【变式3】计算：
(1) $\frac{1}{3}\log_{6}8 + 3^{\log_{3}4} + 2\log_{6}\sqrt{3} - \frac{3}{2}\log_{2}81 × \log_{27}2$；
(2) $\log_{2}3 × \log_{3}4 + (\lg 5)^2 + \lg 5 × \lg 20 + \frac{1}{2}\lg 16 - 2^{\log_{2}3}$。

(1) $\frac{1}{3}\log_{6}8+3^{\log_{3}4}+2\log_{6}\sqrt{3}-\frac{3}{2}\log_{2}81×\log_{27}2$
$=\frac{1}{3}×\log_{6}2^3+4+2\log_{6}3^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}×\log_{2}3^4×\log_{3^3}2$
$=\log_{6}2+4+\log_{6}3-\frac{3}{2}×4×\log_{2}3×\frac{1}{3}×\log_{3}2$
$=\log_{6}2+\log_{6}3+4-2×\log_{2}3×\log_{3}2$
$=1+4-2$
$=3.$
(2)$\log_{2}3×\log_{3}4+(\lg 5)^2+\lg 5×\lg 20+\frac{1}{2}\lg 16-2^{\log_{2}3}$
$=2+\lg 5(\lg 5+\lg 20)+\frac{1}{2}\lg 2^4-3$
$=2+\lg 5×\lg 10^2+2\lg 2-3$
$=2+2\lg 5+2\lg 2-3$
$=2+2-3$
$=1.$

【典例4】(1)已知$2^a=3,b=\log_{2}5$,则$\log_{8}15=$(用含$a,b$的式子表示);
(2)若实数$a,b$满足$3^a=4^b=36$,则$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=$.
解题指导 (1)先利用指数式与对数式转化,再利用对数换底公式以及对数的运算性质求解.
(2)先将$3^a=4^b=36$化为对数式,再利用对数换底公式的推论和对数的运算性质求值.
解析 (1)因为$2^a=3$,所以$a=\log_{2}3$,
所以$\log_{8}15=\frac{\log_{2}15}{\log_{2}8}=\frac{\log_{2}3+\log_{2}5}{\log_{2}2^3}=\frac{a+b}{3}$.
(2)因为$3^a=4^b=36$,所以$a=\log_{3}36,b=\log_{4}36$,
所以$\frac{1}{a}=\log_{36}3,\frac{1}{b}=\log_{36}4$,
所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=2\log_{36}3+\log_{36}4=\log_{36}9+\log_{36}4=\log_{36}36=1$.
答案 (1)$\frac{a+b}{3}$ (2)$1$

(1)$\boldsymbol{\frac{a+b}{3}}$；(2)$\boldsymbol{1}$

解：
(1) 由$2^a=3$，将指数式转化为对数式得$a=\log_2 3$。
根据对数换底公式：
$\log_{8}15=\frac{\log_{2}15}{\log_{2}8}=\frac{\log_{2}(3×5)}{\log_{2}2^3}=\frac{\log_{2}3+\log_{2}5}{3}$
代入$a=\log_2 3$，$b=\log_2 5$，可得$\log_{8}15=\frac{a+b}{3}$。
(2) 由$3^a=4^b=36$，将指数式转化为对数式得$a=\log_{3}36$，$b=\log_{4}36$。
由对数换底公式的推论$\frac{1}{\log_c d}=\log_d c$，可得：
$\frac{1}{a}=\log_{36}3,\quad \frac{1}{b}=\log_{36}4$
因此：
$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=2\log_{36}3+\log_{36}4=\log_{36}9+\log_{36}4=\log_{36}(9×4)=\log_{36}36=1$

【变式4】若$abc≠0$，且$3^a=4^b=6^c$，则（）

A.$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$
B.$\frac{1}{c}=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}$
C.$\frac{2}{c}=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}$
D.$\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$

C 设$3^a=4^b=6^c=t$,则$a=\log_{3}t,b=\log_{4}t,c=\log_{6}t$,
所以$\frac{1}{a}=\log_{t}3,\frac{1}{b}=\log_{t}4,\frac{1}{c}=\log_{t}6.$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\log_{t}3+\log_{t}4=\log_{t}12≠\frac{1}{c}$,故A错误；
$\frac{2}{a}+\frac{2}{b}=2\log_{t}3+2\log_{t}4=2\log_{t}12≠\frac{1}{c}$,故B错误；
$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=2\log_{t}3+\log_{t}4=\log_{t}(3^2×4)=\log_{t}36=2\log_{t}6=\frac{2}{c}$,故C正确；
$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\log_{t}3+2\log_{t}4=\log_{t}(3×4^2)=\log_{t}48≠\frac{2}{c}$,故D错误.

1.若$\log_{2}x=3$，则$x=$（）

A.4
B.6
C.8
D.9

C 因为$\log_{2}x=3$,所以$x=2^3=8.$

2.(一题多解)若$\ln x=6$，$\ln y=3$，则$\frac{x}{y}$等于（）

A.$\frac{1}{e^3}$
B.$\frac{1}{e^2}$
C.$e^2$
D.$e^3$

D 方法1:因为$\ln x=6,\ln y=3$,
所以$x=e^6,y=e^3$,所以$\frac{x}{y}=\frac{e^6}{e^3}=e^3.$
方法2:因为$\ln\frac{x}{y}=\ln x-\ln y=6-3=3$,所以$\frac{x}{y}=e^3.$

3.(多选)下列等式成立的是（）

A.$\log_{\sqrt{3}}3=\frac{1}{2}$
B.$\lg 2×\lg 5=1$
C.$e^{\ln 2}=2$
D.$\log_{2}3×\log_{3}4×\log_{4}8=3$

CD $\log_{\sqrt{3}}3=2\log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}=2$,故A错误；
$\lg 2×\lg 5≠1,\lg 2+\lg 5=1$,故B错误；
$e^{\ln2}=2$,故C正确；
$\log_{2}3×\log_{3}4×\log_{4}8=\log_{2}8=3$,故D正确.

4.化简$(2\log_{4}3+\log_{8}3)×(\log_{3}2+\log_{9}2)$的值为（）

A.1
B.2
C.4
D.6

B 原式$=(2×\frac{1}{2}\log_{2}3+\frac{1}{3}\log_{2}3)×(\log_{3}2+\frac{1}{2}\log_{3}2)=\frac{4}{3}\log_{2}3×\frac{3}{2}\log_{3}2=2.$