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【变式1】若$\log_{a}2=2(a＞0,且a≠1)$，则$a=$（
A.4
B.$2\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{2}$
D
）A.4
B.$2\sqrt{2}$
C.2
D.$\sqrt{2}$
答案
D 因为$\log_{a}2=2(a＞0,且a≠1)$,
所以$a^2=2.$
因为$a＞0$,且$a≠1$,所以$a=\sqrt{2}.$
所以$a^2=2.$
因为$a＞0$,且$a≠1$,所以$a=\sqrt{2}.$
【典例2】(1)$\lg (\ln e)=$；
(2)若$\log_{2}[\log_{4}(x+1)]=1$，则$x=$.
解题指导 (1)由内到外，利用对数性质计算即可.
(2)由外到内，利用对数性质计算即可.
解析 (1)$\lg (\ln e)=\lg 1=0$.
(2)由题意，得$\log_{4}(x+1)=2$，则$x+1=4^2=16$，解得$x=15$.
答案 (1)0 (2)15
(2)若$\log_{2}[\log_{4}(x+1)]=1$，则$x=$.
解题指导 (1)由内到外，利用对数性质计算即可.
(2)由外到内，利用对数性质计算即可.
解析 (1)$\lg (\ln e)=\lg 1=0$.
(2)由题意，得$\log_{4}(x+1)=2$，则$x+1=4^2=16$，解得$x=15$.
答案 (1)0 (2)15
答案
(1) $\boldsymbol{0}$；(2) $\boldsymbol{15}$
解析
解：
(1) 由对数的基本性质得 $\ln e = 1$，
因此 $\lg (\ln e) = \lg 1 = 0$。
(2) 由 $\log_{2}[\log_{4}(x+1)]=1$，
根据对数的定义，可得 $\log_{4}(x+1) = 2^1 = 2$，
再次利用对数定义得 $x+1 = 4^2 = 16$，
解得 $x = 15$。
(1) 由对数的基本性质得 $\ln e = 1$，
因此 $\lg (\ln e) = \lg 1 = 0$。
(2) 由 $\log_{2}[\log_{4}(x+1)]=1$，
根据对数的定义，可得 $\log_{4}(x+1) = 2^1 = 2$，
再次利用对数定义得 $x+1 = 4^2 = 16$，
解得 $x = 15$。
【变式2】(1)已知实数$x,y$满足$\log_{2}(\log_{3}x)=\log_{3}(\log_{2}y)=1$,则$x+y=$（
A.11
B.12
C.16
D.17
D
）A.11
B.12
C.16
D.17
答案
D 因为$\log_{2}(\log_{3}x)=\log_{3}(\log_{2}y)=1$,所以$x+y=3^2+2^3=9+8=17.$
(2)若$\log_{8}[\log_{7}(\log_{2}x)]=0$，则$x=$
128
。答案
128 因为$\log_{8}[\log_{7}(\log_{2}x)]=0$,所以$\log_{7}(\log_{2}x)=1$,
所以$\log_{2}x=7$,解得$x=2^7=128.$
所以$\log_{2}x=7$,解得$x=2^7=128.$
【典例3】计算:(1)$(\dfrac{8}{27})^3 + 2\log_3 2 - \log_3 \dfrac{4}{9} - 10^{\lg 2} = \_\_\_\_\_\_;$
(2)$4^{\log_2 3} + 4^{\frac{3}{2}} + \lg \dfrac{5}{4} - \lg 125 = \_\_\_\_\_\_.$
解题指导 (1)根据对数的运算法则和对数恒等式$a^{\log_a N}=N$计算即可.
(2)根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得.
解析 (1)$(\dfrac{8}{27})^3 + 2\log_3 2 - \log_3 \dfrac{4}{9} - 10^{\lg 2}$
$=(\dfrac{2}{3})^9 + 2\log_3 2 - (\log_3 4 - \log_3 9) - 2$
$=(\dfrac{2}{3})^9 + 2\log_3 2 - \log_3 2^2 + \log_3 3^2 - 2$
$=(\dfrac{2}{3})^9 + 2\log_3 2 - 2\log_3 2 + 2 - 2$
$=(\dfrac{2}{3})^9.$
(2)$4^{\log_2 3} + 4^{\frac{3}{2}} + \lg \dfrac{5}{4} - \lg 125$
$=(2^2)^{\log_2 3} + (4^{\frac{1}{2}})^3 + \lg \dfrac{5}{4 × 125}$
$=(2^{\log_2 3})^2 + 2^3 + \lg \dfrac{1}{100}$
$=3^2 + 8 - 2$
$=15.$
答案 (1)$(\dfrac{2}{3})^9$ (2)15
(2)$4^{\log_2 3} + 4^{\frac{3}{2}} + \lg \dfrac{5}{4} - \lg 125 = \_\_\_\_\_\_.$
解题指导 (1)根据对数的运算法则和对数恒等式$a^{\log_a N}=N$计算即可.
(2)根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得.
解析 (1)$(\dfrac{8}{27})^3 + 2\log_3 2 - \log_3 \dfrac{4}{9} - 10^{\lg 2}$
$=(\dfrac{2}{3})^9 + 2\log_3 2 - (\log_3 4 - \log_3 9) - 2$
$=(\dfrac{2}{3})^9 + 2\log_3 2 - \log_3 2^2 + \log_3 3^2 - 2$
$=(\dfrac{2}{3})^9 + 2\log_3 2 - 2\log_3 2 + 2 - 2$
$=(\dfrac{2}{3})^9.$
(2)$4^{\log_2 3} + 4^{\frac{3}{2}} + \lg \dfrac{5}{4} - \lg 125$
$=(2^2)^{\log_2 3} + (4^{\frac{1}{2}})^3 + \lg \dfrac{5}{4 × 125}$
$=(2^{\log_2 3})^2 + 2^3 + \lg \dfrac{1}{100}$
$=3^2 + 8 - 2$
$=15.$
答案 (1)$(\dfrac{2}{3})^9$ (2)15
答案
(1)$\boldsymbol{(\dfrac{2}{3})^9}$；(2)$\boldsymbol{15}$
解析
解：
(1)
$\begin{aligned}&(\frac{8}{27})^3 + 2\log_3 2 - \log_3 \frac{4}{9} - 10^{\lg 2}\\=&[(\frac{2}{3})^3]^3 + 2\log_3 2 - (\log_3 4 - \log_3 9) - 2\\=&(\frac{2}{3})^9 + 2\log_3 2 - 2\log_3 2 + 2 - 2\\=&(\frac{2}{3})^9\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&4^{\log_2 3} + 4^{\frac{3}{2}} + \lg \frac{5}{4} - \lg 125\\=&2^{2\log_2 3} + (2^2)^{\frac{3}{2}} + \lg (\frac{5}{4×125})\\=&3^2 + 2^3 + \lg \frac{1}{100}\\=&9 + 8 - 2\\=&15\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}&(\frac{8}{27})^3 + 2\log_3 2 - \log_3 \frac{4}{9} - 10^{\lg 2}\\=&[(\frac{2}{3})^3]^3 + 2\log_3 2 - (\log_3 4 - \log_3 9) - 2\\=&(\frac{2}{3})^9 + 2\log_3 2 - 2\log_3 2 + 2 - 2\\=&(\frac{2}{3})^9\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&4^{\log_2 3} + 4^{\frac{3}{2}} + \lg \frac{5}{4} - \lg 125\\=&2^{2\log_2 3} + (2^2)^{\frac{3}{2}} + \lg (\frac{5}{4×125})\\=&3^2 + 2^3 + \lg \frac{1}{100}\\=&9 + 8 - 2\\=&15\end{aligned}$
