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5. 如图27－3－2①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
| 桌面所受压强 $ p/\mathrm{Pa} $ | 200 | 400 | 500 | 1000 |
| 受力面积 $ S/\mathrm{m}^2 $ |
| 0.25 | $ a $ | 0.1 |
(1)根据表中数据，求出桌面所受压强 $ p(\mathrm{Pa}) $ 关于受力面积 $ S(\mathrm{m}^2) $ 的函数解析式及 $ a $ 的值.
(2)若要将另一长、宽、高分别为0.3 m，0.2 m，0.1 m且与原长方体质量相同的长方体按图27－3－2②所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，已知该玻璃桌面能承受的最大压强为2000 Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由.
图27－3－2
| 桌面所受压强 $ p/\mathrm{Pa} $ | 200 | 400 | 500 | 1000 |
| 受力面积 $ S/\mathrm{m}^2 $ |
| 0.25 | $ a $ | 0.1 |(1)根据表中数据，求出桌面所受压强 $ p(\mathrm{Pa}) $ 关于受力面积 $ S(\mathrm{m}^2) $ 的函数解析式及 $ a $ 的值.
(2)若要将另一长、宽、高分别为0.3 m，0.2 m，0.1 m且与原长方体质量相同的长方体按图27－3－2②所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，已知该玻璃桌面能承受的最大压强为2000 Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由.
图27－3－2
答案
解:(1) $\because 200×0.5=400×0.25=1000×0.1$,
$\therefore$ 桌面所受压强 $p$ 是受力面积 $S$ 的反比例函数. 设 $p=\dfrac{k}{S}$,将$(200,0.5)$代入上式,得 $k=200×0.5=100$,
$\therefore p=\dfrac{100}{S}$,
当 $p=500$ 时,$S=\dfrac{100}{500}=0.2$,$\therefore a=0.2$。
(2)这种摆放方式不安全. 理由：
$\because$ 题图②中长方体的受力面积 $S=0.1×0.2=0.02(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore$ 此时 $p=\dfrac{100}{0.02}=5000(\mathrm{Pa})$。
$\because 5000＞2000$,
$\therefore$ 这种摆放方式不安全。
$\therefore$ 桌面所受压强 $p$ 是受力面积 $S$ 的反比例函数. 设 $p=\dfrac{k}{S}$,将$(200,0.5)$代入上式,得 $k=200×0.5=100$,
$\therefore p=\dfrac{100}{S}$,
当 $p=500$ 时,$S=\dfrac{100}{500}=0.2$,$\therefore a=0.2$。
(2)这种摆放方式不安全. 理由：
$\because$ 题图②中长方体的受力面积 $S=0.1×0.2=0.02(\mathrm{m}^2)$,
$\therefore$ 此时 $p=\dfrac{100}{0.02}=5000(\mathrm{Pa})$。
$\because 5000＞2000$,
$\therefore$ 这种摆放方式不安全。
解析
【分析】
解题思路如下：（1）结合物理压强公式$p=\frac{F}{S}$可知，水平桌面受到的压力等于长方体重力，本题中长方体质量不变，因此压力F是定值，压强p与受力面积S成反比例函数关系。先验证表格中已知p、S的乘积为定值，再用待定系数法设反比例函数解析式，代入一组对应值求出常数k，即可得到函数解析式，最后将$p=500$代入解析式就能求出a的值。（2）先计算图②摆放方式对应的受力面积，再代入第一问得到的解析式求出当前压强，和玻璃桌面最大承受压强2000Pa比较大小，大于则不安全，反之安全。
【解析】
(1) 观察表格数据可得：$400×0.25=100$，$1000×0.1=100$，可知p与S的乘积为定值，因此p是S的反比例函数。
设压强p关于受力面积S的函数解析式为$p=\dfrac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，将$(S=0.25,p=400)$代入解析式得：
$k=pS=400×0.25=100$，
因此函数解析式为$p=\dfrac{100}{S}(S＞0)$。
当$p=500$时，代入解析式得$a=S=\dfrac{100}{500}=0.2$。
(2) 这种摆放方式不安全，理由如下：
图②摆放方式的受力面积为长方体长0.2m、宽0.1m的面的面积，即$S=0.2×0.1=0.02(\mathrm{m}^2)$，
将$S=0.02$代入$p=\dfrac{100}{S}$得：$p=\dfrac{100}{0.02}=5000(\mathrm{Pa})$。
$\because 5000＞2000$，超过了玻璃桌面能承受的最大压强，因此这种摆放方式不安全。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{p=\dfrac{100}{S}(S＞0)}$，$a$的值为$\boldsymbol{0.2}$；
(2) 这种摆放方式$\boldsymbol{不安全}$。
【知识点】
反比例函数实际应用、待定系数法求解析式、压强公式应用
【点评】
本题是跨学科综合应用题，结合物理知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是抓住“压力为定值”这一隐含条件确定反比例关系，计算时需结合摆放方式准确求出受力面积，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
解题思路如下：（1）结合物理压强公式$p=\frac{F}{S}$可知，水平桌面受到的压力等于长方体重力，本题中长方体质量不变，因此压力F是定值，压强p与受力面积S成反比例函数关系。先验证表格中已知p、S的乘积为定值，再用待定系数法设反比例函数解析式，代入一组对应值求出常数k，即可得到函数解析式，最后将$p=500$代入解析式就能求出a的值。（2）先计算图②摆放方式对应的受力面积，再代入第一问得到的解析式求出当前压强，和玻璃桌面最大承受压强2000Pa比较大小，大于则不安全，反之安全。
【解析】
(1) 观察表格数据可得：$400×0.25=100$，$1000×0.1=100$，可知p与S的乘积为定值，因此p是S的反比例函数。
设压强p关于受力面积S的函数解析式为$p=\dfrac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，将$(S=0.25,p=400)$代入解析式得：
$k=pS=400×0.25=100$，
因此函数解析式为$p=\dfrac{100}{S}(S＞0)$。
当$p=500$时，代入解析式得$a=S=\dfrac{100}{500}=0.2$。
(2) 这种摆放方式不安全，理由如下：
图②摆放方式的受力面积为长方体长0.2m、宽0.1m的面的面积，即$S=0.2×0.1=0.02(\mathrm{m}^2)$，
将$S=0.02$代入$p=\dfrac{100}{S}$得：$p=\dfrac{100}{0.02}=5000(\mathrm{Pa})$。
$\because 5000＞2000$，超过了玻璃桌面能承受的最大压强，因此这种摆放方式不安全。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{p=\dfrac{100}{S}(S＞0)}$，$a$的值为$\boldsymbol{0.2}$；
(2) 这种摆放方式$\boldsymbol{不安全}$。
【知识点】
反比例函数实际应用、待定系数法求解析式、压强公式应用
【点评】
本题是跨学科综合应用题，结合物理知识考查反比例函数的实际应用，解题核心是抓住“压力为定值”这一隐含条件确定反比例关系，计算时需结合摆放方式准确求出受力面积，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
1.【生活常识】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水(约10升)，小敏每次用半盆水(约5升).如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克.
(1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y关于漂洗次数x的函数解析式；
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度看，你认为谁采用的漂洗方法值得提倡？为什么？
(1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y关于漂洗次数x的函数解析式；
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度看，你认为谁采用的漂洗方法值得提倡？为什么？
答案
解:(1)设小红采用的漂洗方法对应的函数解析式为 $y_1=\dfrac{k_1}{x}$,小敏采用的漂洗方法对应的函数解析式为 $y_2=\dfrac{k_2}{x}$,
把$(1,1.5)$、$(1,2)$分别代入两个解析式得$1.5=\dfrac{k_1}{1}$,$2=\dfrac{k_2}{1}$. 解得 $k_1=1.5$,$k_2=2$。
$\therefore$ 小红采用的漂洗方法对应的函数解析式为 $y_1=\dfrac{1.5}{x}$($x$ 为正整数),小敏采用的漂洗方法对应的函数解析式为 $y_2=\dfrac{2}{x}$($x$ 为正整数)。
(2)把 $y=0.5$ 分别代入上面两个解析式，得$\dfrac{1.5}{x}=0.5$,① $\dfrac{2}{x}=0.5$,②
解方程①得 $x=3$,解方程②得 $x=4$。
$10×3=30$(升),$5×4=20$(升)。
$\therefore$ 小红共用水 30 升,小敏共用水 20 升。
故小敏采用的漂洗方法更值得提倡。
把$(1,1.5)$、$(1,2)$分别代入两个解析式得$1.5=\dfrac{k_1}{1}$,$2=\dfrac{k_2}{1}$. 解得 $k_1=1.5$,$k_2=2$。
$\therefore$ 小红采用的漂洗方法对应的函数解析式为 $y_1=\dfrac{1.5}{x}$($x$ 为正整数),小敏采用的漂洗方法对应的函数解析式为 $y_2=\dfrac{2}{x}$($x$ 为正整数)。
(2)把 $y=0.5$ 分别代入上面两个解析式，得$\dfrac{1.5}{x}=0.5$,① $\dfrac{2}{x}=0.5$,②
解方程①得 $x=3$,解方程②得 $x=4$。
$10×3=30$(升),$5×4=20$(升)。
$\therefore$ 小红共用水 30 升,小敏共用水 20 升。
故小敏采用的漂洗方法更值得提倡。
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：(1)题目明确说明洗衣粉残留量与漂洗次数满足反比例函数关系，因此先分别为小红、小敏设出对应的反比例函数解析式，再将x=1（第一次漂洗）时各自的残留量代入，求出比例系数k即可得到函数解析式，注意漂洗次数x为正整数；(2)将漂洗干净的残留量y=0.5分别代入两人的函数解析式，求出各自需要的漂洗次数，再结合每次用水量计算总用水量，比较总用水量大小，用水量少的方法更值得提倡。
【解析】
(1)设小红衣服中洗衣粉残留量的函数解析式为 $y_1=\dfrac{k_1}{x}$，小敏的为 $y_2=\dfrac{k_2}{x}$（x为正整数）。
把$(1,1.5)$代入$y_1=\dfrac{k_1}{x}$，得$1.5=\dfrac{k_1}{1}$，解得 $k_1=1.5$；
把$(1,2)$代入$y_2=\dfrac{k_2}{x}$，得$2=\dfrac{k_2}{1}$，解得 $k_2=2$。
因此小红对应的函数解析式为 $y_1=\dfrac{1.5}{x}$（x为正整数），小敏对应的函数解析式为 $y_2=\dfrac{2}{x}$（x为正整数）。
(2)把 $y=0.5$ 分别代入两个解析式：
代入$y_1=\dfrac{1.5}{x}$得$\dfrac{1.5}{x}=0.5$，解得 $x=3$，小红总用水量为$10×3=30$升；
代入$y_2=\dfrac{2}{x}$得$\dfrac{2}{x}=0.5$，解得 $x=4$，小敏总用水量为$5×4=20$升。
因为20升＜30升，小敏的漂洗方法用水量更少。
【答案】
(1)小红：$y_1=\dfrac{1.5}{x}$（x为正整数），小敏：$y_2=\dfrac{2}{x}$（x为正整数）；
(2)小敏的漂洗方法更值得提倡，因为漂洗干净时小敏的总用水量更少。
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题结合生活中漂洗衣物的常见场景，既考查了反比例函数的基础知识点，又引导学生用数学知识解决实际生活问题，体现了数学的实用性，解题时需注意自变量漂洗次数为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：(1)题目明确说明洗衣粉残留量与漂洗次数满足反比例函数关系，因此先分别为小红、小敏设出对应的反比例函数解析式，再将x=1（第一次漂洗）时各自的残留量代入，求出比例系数k即可得到函数解析式，注意漂洗次数x为正整数；(2)将漂洗干净的残留量y=0.5分别代入两人的函数解析式，求出各自需要的漂洗次数，再结合每次用水量计算总用水量，比较总用水量大小，用水量少的方法更值得提倡。
【解析】
(1)设小红衣服中洗衣粉残留量的函数解析式为 $y_1=\dfrac{k_1}{x}$，小敏的为 $y_2=\dfrac{k_2}{x}$（x为正整数）。
把$(1,1.5)$代入$y_1=\dfrac{k_1}{x}$，得$1.5=\dfrac{k_1}{1}$，解得 $k_1=1.5$；
把$(1,2)$代入$y_2=\dfrac{k_2}{x}$，得$2=\dfrac{k_2}{1}$，解得 $k_2=2$。
因此小红对应的函数解析式为 $y_1=\dfrac{1.5}{x}$（x为正整数），小敏对应的函数解析式为 $y_2=\dfrac{2}{x}$（x为正整数）。
(2)把 $y=0.5$ 分别代入两个解析式：
代入$y_1=\dfrac{1.5}{x}$得$\dfrac{1.5}{x}=0.5$，解得 $x=3$，小红总用水量为$10×3=30$升；
代入$y_2=\dfrac{2}{x}$得$\dfrac{2}{x}=0.5$，解得 $x=4$，小敏总用水量为$5×4=20$升。
因为20升＜30升，小敏的漂洗方法用水量更少。
【答案】
(1)小红：$y_1=\dfrac{1.5}{x}$（x为正整数），小敏：$y_2=\dfrac{2}{x}$（x为正整数）；
(2)小敏的漂洗方法更值得提倡，因为漂洗干净时小敏的总用水量更少。
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题结合生活中漂洗衣物的常见场景，既考查了反比例函数的基础知识点，又引导学生用数学知识解决实际生活问题，体现了数学的实用性，解题时需注意自变量漂洗次数为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.8
