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2. 已知$a$，$b$，$c$是一个三角形的三条边，且满足$|a - 2| + (b - \sqrt{13})^2 + \sqrt{c - 3} = 0$，则这个三角形的面积是
3
。答案
2.3
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值、平方数、算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。我们先借助该性质求出三角形三边长a、b、c的值，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后根据对应三角形的面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵ |a-2|≥0，$(b-\sqrt{13})^2≥0$，$\sqrt{c-3}≥0$，且三者的和为0
∴ 每个非负数的值都为0，即：
$a-2=0$，解得$a=2$；
$b-\sqrt{13}=0$，解得$b=\sqrt{13}$；
$c-3=0$，解得$c=3$。
接下来验证三角形形状：
计算各边的平方：$a^2=2^2=4$，$c^2=3^2=9$，$b^2=(\sqrt{13})^2=13$
可得$a^2 + c^2 = 4 + 9 = 13 = b^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，且直角边为$a=2$、$c=3$。
直角三角形面积 = $\frac{1}{2}$ × 直角边1 × 直角边2
∴ 该三角形面积$S = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$
【答案】
3
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将非负性的考查和直角三角形的判定、面积计算结合，熟练掌握各基础知识点是解题的关键，这类题型是代数与几何结合的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值、平方数、算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。我们先借助该性质求出三角形三边长a、b、c的值，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后根据对应三角形的面积公式计算面积即可。
【解析】
解：
∵ |a-2|≥0，$(b-\sqrt{13})^2≥0$，$\sqrt{c-3}≥0$，且三者的和为0
∴ 每个非负数的值都为0，即：
$a-2=0$，解得$a=2$；
$b-\sqrt{13}=0$，解得$b=\sqrt{13}$；
$c-3=0$，解得$c=3$。
接下来验证三角形形状：
计算各边的平方：$a^2=2^2=4$，$c^2=3^2=9$，$b^2=(\sqrt{13})^2=13$
可得$a^2 + c^2 = 4 + 9 = 13 = b^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，且直角边为$a=2$、$c=3$。
直角三角形面积 = $\frac{1}{2}$ × 直角边1 × 直角边2
∴ 该三角形面积$S = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3$
【答案】
3
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将非负性的考查和直角三角形的判定、面积计算结合，熟练掌握各基础知识点是解题的关键，这类题型是代数与几何结合的常见考法。
【难度系数】
0.8
3. 如右图所示，$△ EFG$为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母$A$所代表的半圆的面积为
100
。答案
3.100
解析
【分析】
首先观察图形特征，直角三角形△EFG的三条边恰好对应三个半圆的直径，我们可以先推导半圆面积与直径的数量关系，再结合勾股定理得到三个半圆面积的等量关系，进而求出A的面积。解题思路为：第一步用直径表示半圆面积，找到面积和直径平方的正比关系；第二步利用勾股定理得到三条直径的平方关系；第三步将两者结合，通过等量代换计算A的面积。
【解析】
设A所在半圆的直径为$d_1=EF$，面积为300的半圆直径为$d_2=FG$，面积为400的半圆直径为$d_3=EG$。
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π·(\frac{d}{2})^2=\frac{π d^2}{8}$，因此：
$A=\frac{π d_1^2}{8}$，$300=\frac{π d_2^2}{8}$，$400=\frac{π d_3^2}{8}$。
因为△EFG是直角三角形，直角在F点，根据勾股定理可得：$d_1^2+d_2^2=d_3^2$。
等式两边同时乘$\frac{π}{8}$，得：$\frac{π d_1^2}{8}+\frac{π d_2^2}{8}=\frac{π d_3^2}{8}$。
代入上述面积表达式可得：$A+300=400$，解得$A=400-300=100$。
【答案】
100
【知识点】
勾股定理，圆的面积计算
【点评】
本题将几何图形的两个基础知识点结合考查，解题的核心是发现半圆面积与直径平方的正比关系，从而将边长的勾股关系转化为面积的和差关系，无需单独计算直径长度就能快速求解，能很好地锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，直角三角形△EFG的三条边恰好对应三个半圆的直径，我们可以先推导半圆面积与直径的数量关系，再结合勾股定理得到三个半圆面积的等量关系，进而求出A的面积。解题思路为：第一步用直径表示半圆面积，找到面积和直径平方的正比关系；第二步利用勾股定理得到三条直径的平方关系；第三步将两者结合，通过等量代换计算A的面积。
【解析】
设A所在半圆的直径为$d_1=EF$，面积为300的半圆直径为$d_2=FG$，面积为400的半圆直径为$d_3=EG$。
半圆面积公式为$S=\frac{1}{2}π·(\frac{d}{2})^2=\frac{π d^2}{8}$，因此：
$A=\frac{π d_1^2}{8}$，$300=\frac{π d_2^2}{8}$，$400=\frac{π d_3^2}{8}$。
因为△EFG是直角三角形，直角在F点，根据勾股定理可得：$d_1^2+d_2^2=d_3^2$。
等式两边同时乘$\frac{π}{8}$，得：$\frac{π d_1^2}{8}+\frac{π d_2^2}{8}=\frac{π d_3^2}{8}$。
代入上述面积表达式可得：$A+300=400$，解得$A=400-300=100$。
【答案】
100
【知识点】
勾股定理，圆的面积计算
【点评】
本题将几何图形的两个基础知识点结合考查，解题的核心是发现半圆面积与直径平方的正比关系，从而将边长的勾股关系转化为面积的和差关系，无需单独计算直径长度就能快速求解，能很好地锻炼知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如
，当张角为∠BAD时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，求顶部边缘B处到底部边缘A处的距离。
某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动。如
，当张角为∠BAD时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，求顶部边缘B处到底部边缘A处的距离。答案
25 cm
解析
【分析】
首先根据题意，BC垂直于桌面所在的直线CD，可判断△ABC是直角三角形，且∠C=90°。题目已知两条直角边AC、BC的长度，要求斜边AB的长度，直接运用勾股定理即可求解。
【解析】
由题意得BC⊥CD，因此∠C=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=7 cm，根据勾股定理：
$\boldsymbol{AB^2 = AC^2 + BC^2}$
代入数值计算：
$AB^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$
因为AB为线段长度，结果取正，得$AB=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
【答案】
25 cm
【知识点】
勾股定理、直角三角形判定
【点评】
本题将生活实际问题转化为直角三角形几何模型，考查勾股定理的基础应用，解题关键是准确识别直角三角形，明确对应直角边和斜边的长度。
【难度系数】
0.9
首先根据题意，BC垂直于桌面所在的直线CD，可判断△ABC是直角三角形，且∠C=90°。题目已知两条直角边AC、BC的长度，要求斜边AB的长度，直接运用勾股定理即可求解。
【解析】
由题意得BC⊥CD，因此∠C=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=7 cm，根据勾股定理：
$\boldsymbol{AB^2 = AC^2 + BC^2}$
代入数值计算：
$AB^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$
因为AB为线段长度，结果取正，得$AB=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
【答案】
25 cm
【知识点】
勾股定理、直角三角形判定
【点评】
本题将生活实际问题转化为直角三角形几何模型，考查勾股定理的基础应用，解题关键是准确识别直角三角形，明确对应直角边和斜边的长度。
【难度系数】
0.9
四、综合实践活动
数学家波利亚说过:“为了得到一个方程,我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来,即将一个量算两次,从而建立等量关系。”类似地,我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积,从而得到一个等式。
(1)如图
,大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成。请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积。
方法1: $ S_{\mathrm{大正方形}} = $
根据以上信息,可以得到的等式是
(2)如图,大正方形是由四个边长分别为$ a,b,c $的直角三角形($ c $为斜边)和一个小正方形拼成。请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积,并推导得到$ a,b,c $之间的数量关系。
(3)在(2)的条件下,若$ a = 3 $, $ b = 4 $,求图中小正方形的面积。
数学家波利亚说过:“为了得到一个方程,我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来,即将一个量算两次,从而建立等量关系。”类似地,我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积,从而得到一个等式。
(1)如图
,大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成。请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积。方法1: $ S_{\mathrm{大正方形}} = $
$(a + b)^2$
； 方法2: $ S_{\mathrm{大正方形}} = $ $a^2 + 2ab + b^2$
。根据以上信息,可以得到的等式是
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
。(2)如图,大正方形是由四个边长分别为$ a,b,c $的直角三角形($ c $为斜边)和一个小正方形拼成。请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积,并推导得到$ a,b,c $之间的数量关系。
(3)在(2)的条件下,若$ a = 3 $, $ b = 4 $,求图中小正方形的面积。
答案
(1) $(a + b)^2$ $a^2 + 2ab + b^2$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(2) $S_{\mathrm{小正方形}} = c^2$ ; $S_{\mathrm{小正方形}} = (a + b)^2 - 4 × \frac{1}{2}ab$ ; $a^2 + b^2 = c^2$。
(3)25。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(2) $S_{\mathrm{小正方形}} = c^2$ ; $S_{\mathrm{小正方形}} = (a + b)^2 - 4 × \frac{1}{2}ab$ ; $a^2 + b^2 = c^2$。
(3)25。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先观察图1大正方形的边长，直接用正方形面积公式得到第一种表示方法；再将大正方形拆分为2个小正方形和2个长方形，分别计算各部分面积求和得到第二种表示方法，两个式子均表示同一大正方形面积，联立即可得到对应等式。
(2) 求解第二问时，第一种方法直接观察小正方形的边长为c，用正方形面积公式得到小正方形面积；第二种方法用边长为(a+b)的外围大正方形面积减去4个直角三角形的总面积，得到小正方形面积的第二种表示，联立两个式子化简即可得到a、b、c的数量关系。
(3) 求解第三问时，将a、b的数值代入第二问得到的数量关系，直接计算即可得到小正方形的面积。
【解析】
(1) 方法1：图1大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式可得：$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$；
方法2：大正方形由边长为a的小正方形、边长为b的小正方形，和2个长为b、宽为a的长方形组成，因此：$S_{\mathrm{大正方形}}=a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$；
两个式子均表示大正方形的面积，因此可得等式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
(2) 方法1：小正方形的边长为$c$，因此$S_{\mathrm{小正方形}}=c^2$；
方法2：外围大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，因此小正方形面积：$S_{\mathrm{小正方形}}=(a+b)^2 - 4×\frac{1}{2}ab$；
联立两个式子得：$c^2=(a+b)^2 - 4×\frac{1}{2}ab$，化简右侧可得：$(a^2+2ab+b^2)-2ab=a^2+b^2$，因此$a,b,c$的数量关系为：$a^2 + b^2 = c^2$。
(3) 已知$a=3$，$b=4$，代入$a^2 + b^2 = c^2$得：$c^2=3^2 + 4^2=9+16=25$，即小正方形的面积为25。
【答案】
(1) $(a+b)^2$；$a^2 + 2ab + b^2$；$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(2) $S_{\mathrm{小正方形}} = c^2$；$S_{\mathrm{小正方形}} = (a + b)^2 - 4 × \frac{1}{2}ab$；$a^2 + b^2 = c^2$
(3) $25$
【知识点】
完全平方公式，勾股定理，面积法
【点评】
本题通过“算两次”的面积法推导代数公式和几何定理，体现了数形结合的数学思想，侧重考察基础图形面积计算和代数化简能力，熟练掌握相关基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
(1) 求解第一问时，先观察图1大正方形的边长，直接用正方形面积公式得到第一种表示方法；再将大正方形拆分为2个小正方形和2个长方形，分别计算各部分面积求和得到第二种表示方法，两个式子均表示同一大正方形面积，联立即可得到对应等式。
(2) 求解第二问时，第一种方法直接观察小正方形的边长为c，用正方形面积公式得到小正方形面积；第二种方法用边长为(a+b)的外围大正方形面积减去4个直角三角形的总面积，得到小正方形面积的第二种表示，联立两个式子化简即可得到a、b、c的数量关系。
(3) 求解第三问时，将a、b的数值代入第二问得到的数量关系，直接计算即可得到小正方形的面积。
【解析】
(1) 方法1：图1大正方形的边长为$a+b$，根据正方形面积公式可得：$S_{\mathrm{大正方形}}=(a+b)^2$；
方法2：大正方形由边长为a的小正方形、边长为b的小正方形，和2个长为b、宽为a的长方形组成，因此：$S_{\mathrm{大正方形}}=a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$；
两个式子均表示大正方形的面积，因此可得等式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
(2) 方法1：小正方形的边长为$c$，因此$S_{\mathrm{小正方形}}=c^2$；
方法2：外围大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$，因此小正方形面积：$S_{\mathrm{小正方形}}=(a+b)^2 - 4×\frac{1}{2}ab$；
联立两个式子得：$c^2=(a+b)^2 - 4×\frac{1}{2}ab$，化简右侧可得：$(a^2+2ab+b^2)-2ab=a^2+b^2$，因此$a,b,c$的数量关系为：$a^2 + b^2 = c^2$。
(3) 已知$a=3$，$b=4$，代入$a^2 + b^2 = c^2$得：$c^2=3^2 + 4^2=9+16=25$，即小正方形的面积为25。
【答案】
(1) $(a+b)^2$；$a^2 + 2ab + b^2$；$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
(2) $S_{\mathrm{小正方形}} = c^2$；$S_{\mathrm{小正方形}} = (a + b)^2 - 4 × \frac{1}{2}ab$；$a^2 + b^2 = c^2$
(3) $25$
【知识点】
完全平方公式，勾股定理，面积法
【点评】
本题通过“算两次”的面积法推导代数公式和几何定理，体现了数形结合的数学思想，侧重考察基础图形面积计算和代数化简能力，熟练掌握相关基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.75
