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4. 提升题▶七年级学生在5名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30元.现有两种优惠方案：
甲方案:带队教师免费，学生按八折收费；
乙方案:师生都按七五折收费.
(1)若有m名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多少元.
(2)当m=70时，采用哪种方案更优惠？
(3)当m=100时，采用哪种方案更优惠？
甲方案:带队教师免费，学生按八折收费；
乙方案:师生都按七五折收费.
(1)若有m名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多少元.
(2)当m=70时，采用哪种方案更优惠？
(3)当m=100时，采用哪种方案更优惠？
答案
解：
(1) 甲方案所需费用：
$30 × 0.8 × m = 24m$（元）
乙方案所需费用：
$30 × 0.75 × (m+5) = 22.5m + 112.5$（元）
(2) 当$m=70$时：
甲方案费用：$24 × 70 = 1680$（元）
乙方案费用：$22.5 × 70 + 112.5 = 1687.5$（元）
因为$1680 ＜ 1687.5$，所以甲方案更优惠。
(3) 当$m=100$时：
甲方案费用：$24 × 100 = 2400$（元）
乙方案费用：$22.5 × 100 + 112.5 = 2362.5$（元）
因为$2400 ＞ 2362.5$，所以乙方案更优惠。
答：(1) 甲方案需$24m$元，乙方案需$(22.5m+112.5)$元；(2) $m=70$时甲方案更优惠；(3) $m=100$时乙方案更优惠。
(1) 甲方案所需费用：
$30 × 0.8 × m = 24m$（元）
乙方案所需费用：
$30 × 0.75 × (m+5) = 22.5m + 112.5$（元）
(2) 当$m=70$时：
甲方案费用：$24 × 70 = 1680$（元）
乙方案费用：$22.5 × 70 + 112.5 = 1687.5$（元）
因为$1680 ＜ 1687.5$，所以甲方案更优惠。
(3) 当$m=100$时：
甲方案费用：$24 × 100 = 2400$（元）
乙方案费用：$22.5 × 100 + 112.5 = 2362.5$（元）
因为$2400 ＞ 2362.5$，所以乙方案更优惠。
答：(1) 甲方案需$24m$元，乙方案需$(22.5m+112.5)$元；(2) $m=70$时甲方案更优惠；(3) $m=100$时乙方案更优惠。
解析
【分析】
(1) 费用计算公式为：总费用=收费人数×门票原价×折扣率。求解甲方案费用时，明确教师免费，仅m名学生按八折收费，代入公式化简即可；求解乙方案费用时，明确收费总人数为（m+5）名师生，全部按七五折收费，代入公式化简即可。
(2) 将m=70分别代入(1)中得到的两个费用代数式，计算出两种方案的具体费用，比较费用大小，费用更低的方案更优惠。
(3) 同理将m=100代入两个代数式求值，比较大小后判断更优惠的方案。
【解析】
(1) 甲方案所需费用：
$30 × 0.8 × m = 24m$（元）
乙方案所需费用：
$30 × 0.75 × (m+5) = 22.5m + 112.5$（元）
(2) 当$m=70$时：
甲方案费用：$24 × 70 = 1680$（元）
乙方案费用：$22.5 × 70 + 112.5 = 1687.5$（元）
因为$1680 ＜ 1687.5$，所以甲方案更优惠。
(3) 当$m=100$时：
甲方案费用：$24 × 100 = 2400$（元）
乙方案费用：$22.5 × 100 + 112.5 = 2362.5$（元）
因为$2400 ＞ 2362.5$，所以乙方案更优惠。
【答案】
(1) 甲方案需$24m$元，乙方案需$(22.5m+112.5)$元；
(2) 当$m=70$时，甲方案更优惠；
(3) 当$m=100$时，乙方案更优惠。
【知识点】
列代数式；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的优惠消费场景出题，考查代数式的实际应用能力，解题时需注意准确梳理不同方案的优惠规则，避免混淆收费对象，代入计算时要保证运算准确，通过比较费用大小即可得到最优方案。
【难度系数】
0.75
(1) 费用计算公式为：总费用=收费人数×门票原价×折扣率。求解甲方案费用时，明确教师免费，仅m名学生按八折收费，代入公式化简即可；求解乙方案费用时，明确收费总人数为（m+5）名师生，全部按七五折收费，代入公式化简即可。
(2) 将m=70分别代入(1)中得到的两个费用代数式，计算出两种方案的具体费用，比较费用大小，费用更低的方案更优惠。
(3) 同理将m=100代入两个代数式求值，比较大小后判断更优惠的方案。
【解析】
(1) 甲方案所需费用：
$30 × 0.8 × m = 24m$（元）
乙方案所需费用：
$30 × 0.75 × (m+5) = 22.5m + 112.5$（元）
(2) 当$m=70$时：
甲方案费用：$24 × 70 = 1680$（元）
乙方案费用：$22.5 × 70 + 112.5 = 1687.5$（元）
因为$1680 ＜ 1687.5$，所以甲方案更优惠。
(3) 当$m=100$时：
甲方案费用：$24 × 100 = 2400$（元）
乙方案费用：$22.5 × 100 + 112.5 = 2362.5$（元）
因为$2400 ＞ 2362.5$，所以乙方案更优惠。
【答案】
(1) 甲方案需$24m$元，乙方案需$(22.5m+112.5)$元；
(2) 当$m=70$时，甲方案更优惠；
(3) 当$m=100$时，乙方案更优惠。
【知识点】
列代数式；代数式求值；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活中的优惠消费场景出题，考查代数式的实际应用能力，解题时需注意准确梳理不同方案的优惠规则，避免混淆收费对象，代入计算时要保证运算准确，通过比较费用大小即可得到最优方案。
【难度系数】
0.75
5.提升题 如图，公园有一块长为$(2a - 2)\mathrm{m}$，宽为$a\mathrm{ m}$的长方形土地(一边靠墙)，现将三边留出宽都是$b\mathrm{ m}$的小路，余下部分设计成花圃ABCD，用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来.
(1)花圃的宽AB为m，花圃的长BC为m.(用含$a,b$的式子表示)
(2)求篱笆的总长度(用含$a,b$的式子表示).
(3)若$a＝29$，$b＝6$，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价.
(1)花圃的宽AB为m，花圃的长BC为m.(用含$a,b$的式子表示)
(2)求篱笆的总长度(用含$a,b$的式子表示).
(3)若$a＝29$，$b＝6$，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价.
答案
解：
(1) 花圃的宽AB为$\boldsymbol{(a - b)}$m，花圃的长BC为$\boldsymbol{(2a - 2 - 2b)}$m。
(2) 篱笆总长度为$2AB + BC$，代入式子计算：
$\begin{aligned}2(a - b) + (2a - 2 - 2b)&=2a - 2b + 2a - 2 - 2b\\&=4a - 4b - 2\end{aligned}$
答：篱笆的总长度为$(4a - 4b - 2)\ \mathrm{m}$。
(3) 当$a=29$，$b=6$时：
篱笆总长度$=4×29 - 4×6 - 2=90\ \mathrm{m}$，
篱笆总价$=90×60=5400$元。
答：篱笆的总价为5400元。
(1) 花圃的宽AB为$\boldsymbol{(a - b)}$m，花圃的长BC为$\boldsymbol{(2a - 2 - 2b)}$m。
(2) 篱笆总长度为$2AB + BC$，代入式子计算：
$\begin{aligned}2(a - b) + (2a - 2 - 2b)&=2a - 2b + 2a - 2 - 2b\\&=4a - 4b - 2\end{aligned}$
答：篱笆的总长度为$(4a - 4b - 2)\ \mathrm{m}$。
(3) 当$a=29$，$b=6$时：
篱笆总长度$=4×29 - 4×6 - 2=90\ \mathrm{m}$，
篱笆总价$=90×60=5400$元。
答：篱笆的总价为5400元。
解析
【分析】
(1) 求花圃的边长时，先观察图形的边长关系：垂直于墙的方向，大长方形的宽为$a\ \mathrm{m}$，下方小路宽$b\ \mathrm{m}$，因此花圃的宽AB等于大长方形的宽减去下方小路的宽度；平行于墙的方向，大长方形的长为$(2a-2)\ \mathrm{m}$，左右两侧小路各宽$b\ \mathrm{m}$，因此花圃的长BC等于大长方形的长减去左右两个小路的宽度。
(2) 篱笆围的是花圃不靠墙的三边，即2条宽AB加1条长BC，将第(1)问得到的代数式代入，再去括号、合并同类项即可得到篱笆总长度的表达式。
(3) 将$a=29$、$b=6$代入第(2)问得到的总长度表达式，算出篱笆的实际长度，再乘单价即可得到总价。
【解析】
(1) 垂直于墙方向：大长方形宽为$a\ \mathrm{m}$，下方小路宽$b\ \mathrm{m}$，因此$AB = a - b\ (\mathrm{m})$；
平行于墙方向：大长方形长为$(2a-2)\ \mathrm{m}$，左右小路各宽$b\ \mathrm{m}$，因此$BC = (2a-2) - 2b = 2a - 2 - 2b\ (\mathrm{m})$。
(2) 篱笆围花圃不靠墙的三边，总长度$=2× AB + BC$，代入代数式计算：
$\begin{aligned}2(a - b) + (2a - 2 - 2b)&= 2a - 2b + 2a - 2 - 2b\\&= 4a - 4b - 2\end{aligned}$
即篱笆总长度为$(4a - 4b - 2)\ \mathrm{m}$。
(3) 当$a=29$，$b=6$时，代入总长度表达式：
$4×29 - 4×6 - 2 = 116 - 24 - 2 = 90\ \mathrm{m}$
篱笆总价$=$总长度$×$单价$=90×60=5400$（元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-b)}$，$\boldsymbol{(2a-2-2b)}$
(2) $\boldsymbol{(4a - 4b - 2)\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{5400}$元
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景，考查代数式的相关应用，解题关键是结合图形理清各边长的数量关系，正确列出代数式后按整式运算规则化简、代入求值即可。
【难度系数】
0.7
(1) 求花圃的边长时，先观察图形的边长关系：垂直于墙的方向，大长方形的宽为$a\ \mathrm{m}$，下方小路宽$b\ \mathrm{m}$，因此花圃的宽AB等于大长方形的宽减去下方小路的宽度；平行于墙的方向，大长方形的长为$(2a-2)\ \mathrm{m}$，左右两侧小路各宽$b\ \mathrm{m}$，因此花圃的长BC等于大长方形的长减去左右两个小路的宽度。
(2) 篱笆围的是花圃不靠墙的三边，即2条宽AB加1条长BC，将第(1)问得到的代数式代入，再去括号、合并同类项即可得到篱笆总长度的表达式。
(3) 将$a=29$、$b=6$代入第(2)问得到的总长度表达式，算出篱笆的实际长度，再乘单价即可得到总价。
【解析】
(1) 垂直于墙方向：大长方形宽为$a\ \mathrm{m}$，下方小路宽$b\ \mathrm{m}$，因此$AB = a - b\ (\mathrm{m})$；
平行于墙方向：大长方形长为$(2a-2)\ \mathrm{m}$，左右小路各宽$b\ \mathrm{m}$，因此$BC = (2a-2) - 2b = 2a - 2 - 2b\ (\mathrm{m})$。
(2) 篱笆围花圃不靠墙的三边，总长度$=2× AB + BC$，代入代数式计算：
$\begin{aligned}2(a - b) + (2a - 2 - 2b)&= 2a - 2b + 2a - 2 - 2b\\&= 4a - 4b - 2\end{aligned}$
即篱笆总长度为$(4a - 4b - 2)\ \mathrm{m}$。
(3) 当$a=29$，$b=6$时，代入总长度表达式：
$4×29 - 4×6 - 2 = 116 - 24 - 2 = 90\ \mathrm{m}$
篱笆总价$=$总长度$×$单价$=90×60=5400$（元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-b)}$，$\boldsymbol{(2a-2-2b)}$
(2) $\boldsymbol{(4a - 4b - 2)\ \mathrm{m}}$
(3) $\boldsymbol{5400}$元
【知识点】
列代数式，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景，考查代数式的相关应用，解题关键是结合图形理清各边长的数量关系，正确列出代数式后按整式运算规则化简、代入求值即可。
【难度系数】
0.7
