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7.科学课上,同学用自制密度计测量液体的密度,如图27－3－1,密度计悬浮在不同的液体中时,其浸入液体的深度h(单位:cm)与液体的密度ρ(单位:g/cm³)成一定的函数关系,经过实验获得两个变量ρ,h的部分对应值如下表:
(1)求h关于ρ的函数解析式；
(2)当密度计悬浮在某液体中时,浸入液体的深度为25 cm,求该液体的密度.
图27－3－1
(1)求h关于ρ的函数解析式；
(2)当密度计悬浮在某液体中时,浸入液体的深度为25 cm,求该液体的密度.
图27－3－1
答案
解:(1)由表可知 $\rho$ 与 $h$ 的积是定值，
即 $\rho h=20$，
$\therefore h$ 关于 $\rho$ 的函数解析式为 $h=\dfrac{20}{\rho}$。
(2)把 $h=25$ 代入 $h=\dfrac{20}{\rho}$,得 $25=\dfrac{20}{\rho}$。
解得 $\rho=0.8$。
$\therefore$ 该液体的密度为 $0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
即 $\rho h=20$，
$\therefore h$ 关于 $\rho$ 的函数解析式为 $h=\dfrac{20}{\rho}$。
(2)把 $h=25$ 代入 $h=\dfrac{20}{\rho}$,得 $25=\dfrac{20}{\rho}$。
解得 $\rho=0.8$。
$\therefore$ 该液体的密度为 $0.8\ \mathrm{g/cm}^3$。
解析
【分析】：首先根据密度计悬浮时ρ与h的关系，判断出二者的乘积为定值，属于反比例函数关系；接着设反比例函数解析式，利用定值求出函数表达式；最后代入已知的h值，计算对应的液体密度。
【解析】：(1) 由题意，ρ与h的乘积为定值，故h是关于ρ的反比例函数，设解析式为 $ h = \frac{k}{\rho} $（k≠0）。根据定值关系得 $ k = \rho h = 20 $，因此h关于ρ的函数解析式为 $ h = \frac{20}{\rho} $。(2) 将h=25代入解析式 $ h = \frac{20}{\rho} $，得 $ 25 = \frac{20}{\rho} $，解得 $ \rho = 0.8 $，即该液体的密度为 $ 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】：(1) $ h = \frac{20}{\rho} $；(2) $ 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $
【知识点】：反比例函数的应用
【点评】：本题结合实际测量场景，考查反比例函数的应用，核心是判断变量间的反比例关系，步骤清晰，难度不大，适合学生掌握。
【难度系数】：0.6
【解析】：(1) 由题意，ρ与h的乘积为定值，故h是关于ρ的反比例函数，设解析式为 $ h = \frac{k}{\rho} $（k≠0）。根据定值关系得 $ k = \rho h = 20 $，因此h关于ρ的函数解析式为 $ h = \frac{20}{\rho} $。(2) 将h=25代入解析式 $ h = \frac{20}{\rho} $，得 $ 25 = \frac{20}{\rho} $，解得 $ \rho = 0.8 $，即该液体的密度为 $ 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $。
【答案】：(1) $ h = \frac{20}{\rho} $；(2) $ 0.8\ \mathrm{g/cm}^3 $
【知识点】：反比例函数的应用
【点评】：本题结合实际测量场景，考查反比例函数的应用，核心是判断变量间的反比例关系，步骤清晰，难度不大，适合学生掌握。
【难度系数】：0.6
1.变速自行车通过调节牙盘(前齿轮)与飞轮(后齿轮)的齿数组合来调节车速,始终满足:前齿轮齿数×前齿轮转速=后齿轮齿数×后齿轮转速.若将前齿轮齿数设定为40,转速为100转/分;后齿轮齿数为x,转速为y转/分,则下列说法错误的是(
A.当$x=25$时,$y=160$
B.当$y=200$时,$x=20$
C.要增大$y$,应增大$x$
D.若$x$增大一倍,则$y$减小一半
C
)A.当$x=25$时,$y=160$
B.当$y=200$时,$x=20$
C.要增大$y$,应增大$x$
D.若$x$增大一倍,则$y$减小一半
答案
1.C
解析
【分析】首先根据题目给出的等量关系建立后齿轮齿数$x$与后齿轮转速$y$的关系式，再通过该关系式逐一分析各选项，判断说法的正误。
【解析】根据题意，前齿轮齿数×前齿轮转速=后齿轮齿数×后齿轮转速，代入已知条件得：$40×100 = x·y$，即$xy=4000$，变形为$y=\frac{4000}{x}$。
选项A：当$x=25$时，$y=\frac{4000}{25}=160$，该说法正确；
选项B：当$y=200$时，$x=\frac{4000}{200}=20$，该说法正确；
选项C：由$y=\frac{4000}{x}$可知，$y$与$x$成反比例关系，要增大$y$，应减小$x$，而非增大$x$，该说法错误；
选项D：若$x$增大一倍，即变为$2x$，则$y'=\frac{4000}{2x}=\frac{y}{2}$，即$y$减小一半，该说法正确。
综上，错误的说法是选项C。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用；等式的性质
【点评】本题结合变速自行车的实际问题，考查反比例函数的应用，核心是根据题意建立变量间的关系，再结合反比例函数的性质分析选项，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】根据题意，前齿轮齿数×前齿轮转速=后齿轮齿数×后齿轮转速，代入已知条件得：$40×100 = x·y$，即$xy=4000$，变形为$y=\frac{4000}{x}$。
选项A：当$x=25$时，$y=\frac{4000}{25}=160$，该说法正确；
选项B：当$y=200$时，$x=\frac{4000}{200}=20$，该说法正确；
选项C：由$y=\frac{4000}{x}$可知，$y$与$x$成反比例关系，要增大$y$，应减小$x$，而非增大$x$，该说法错误；
选项D：若$x$增大一倍，即变为$2x$，则$y'=\frac{4000}{2x}=\frac{y}{2}$，即$y$减小一半，该说法正确。
综上，错误的说法是选项C。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用；等式的性质
【点评】本题结合变速自行车的实际问题，考查反比例函数的应用，核心是根据题意建立变量间的关系，再结合反比例函数的性质分析选项，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
2.已知某市的土地面积是7434 km²，人均占用的土地面积 S(km²/人)随全市人口数n(人)的变化而变化，则S关于n的函数解析式为
$S=\dfrac{7434}{n}$
。答案
$S=\dfrac{7434}{n}$
解析
【分析】
要确定S关于n的函数解析式，需先明确人均占用土地面积的计算关系：人均面积等于总土地面积除以总人口数。题目中总土地面积固定为7434 km²，总人口数为n人，将对应数值代入该关系即可得到函数式。
【解析】
根据“人均占用土地面积 = 总土地面积 ÷ 人口总数”的数量关系，把总土地面积7434 km²、人口数n代入，可得S与n的函数解析式为$S=\dfrac{7434}{n}$。
【答案】
$S=\dfrac{7434}{n}$
【知识点】
反比例函数的应用、函数解析式的确定
【点评】
本题结合实际生活中的人均量计算，考查反比例函数的实际应用，属于基础题型，只要理清基本数量关系就能正确解答。
【难度系数】
0.9
要确定S关于n的函数解析式，需先明确人均占用土地面积的计算关系：人均面积等于总土地面积除以总人口数。题目中总土地面积固定为7434 km²，总人口数为n人，将对应数值代入该关系即可得到函数式。
【解析】
根据“人均占用土地面积 = 总土地面积 ÷ 人口总数”的数量关系，把总土地面积7434 km²、人口数n代入，可得S与n的函数解析式为$S=\dfrac{7434}{n}$。
【答案】
$S=\dfrac{7434}{n}$
【知识点】
反比例函数的应用、函数解析式的确定
【点评】
本题结合实际生活中的人均量计算，考查反比例函数的实际应用，属于基础题型，只要理清基本数量关系就能正确解答。
【难度系数】
0.9
3.继共享单车、共享汽车后，共享运营的时代也催化了另外一种交通工具的流行，那就是共享电动车.共享电动车充满电后，行驶的总路程$s$(单位:km)与平均耗电量$a$(单位:$\mathrm{W·h/km}$)之间满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$($k$为常数，$k≠0$).已知某型号的共享电动车充满电后，若平均耗电量为$10\ \mathrm{W·h/km}$，则可行驶$60\ \mathrm{km}$.某次王老师骑这种型号的电动车去家访，由于路面不平且频繁启停，平均耗电量变为$15\ \mathrm{W·h/km}$，则这种情况下该共享电动车行驶的最远路程为
40
$\mathrm{km}$.答案
40
解析
【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路为：先根据已知的平均耗电量和对应行驶路程，求出反比例函数中的常数k，得到函数解析式；再将新的平均耗电量代入解析式，计算对应的最远行驶路程。
【解析】
已知行驶总路程s与平均耗电量a满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$（k为常数，$k≠0$）。
当$a=10\ \mathrm{W·h/km}$时，$s=60\ \mathrm{km}$，将其代入函数可得：
$60=\frac{k}{10}$，解得$k=60×10=600$，因此函数解析式为$s=\frac{600}{a}$。
当平均耗电量变为$a=15\ \mathrm{W·h/km}$时，代入解析式得：
$s=\frac{600}{15}=40$（km），即该共享电动车行驶的最远路程为40km。
【答案】
40
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数在实际生活中的应用，核心是先确定函数解析式，再代入求值，属于基础应用类题目，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路为：先根据已知的平均耗电量和对应行驶路程，求出反比例函数中的常数k，得到函数解析式；再将新的平均耗电量代入解析式，计算对应的最远行驶路程。
【解析】
已知行驶总路程s与平均耗电量a满足反比例函数关系$s=\frac{k}{a}$（k为常数，$k≠0$）。
当$a=10\ \mathrm{W·h/km}$时，$s=60\ \mathrm{km}$，将其代入函数可得：
$60=\frac{k}{10}$，解得$k=60×10=600$，因此函数解析式为$s=\frac{600}{a}$。
当平均耗电量变为$a=15\ \mathrm{W·h/km}$时，代入解析式得：
$s=\frac{600}{15}=40$（km），即该共享电动车行驶的最远路程为40km。
【答案】
40
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数在实际生活中的应用，核心是先确定函数解析式，再代入求值，属于基础应用类题目，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.一项工程中,某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟,整个工程结束恰好用了6天.
(1)在工程结束后,工人需要把所有的土进行回填,在整个回填过程中,平均回填速度v(单位:吨/天)与回填天数t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,要求整个回填工程不超过4天结束,那么平均每天至少要回填多少吨土?
(1)在工程结束后,工人需要把所有的土进行回填,在整个回填过程中,平均回填速度v(单位:吨/天)与回填天数t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况,要求整个回填工程不超过4天结束,那么平均每天至少要回填多少吨土?
答案
解:(1)设总工作量为 $k$ 吨,根据已知条件得 $k=20×6=120$,
$\therefore v$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $v=\dfrac{120}{t}(t＞0)$。
(2) $\because v=\dfrac{120}{t}$,$\therefore t=\dfrac{120}{v}$。
$\because t≤4$,$\therefore \dfrac{120}{v}≤4$,解得 $v≥30$。
$\therefore$ 平均每天至少要回填 30 吨土。
$\therefore v$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $v=\dfrac{120}{t}(t＞0)$。
(2) $\because v=\dfrac{120}{t}$,$\therefore t=\dfrac{120}{v}$。
$\because t≤4$,$\therefore \dfrac{120}{v}≤4$,解得 $v≥30$。
$\therefore$ 平均每天至少要回填 30 吨土。
解析
【分析】要解决这两个问题，核心是抓住总土方量固定不变：第一问需先算出挖掘的总土方量，再根据“每天回填量×回填天数=总土方量”建立v与t的函数关系；第二问将“回填不超过4天”转化为不等式，代入函数解析式求解v的最小值即可。
【解析】
(1) 计算总土方量：已知每天挖掘20吨，用时6天，总土方量为 $20 × 6 = 120$ 吨。
回填时总土方量不变，设平均回填速度为$v$吨/天，回填天数为$t$天，根据“总工作量=速度×时间”，可得 $v × t = 120$，整理得函数解析式为 $v = \dfrac{120}{t}$（$t＞0$）。
(2) 由(1)的函数关系变形得 $t = \dfrac{120}{v}$。
要求回填不超过4天，即 $t ≤ 4$，代入得 $\dfrac{120}{v} ≤ 4$。
解不等式：两边同乘$v$（$v＞0$，不等号方向不变），得 $120 ≤ 4v$，两边除以4得 $v ≥ 30$。
因此平均每天至少要回填30吨土。
【答案】
(1) $v = \dfrac{120}{t}(t＞0)$；
(2) 平均每天至少要回填30吨土。
【知识点】反比例函数应用，不等式应用
【点评】本题结合工程实际问题，考查反比例函数的实际应用与不等式求解，关键是抓住总工作量不变的核心，将实际问题转化为数学模型，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 计算总土方量：已知每天挖掘20吨，用时6天，总土方量为 $20 × 6 = 120$ 吨。
回填时总土方量不变，设平均回填速度为$v$吨/天，回填天数为$t$天，根据“总工作量=速度×时间”，可得 $v × t = 120$，整理得函数解析式为 $v = \dfrac{120}{t}$（$t＞0$）。
(2) 由(1)的函数关系变形得 $t = \dfrac{120}{v}$。
要求回填不超过4天，即 $t ≤ 4$，代入得 $\dfrac{120}{v} ≤ 4$。
解不等式：两边同乘$v$（$v＞0$，不等号方向不变），得 $120 ≤ 4v$，两边除以4得 $v ≥ 30$。
因此平均每天至少要回填30吨土。
【答案】
(1) $v = \dfrac{120}{t}(t＞0)$；
(2) 平均每天至少要回填30吨土。
【知识点】反比例函数应用，不等式应用
【点评】本题结合工程实际问题，考查反比例函数的实际应用与不等式求解，关键是抓住总工作量不变的核心，将实际问题转化为数学模型，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
