5.（浙江卷）已知$2^a = 5$，$\log_{8}3 = b$，则$4^{a - 3b} = $（）

A.25
B.5
C.$\dfrac{25}{9}$
D.$\dfrac{5}{3}$

C 因为$2^a=5,b=\log_{8}3=\frac{1}{3}\log_{2}3$,即$2^{3b}=3$,所以$4^{a-3b}=\frac{4^a}{4^{3b}}=\frac{(2^2)^a}{(2^2)^{3b}}=\frac{(2^a)^2}{(2^{3b})^2}=\frac{5^2}{3^2}=\frac{25}{9}.$

6.若$x\log_{3}2=1$，则$4^{x}+2^{-x}=$.
7.记$p=1×2×3×\dots×2026$，则$\frac{1}{\log_{2}p}+$

6.$\frac{28}{3}$ 由$x\log_{3}2=1$可得,$x=\log_{2}3$,故$2^x=3$,故$4^x+2^{-x}=(2^x)^2+\frac{1}{2^x}=9+\frac{1}{3}=\frac{28}{3}.$

10. 已知 $\log_{5}[\log_{\frac{1}{5}}(\log_{5} z)] = \log_{3}[\log_{\frac{1}{3}}(\log_{3} y)] = \log_{2}[\log_{\frac{1}{2}}(\log_{2} x)] = 0$，则下列关系中，成立的是（）

A.$x ＜ y ＜ z$
B.$y ＜ z ＜ x$
C.$z ＜ x ＜ y$
D.$z ＜ y ＜ x$

C 由题意,知$\log_{2}[\log_{\frac{1}{2}}(\log_{2}x)]=0$,
所以$\log_{\frac{1}{2}}(\log_{2}x)=1$,
所以$\log_{2}x=\frac{1}{2}$,
解得$x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$,
同理可解得$y=3^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{3},z=5^{\frac{1}{5}}.$
因为$x^6=8,y^6=(\sqrt[3]{3})^6=9,8＜9$,即$x^6＜y^6$,
所以$x＜y$;
因为$x^{10}=32,z^{10}=25,32＞25$,即$x^{10}＞z^{10}$,所以$x＞z$;
因为$y^{15}=243,z^{15}=125,243＞125$,即$y^{15}＞z^{15}$,所以$y＞z$.
故$z＜x＜y.$

7.记 $ p = 1 × 2 × 3 × \dots × 2026 $，则 $ \frac{1}{\log_{2}p} + \frac{1}{\log_{3}p} + \dots + \frac{1}{\log_{2025}p} + \frac{1}{\log_{2026}p} = $ .
8.化简求值：
(1)已知 $ m = \lg 2, n = \lg 3 $，请用 $ m,n $ 表示 $ \lg 18 $；
(2) $ -\log_{0.1}5 + \frac{\lg 2}{\log_{\sqrt{2}}10} + \lg 2 × \lg 5 + 2^{1+\log_{2}5} $.
C. $ z ＜ x ＜ y $
D. $ z ＜ y ＜ x $
11.对于问题“已知 $ 2\lg (x-2y)=\lg x + \lg y $，求 $ \frac{x}{y} $ 的值”，有同学给出如下解答：
由 $ 2\lg (x-2y)=\lg x + \lg y $，得 $ \lg (x-2y)^2 = \lg xy $，所以 $ (x-2y)^2 = xy ＞ 0 $，即 $ x^2 -5xy +4y^2 =0 $，解得 $ x-y=0 $ 或 $ x-4y=0 $，所以 $ \frac{x}{y}=1 $ 或 $ \frac{x}{y}=4 $。由于 $ \frac{x}{y}=1 $ 或 $ \frac{x}{y}=4 $ 均满足 $ xy＞0 $，故 $ \frac{x}{y} $ 的值为1或4。
该同学的解答过程是否正确？若不正确，说明理由(写出正确的解答过程及结果).
能力练
9.若 $ \log_{\sqrt{e}}a + \ln b =1 $，则 $ 4^a · 8^b $ 的最小值为 （）
A. $ 2\sqrt{6e} $
B. $ 4^{\sqrt{6e}} $

7.1 由题意可知,$\frac{1}{\log_{2}p}+\frac{1}{\log_{3}p}+\dots+\frac{1}{\log_{2025}p}+\frac{1}{\log_{2026}p}=\log_{p}2+\log_{p}3+\dots+\log_{p}2025+\log_{p}2026=\log_{p}(2×3×\dots×2025×2026)=\log_{p}p=1.$
8.解:(1)$\lg 18=\lg (2×3^2)=\lg 2+2\lg 3=m+2n.$
(2)原式$=-\log_{0.1}5+\frac{\lg 2}{\log_{2^{\frac{1}{2}}}10}+\lg 2×\lg 5+2×2^{\log_{2}5}$
$=\log_{10}5+\frac{\lg 2}{\log_{2}10}+\lg 2×\lg 5+2×5$
$=\lg 5+\lg 2+\lg 2×\lg 5+10$
$=\lg 5+\lg 2(\lg 2+\lg 5)+10$
$=\lg 5+\lg 2+10$
$=1+10$
$=11.$
9.B 因为$\log_{\sqrt{e}}\sqrt{a}+\ln b=\log_{e}a+\ln b=\ln a+\ln b=\ln(ab)=1$,
所以$ab=e$,且$a＞0,b＞0$,
所以$2a+3b≥2\sqrt{6ab}=2\sqrt{6e}$,当且仅当$2a=3b$,即$a=\frac{\sqrt{6e}}{2},b=\frac{\sqrt{6e}}{3}$时,等号成立,
所以$4^a·8^b=2^{2a+3b}≥2^{2\sqrt{6e}}=4^{\sqrt{6e}}$,即$4^a·8^b$的最小值为$4^{\sqrt{6e}}.$
11.解:不正确.理由如下:
由已知可得,$\begin{cases}x＞0,\\y＞0,\\x-2y＞0,\end{cases}$
即$x＞2y＞0$,
则$2\lg (x-2y)=\lg x+\lg y$可化为$\lg (x-2y)^2=\lg (xy)$,即$(x-2y)^2=xy＞0$,即$x^2-5xy+4y^2=0$,
解得$x-y=0$或$x-4y=0$,
所以$\frac{x}{y}=1$(舍去)或$\frac{x}{y}=4$.故$\frac{x}{y}$的值为4.