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2. 如图27－3－3①，在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体，在右边托盘B(可左右移动)中放置一个装水的容器，容器的质量为5 g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡.改变托盘B与点C的距离$x$(cm)(0＜$x$≤60)，记录容器中加入的水的质量，得到下表：
| 托盘B与点C的距离$x$/cm | 30 | 25 | 20 | 15 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 容器与水的总质量$y_1$/g | 20 | 24 | 30 | 40 | 60 |
| 加入的水的质量$y_2$/g | 15 | 19 | 25 | 35 | 55 |
把上表中的$x$与$y_1$各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图27－3－3②所示的$y_1$关于$x$的函数图象.
(1)请在图27－3－3②中作出$y_2$关于$x$的函数图象.
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测$y_1$与$x$之间的函数关系，并求$y_1$关于$x$的函数解析式；
②当0＜$x$≤60时，$y_1$随$x$的增大而
(3)若在容器中加入的水的质量$y_2$(g)满足20≤$y_2$≤45，直接写出托盘B与点C的距离$x$(cm)的取值范围.
| 托盘B与点C的距离$x$/cm | 30 | 25 | 20 | 15 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 容器与水的总质量$y_1$/g | 20 | 24 | 30 | 40 | 60 |
| 加入的水的质量$y_2$/g | 15 | 19 | 25 | 35 | 55 |
把上表中的$x$与$y_1$各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图27－3－3②所示的$y_1$关于$x$的函数图象.
(1)请在图27－3－3②中作出$y_2$关于$x$的函数图象.
(2)观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测$y_1$与$x$之间的函数关系，并求$y_1$关于$x$的函数解析式；
②当0＜$x$≤60时，$y_1$随$x$的增大而
减小
（填“增大”或“减小”），$y_2$随$x$的增大而减小
（填“增大”或“减小”），$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=\dfrac{600}{x}-5$
.(3)若在容器中加入的水的质量$y_2$(g)满足20≤$y_2$≤45，直接写出托盘B与点C的距离$x$(cm)的取值范围.
答案
解:(1)
(2)①猜测 $y_1$ 是 $x$ 的反比例函数.
设 $y_1=\dfrac{k}{x}$,将$(10,60)$代入上式,得 $60=\dfrac{k}{10}$,
解得 $k=600$,
所以 $y_1$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y_1=\dfrac{600}{x}$。
②减小 减小 $y_2=\dfrac{600}{x}-5$
(3)$12≤ x≤24$
解析
【分析】
(1) 要作$y_2$关于$x$的函数图象，只需根据表格中$x$和$y_2$的对应值在坐标系中描点，再用光滑曲线连接即可。
(2) ①观察表格中$x$和$y_1$的乘积发现乘积为定值，因此可猜测$y_1$是$x$的反比例函数，设出反比例函数解析式，代入一组对应值求出参数$k$，再验证其他点均满足解析式即可。
②根据反比例函数的性质，$k＞0$时在$x＞0$范围内$y$随$x$增大而减小，可判断$y_1$的增减性；已知容器质量为5g，因此$y_2=y_1-5$，由此可得$y_2$的增减性和解析式。
(3) 将$y_2$的取值范围代入$y_2$的解析式，解关于$x$的不等式组，结合$x＞0$的取值范围即可得到$x$的区间。
【解析】
(1) 根据表格中$y_2$与$x$的对应值$(30,15),(25,19),(20,25),(15,35),(10,55)$，在坐标系中依次描点，再用光滑曲线连接各点，图象如下：
(2) ①观察表中数据，$x$与$y_1$的乘积恒为600，猜测$y_1$是$x$的反比例函数。
设$y_1=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，将点$(10,60)$代入解析式得：
$60=\dfrac{k}{10}$，解得$k=600$。
验证：将其余$x$值代入$y_1=\dfrac{600}{x}$，所得结果均与表格数据一致，因此$y_1$关于$x$的函数解析式为$y_1=\dfrac{600}{x}(0＜x≤60)$。
②$\because$反比例函数$y_1=\dfrac{600}{x}$中$k=600＞0$，且$0＜x≤60$，$\therefore y_1$随$x$的增大而减小；
$\because$容器质量为5g，$\therefore y_2=y_1-5=\dfrac{600}{x}-5$，因此$y_2$随$x$的增大也减小，$y_2$的解析式为$y_2=\dfrac{600}{x}-5$。
(3) 根据题意得$20≤ y_2≤45$，代入$y_2=\dfrac{600}{x}-5$得不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{600}{x}-5≥20 \\\dfrac{600}{x}-5≤45\end{cases}$
解第一个不等式：$\dfrac{600}{x}≥25$，$\because x＞0$，$\therefore x≤\dfrac{600}{25}=24$；
解第二个不等式：$\dfrac{600}{x}≤50$，$\because x＞0$，$\therefore x≥\dfrac{600}{50}=12$；
综上可得$x$的取值范围是$12≤ x≤24$。
【答案】
(1)
(2)①$y_1=\dfrac{600}{x}(0＜x≤60)$；②减小，减小，$y_2=\dfrac{600}{x}-5$
(3)$12≤ x≤24$
【知识点】
反比例函数的判定；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的平衡原理考查反比例函数的应用，需要通过数据特征判断函数类型，求解解析式后结合不等式求取值范围，能够锻炼学生的数据处理能力和函数实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要作$y_2$关于$x$的函数图象，只需根据表格中$x$和$y_2$的对应值在坐标系中描点，再用光滑曲线连接即可。
(2) ①观察表格中$x$和$y_1$的乘积发现乘积为定值，因此可猜测$y_1$是$x$的反比例函数，设出反比例函数解析式，代入一组对应值求出参数$k$，再验证其他点均满足解析式即可。
②根据反比例函数的性质，$k＞0$时在$x＞0$范围内$y$随$x$增大而减小，可判断$y_1$的增减性；已知容器质量为5g，因此$y_2=y_1-5$，由此可得$y_2$的增减性和解析式。
(3) 将$y_2$的取值范围代入$y_2$的解析式，解关于$x$的不等式组，结合$x＞0$的取值范围即可得到$x$的区间。
【解析】
(1) 根据表格中$y_2$与$x$的对应值$(30,15),(25,19),(20,25),(15,35),(10,55)$，在坐标系中依次描点，再用光滑曲线连接各点，图象如下：
(2) ①观察表中数据，$x$与$y_1$的乘积恒为600，猜测$y_1$是$x$的反比例函数。
设$y_1=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，将点$(10,60)$代入解析式得：
$60=\dfrac{k}{10}$，解得$k=600$。
验证：将其余$x$值代入$y_1=\dfrac{600}{x}$，所得结果均与表格数据一致，因此$y_1$关于$x$的函数解析式为$y_1=\dfrac{600}{x}(0＜x≤60)$。
②$\because$反比例函数$y_1=\dfrac{600}{x}$中$k=600＞0$，且$0＜x≤60$，$\therefore y_1$随$x$的增大而减小；
$\because$容器质量为5g，$\therefore y_2=y_1-5=\dfrac{600}{x}-5$，因此$y_2$随$x$的增大也减小，$y_2$的解析式为$y_2=\dfrac{600}{x}-5$。
(3) 根据题意得$20≤ y_2≤45$，代入$y_2=\dfrac{600}{x}-5$得不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{600}{x}-5≥20 \\\dfrac{600}{x}-5≤45\end{cases}$
解第一个不等式：$\dfrac{600}{x}≥25$，$\because x＞0$，$\therefore x≤\dfrac{600}{25}=24$；
解第二个不等式：$\dfrac{600}{x}≤50$，$\because x＞0$，$\therefore x≥\dfrac{600}{50}=12$；
综上可得$x$的取值范围是$12≤ x≤24$。
【答案】
(1)
(2)①$y_1=\dfrac{600}{x}(0＜x≤60)$；②减小，减小，$y_2=\dfrac{600}{x}-5$
(3)$12≤ x≤24$
【知识点】
反比例函数的判定；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的平衡原理考查反比例函数的应用，需要通过数据特征判断函数类型，求解解析式后结合不等式求取值范围，能够锻炼学生的数据处理能力和函数实际应用能力。
【难度系数】
0.7
