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11.下面是小琪计算$(3a-b)(3a+b)-a(4a-1)$的解题过程,请你判断是否正确。若有错误,请写出正确的解题过程。
$\boxed{\begin{aligned}&(3a-b)(3a+b)-a(4a-1)\\=&3a^2 - b^2 -4a^2 -a\\=&-a^2 -b^2 -a\end{aligned}}$
$\boxed{\begin{aligned}&(3a-b)(3a+b)-a(4a-1)\\=&3a^2 - b^2 -4a^2 -a\\=&-a^2 -b^2 -a\end{aligned}}$
答案
11. 不正确;$(3a-b)(3a+b)-a(4a-1)=9a^2-b^2-4a^2+a=5a^2-b^2+a$。
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：首先观察算式结构，前半部分(3a-b)(3a+b)符合平方差公式的形式，可利用平方差公式展开；后半部分是单项式乘多项式，要按照单项式乘多项式的法则展开，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项得到结果。小琪的错误有两处：一是平方差公式应用错误，(3a)²计算为3a²，漏了系数的平方；二是去括号时符号错误，-a乘(-1)应为+a，错写成了-a。
【解析】
原解题过程不正确，正确解题过程如下：
$\begin{aligned}&(3a-b)(3a+b)-a(4a-1)\\=&(3a)^2 - b^2 - (4a^2 - a)\\=&9a^2 - b^2 - 4a^2 + a\\=&5a^2 - b^2 + a\end{aligned}$
【答案】
不正确；正确结果为$\boxed{5a^2 - b^2 + a}$
【知识点】
平方差公式、单项式乘多项式、整式混合运算
【点评】
本题易错点在于应用平方差公式时忽略系数的平方，以及去括号时未注意符号变化，解题时要严格按照运算法则逐步计算，完成后注意检查符号和运算是否正确。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：首先观察算式结构，前半部分(3a-b)(3a+b)符合平方差公式的形式，可利用平方差公式展开；后半部分是单项式乘多项式，要按照单项式乘多项式的法则展开，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项得到结果。小琪的错误有两处：一是平方差公式应用错误，(3a)²计算为3a²，漏了系数的平方；二是去括号时符号错误，-a乘(-1)应为+a，错写成了-a。
【解析】
原解题过程不正确，正确解题过程如下：
$\begin{aligned}&(3a-b)(3a+b)-a(4a-1)\\=&(3a)^2 - b^2 - (4a^2 - a)\\=&9a^2 - b^2 - 4a^2 + a\\=&5a^2 - b^2 + a\end{aligned}$
【答案】
不正确；正确结果为$\boxed{5a^2 - b^2 + a}$
【知识点】
平方差公式、单项式乘多项式、整式混合运算
【点评】
本题易错点在于应用平方差公式时忽略系数的平方，以及去括号时未注意符号变化，解题时要严格按照运算法则逐步计算，完成后注意检查符号和运算是否正确。
【难度系数】
0.7
12. 下列各式:①$2a^3(3a^2 - 2ab^2)$；②$-(2a^3)^2 · (b^2 - 3a)$；③$3a(2a^4 - a^2b^4)$；④$-a^4 · (4b^2 - 6a)$。其中，相等的算式是（
A.①和②
B.②和③
C.①和④
D.③和④
C
）A.①和②
B.②和③
C.①和④
D.③和④
答案
12.C
解析
【分析】要判断哪两个算式相等，需分别计算四个算式的化简结果，再进行比对。计算时遵循整式乘法的相关法则：单项式乘多项式时，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；遇到幂的乘方、积的乘方运算时，先按照对应法则计算幂的部分，再进行后续乘法运算，运算过程中要注意符号的处理。
【解析】分别化简四个算式：
① 计算$2a^3(3a^2 - 2ab^2)$：
根据单项式乘多项式法则，得
$2a^3·3a^2 + 2a^3·(-2ab^2) = 6a^5 - 4a^4b^2$
② 计算$-(2a^3)^2 · (b^2 - 3a)$：
先算积的乘方：$(2a^3)^2=4a^6$，则原式$=-4a^6(b^2 - 3a)$
再乘开得：$-4a^6·b^2 + (-4a^6)·(-3a) = -4a^6b^2 + 12a^7$
③ 计算$3a(2a^4 - a^2b^4)$：
根据单项式乘多项式法则，得
$3a·2a^4 + 3a·(-a^2b^4) = 6a^5 - 3a^3b^4$
④ 计算$-a^4 · (4b^2 - 6a)$：
根据单项式乘多项式法则，得
$-a^4·4b^2 + (-a^4)·(-6a) = -4a^4b^2 + 6a^5 = 6a^5 - 4a^4b^2$
对比结果可知，①和④的化简结果相等。
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；整式化简
【点评】本题核心考查整式乘法的运算规则，解题时需注意运算顺序，先算乘方再算乘法，同时要格外注意负号的运算，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】0.7
【解析】分别化简四个算式：
① 计算$2a^3(3a^2 - 2ab^2)$：
根据单项式乘多项式法则，得
$2a^3·3a^2 + 2a^3·(-2ab^2) = 6a^5 - 4a^4b^2$
② 计算$-(2a^3)^2 · (b^2 - 3a)$：
先算积的乘方：$(2a^3)^2=4a^6$，则原式$=-4a^6(b^2 - 3a)$
再乘开得：$-4a^6·b^2 + (-4a^6)·(-3a) = -4a^6b^2 + 12a^7$
③ 计算$3a(2a^4 - a^2b^4)$：
根据单项式乘多项式法则，得
$3a·2a^4 + 3a·(-a^2b^4) = 6a^5 - 3a^3b^4$
④ 计算$-a^4 · (4b^2 - 6a)$：
根据单项式乘多项式法则，得
$-a^4·4b^2 + (-a^4)·(-6a) = -4a^4b^2 + 6a^5 = 6a^5 - 4a^4b^2$
对比结果可知，①和④的化简结果相等。
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；整式化简
【点评】本题核心考查整式乘法的运算规则，解题时需注意运算顺序，先算乘方再算乘法，同时要格外注意负号的运算，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】0.7
13. $(x+y-z)(x-y+z)=$
$x^2-y^2+2yz-z^2$
。答案
13.$x^2-y^2+2yz-z^2$
解析
【分析】
解题时首先观察两个相乘多项式的结构特征：两个因式中x的符号相同，y和z的符号相反，因此可以将y、z的组合看作整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式展开，再结合完全平方公式展开后续部分，最后去括号化简即可得到结果。
【解析】
第一步，将原式变形为平方差公式形式：
$\begin{aligned}(x+y-z)(x-y+z)&=[x+(y-z)][x-(y-z)]\end{aligned}$
第二步，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$（这里$a=x$，$b=y-z$）展开：
$=x^2 - (y-z)^2$
第三步，根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$展开$(y-z)^2$：
$=x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)$
第四步，去括号化简：
$=x^2 - y^2 + 2yz - z^2$
【答案】
$x^2-y^2+2yz-z^2$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式乘法
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题的核心是准确识别式子中的相同项和相反项，将原式转化为熟悉的乘法公式结构，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察两个相乘多项式的结构特征：两个因式中x的符号相同，y和z的符号相反，因此可以将y、z的组合看作整体，把原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式展开，再结合完全平方公式展开后续部分，最后去括号化简即可得到结果。
【解析】
第一步，将原式变形为平方差公式形式：
$\begin{aligned}(x+y-z)(x-y+z)&=[x+(y-z)][x-(y-z)]\end{aligned}$
第二步，根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$（这里$a=x$，$b=y-z$）展开：
$=x^2 - (y-z)^2$
第三步，根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$展开$(y-z)^2$：
$=x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)$
第四步，去括号化简：
$=x^2 - y^2 + 2yz - z^2$
【答案】
$x^2-y^2+2yz-z^2$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式乘法
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题的核心是准确识别式子中的相同项和相反项，将原式转化为熟悉的乘法公式结构，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
