点，G是AB的中点，
∴ FG是△ABC的中位线，
∴ FG//AC，且FG = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
又
∵ AC⊥BD，EG//BD，FG//AC，
∴ EG⊥FG，即∠EGF = 90°，△EGF是直角三角形。
根据勾股定理可得：
EF = $\sqrt{EG^2 + FG^2}$ = $\sqrt{4^2 + 3^2}$ = $\sqrt{25}$ = 5。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题是典型的中点类几何计算题，解题核心是通过作辅助线构造三角形中位线，将分散的已知长度、垂直关系集中到同一个直角三角形中，很好地考查了对三角形中位线性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
4.如右图，菱形ABCD中，O为BD的中点，M为BC的中点，AM ⊥ BC，OM = 2，则AM的长为(
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C
)。A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先从中点条件切入，首先利用三角形中位线定理求出菱形的边长；再结合AM垂直且平分BC的条件，推导出△ABC为等边三角形，最后计算等边三角形的高即可得到AM的长度。
【解析】
1. 已知四边形ABCD是菱形，因此菱形四条边相等，即AB=BC=CD。
2.
∵O是BD中点，M是BC中点，
∴OM是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$OM=\frac{1}{2}CD$。
已知$OM=2$，代入得$CD=2OM=4$，因此$BC=CD=4$。
3.
∵$AM⊥BC$，且M是BC中点，
∴AM是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AB=AC$。
4. 结合菱形性质$AB=BC$，可得$AB=BC=AC=4$，即△ABC是边长为4的等边三角形。
5. 在等边△ABC中，$BM=\frac{1}{2}BC=2$，由勾股定理得：$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；三角形中位线定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将多个常见几何图形的性质结合考查，解题的关键是通过中位线求出菱形边长，再推导得到等边三角形，考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从中点条件切入，首先利用三角形中位线定理求出菱形的边长；再结合AM垂直且平分BC的条件，推导出△ABC为等边三角形，最后计算等边三角形的高即可得到AM的长度。
【解析】
1. 已知四边形ABCD是菱形，因此菱形四条边相等，即AB=BC=CD。
2.
∵O是BD中点，M是BC中点，
∴OM是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得：$OM=\frac{1}{2}CD$。
已知$OM=2$，代入得$CD=2OM=4$，因此$BC=CD=4$。
3.
∵$AM⊥BC$，且M是BC中点，
∴AM是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AB=AC$。
4. 结合菱形性质$AB=BC$，可得$AB=BC=AC=4$，即△ABC是边长为4的等边三角形。
5. 在等边△ABC中，$BM=\frac{1}{2}BC=2$，由勾股定理得：$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；三角形中位线定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将多个常见几何图形的性质结合考查，解题的关键是通过中位线求出菱形边长，再推导得到等边三角形，考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1.如
，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC与BE相交于点F，则∠AFE =
，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC与BE相交于点F，则∠AFE = 60°
。答案
1.60°
解析
【分析】
解题时先回忆正方形、等边三角形的性质：首先正方形四条边相等，内角为90°，对角线平分内角；等边三角形三边相等，内角为60°。第一步先推导AB=AE，得到△ABE是等腰三角形，计算出∠BAE的度数，进而求出∠ABE的度数，最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠AFE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°，对角线AC平分∠BAD，即∠BAC=45°
∵△ADE是等边三角形
∴AD=AE，∠DAE=60°
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°
在等腰△ABE中，∠ABE=∠AEB=(180°−∠BAE)÷2=(180°−150°)÷2=15°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=45°+15°=60°
【答案】
60°
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊几何图形的综合基础题，核心是熟练掌握正方形、等边三角形的性质，通过边的等量关系转化得到等腰三角形，再结合外角性质求解，能较好地考察学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆正方形、等边三角形的性质：首先正方形四条边相等，内角为90°，对角线平分内角；等边三角形三边相等，内角为60°。第一步先推导AB=AE，得到△ABE是等腰三角形，计算出∠BAE的度数，进而求出∠ABE的度数，最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠AFE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90°，对角线AC平分∠BAD，即∠BAC=45°
∵△ADE是等边三角形
∴AD=AE，∠DAE=60°
∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°
在等腰△ABE中，∠ABE=∠AEB=(180°−∠BAE)÷2=(180°−150°)÷2=15°
∵∠AFE是△ABF的外角
∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=45°+15°=60°
【答案】
60°
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊几何图形的综合基础题，核心是熟练掌握正方形、等边三角形的性质，通过边的等量关系转化得到等腰三角形，再结合外角性质求解，能较好地考察学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如右图,在矩形$ABCD$中,$AB = 8$,$BC = 6$,$E$为$AB$上一点, 第1题图
连接$DE$,将$△ ADE$沿$DE$折叠,点$A$落在$A_1$处,连接$A_1C$,若$F$,$G$分别为$A_1C$,$BC$的中点,则$FG$的最小值为
连接$DE$,将$△ ADE$沿$DE$折叠,点$A$落在$A_1$处,连接$A_1C$,若$F$,$G$分别为$A_1C$,$BC$的中点,则$FG$的最小值为
2
。答案
2.2
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质确定动点$A_1$的运动轨迹：折叠后对应边相等，故$DA_1=DA=6$，即$A_1$在以$D$为圆心、6为半径的圆上。再结合中点条件，由三角形中位线定理可得$FG=\frac{1}{2}A_1B$，将求$FG$最小值的问题转化为求$A_1B$的最小值。最后根据圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，计算出$A_1B$的最小值，即可得到$FG$的最小值。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD=BC=6$，$∠ A=90°$，
由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵ $△ ADE$沿$DE$折叠得到$△ A_1DE$，
∴ $DA_1=DA=6$，
∴ 点$A_1$的运动轨迹是以$D$为圆心，6为半径的圆。
∵ $F$是$A_1C$的中点，$G$是$BC$的中点，
∴ $FG$是$△ A_1BC$的中位线，由三角形中位线性质得：$FG=\frac{1}{2}A_1B$。
要使$FG$最小，则$A_1B$最小，当$D$、$A_1$、$B$三点共线时，$A_1B$取最小值，
此时$A_1B=BD - DA_1=10 - 6=4$，
∴ $FG$的最小值为$\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
折叠的性质，三角形中位线定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是几何最值类典型题，综合考查了折叠变换、三角形中位线、圆的基本性质，解题核心是通过中位线将所求线段转化为圆上动点到定点的距离，降低了求解难度。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用折叠的性质确定动点$A_1$的运动轨迹：折叠后对应边相等，故$DA_1=DA=6$，即$A_1$在以$D$为圆心、6为半径的圆上。再结合中点条件，由三角形中位线定理可得$FG=\frac{1}{2}A_1B$，将求$FG$最小值的问题转化为求$A_1B$的最小值。最后根据圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，计算出$A_1B$的最小值，即可得到$FG$的最小值。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $AD=BC=6$，$∠ A=90°$，
由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
∵ $△ ADE$沿$DE$折叠得到$△ A_1DE$，
∴ $DA_1=DA=6$，
∴ 点$A_1$的运动轨迹是以$D$为圆心，6为半径的圆。
∵ $F$是$A_1C$的中点，$G$是$BC$的中点，
∴ $FG$是$△ A_1BC$的中位线，由三角形中位线性质得：$FG=\frac{1}{2}A_1B$。
要使$FG$最小，则$A_1B$最小，当$D$、$A_1$、$B$三点共线时，$A_1B$取最小值，
此时$A_1B=BD - DA_1=10 - 6=4$，
∴ $FG$的最小值为$\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
折叠的性质，三角形中位线定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题是几何最值类典型题，综合考查了折叠变换、三角形中位线、圆的基本性质，解题核心是通过中位线将所求线段转化为圆上动点到定点的距离，降低了求解难度。
【难度系数】
0.6
