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1.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数，m是单项式$-3xy^3$的次数，求$5(a+b)+3cd - m$的值。
答案
解：
因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c，d互为倒数，所以$cd=1$。
单项式$-3xy^3$的次数为$1+3=4$，即$m=4$。
将$a+b=0$，$cd=1$，$m=4$代入$5(a+b)+3cd - m$：
原式$=5×0 + 3×1 - 4$
$=0+3-4$
$=-1$
因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c，d互为倒数，所以$cd=1$。
单项式$-3xy^3$的次数为$1+3=4$，即$m=4$。
将$a+b=0$，$cd=1$，$m=4$代入$5(a+b)+3cd - m$：
原式$=5×0 + 3×1 - 4$
$=0+3-4$
$=-1$
解析
【分析】
解题时首先梳理题干给出的三个条件对应的数学性质：①互为相反数的两个数之和为0，据此可求出a+b的值；②互为倒数的两个数乘积为1，据此可求出cd的值；③单项式的次数是所有字母的指数之和，据此计算出单项式$-3xy^3$的次数得到m的值；最后将三个值代入待求代数式，按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c，d互为倒数，所以$cd=1$。
单项式$-3xy^3$的次数为所有字母指数的和，即$1+3=4$，所以$m=4$。
将$a+b=0$，$cd=1$，$m=4$代入$5(a+b)+3cd - m$得：
原式$=5×0 + 3×1 - 4$
$=0+3-4$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念综合考查题，核心是牢记相反数、倒数、单项式次数的相关定义，准确求出对应值后代入计算即可，计算时注意运算顺序，避免低级失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理题干给出的三个条件对应的数学性质：①互为相反数的两个数之和为0，据此可求出a+b的值；②互为倒数的两个数乘积为1，据此可求出cd的值；③单项式的次数是所有字母的指数之和，据此计算出单项式$-3xy^3$的次数得到m的值；最后将三个值代入待求代数式，按照有理数的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
因为a，b互为相反数，所以$a+b=0$。
因为c，d互为倒数，所以$cd=1$。
单项式$-3xy^3$的次数为所有字母指数的和，即$1+3=4$，所以$m=4$。
将$a+b=0$，$cd=1$，$m=4$代入$5(a+b)+3cd - m$得：
原式$=5×0 + 3×1 - 4$
$=0+3-4$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念综合考查题，核心是牢记相反数、倒数、单项式次数的相关定义，准确求出对应值后代入计算即可，计算时注意运算顺序，避免低级失误。
【难度系数】
0.8
2.已知$A - 2B = 7a^2 - 7ab$，且$B = -4a^2 + 6ab + 7$。
(1)求多项式A。
(2)若$a = -1, b = 2$，求多项式A的值。
(1)求多项式A。
(2)若$a = -1, b = 2$，求多项式A的值。
答案
解：
(1) 由$A - 2B = 7a^2 - 7ab$可得：
$A = 7a^2 - 7ab + 2B$
将$B = -4a^2 + 6ab + 7$代入上式：
$\begin{aligned}A&=7a^2 -7ab + 2(-4a^2 +6ab +7)\\&=7a^2 -7ab -8a^2 +12ab +14\\&=-a^2 +5ab +14\end{aligned}$
(2) 当$a=-1$，$b=2$时，代入$A=-a^2 +5ab +14$：
$\begin{aligned}A&=-(-1)^2 + 5×(-1)×2 +14\\&=-1 -10 +14\\&=3\end{aligned}$
答：(1) 多项式$A$为$-a^2 +5ab +14$；(2) 多项式$A$的值为$3$。
(1) 由$A - 2B = 7a^2 - 7ab$可得：
$A = 7a^2 - 7ab + 2B$
将$B = -4a^2 + 6ab + 7$代入上式：
$\begin{aligned}A&=7a^2 -7ab + 2(-4a^2 +6ab +7)\\&=7a^2 -7ab -8a^2 +12ab +14\\&=-a^2 +5ab +14\end{aligned}$
(2) 当$a=-1$，$b=2$时，代入$A=-a^2 +5ab +14$：
$\begin{aligned}A&=-(-1)^2 + 5×(-1)×2 +14\\&=-1 -10 +14\\&=3\end{aligned}$
答：(1) 多项式$A$为$-a^2 +5ab +14$；(2) 多项式$A$的值为$3$。
解析
【分析】
(1) 已知$A - 2B = 7a^2 - 7ab$，可通过等式变形得到$A = 7a^2 - 7ab + 2B$，再将$B$的表达式代入该式，依次进行去括号、合并同类项操作，即可求出多项式$A$的表达式。
(2) 第二问为代数式求值问题，直接将$a=-1$、$b=2$代入第一问求得的$A$的表达式，按照有理数运算顺序计算就能得到$A$的值。
【解析】
(1) 由$A - 2B = 7a^2 - 7ab$可得：
$A = 7a^2 - 7ab + 2B$
将$B = -4a^2 + 6ab + 7$代入上式：
$\begin{aligned}A&=7a^2 -7ab + 2(-4a^2 +6ab +7)\\&=7a^2 -7ab -8a^2 +12ab +14\\&=-a^2 +5ab +14\end{aligned}$
(2) 当$a=-1$，$b=2$时，代入$A=-a^2 +5ab +14$：
$\begin{aligned}A&=-(-1)^2 + 5×(-1)×2 +14\\&=-1 -10 +14\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $-a^2 +5ab +14$；(2) $3$
【知识点】
整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考查去括号、合并同类项的运算规则，以及代数式代入求值的方法，解题时需注意去括号的符号变化、负数乘方和乘法的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 已知$A - 2B = 7a^2 - 7ab$，可通过等式变形得到$A = 7a^2 - 7ab + 2B$，再将$B$的表达式代入该式，依次进行去括号、合并同类项操作，即可求出多项式$A$的表达式。
(2) 第二问为代数式求值问题，直接将$a=-1$、$b=2$代入第一问求得的$A$的表达式，按照有理数运算顺序计算就能得到$A$的值。
【解析】
(1) 由$A - 2B = 7a^2 - 7ab$可得：
$A = 7a^2 - 7ab + 2B$
将$B = -4a^2 + 6ab + 7$代入上式：
$\begin{aligned}A&=7a^2 -7ab + 2(-4a^2 +6ab +7)\\&=7a^2 -7ab -8a^2 +12ab +14\\&=-a^2 +5ab +14\end{aligned}$
(2) 当$a=-1$，$b=2$时，代入$A=-a^2 +5ab +14$：
$\begin{aligned}A&=-(-1)^2 + 5×(-1)×2 +14\\&=-1 -10 +14\\&=3\end{aligned}$
【答案】
(1) $-a^2 +5ab +14$；(2) $3$
【知识点】
整式的加减，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考查去括号、合并同类项的运算规则，以及代数式代入求值的方法，解题时需注意去括号的符号变化、负数乘方和乘法的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
3. 提升题 对任意一个三位正整数$ m $，如果$ m $的百位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数$ m $为“神奇数”.例如：$ m=311 $，因为$ 1×2+1=3 $，所以311是“神奇数”；$ m=514 $，因为$ 1×2+4=6≠5 $，所以514不是“神奇数”.
(1)判断917和642是不是“神奇数”，并说明理由.
(2)若$ m $是“神奇数”，且$ m $与13的和能被11整除，求满足条件的所有“神奇数”$ m $.
(1)判断917和642是不是“神奇数”，并说明理由.
(2)若$ m $是“神奇数”，且$ m $与13的和能被11整除，求满足条件的所有“神奇数”$ m $.
答案
解：
(1) 917是“神奇数”，642不是“神奇数”，理由如下：
对于917，十位数字为1，个位数字为7，因为$1×2+7=9$，等于百位数字9，所以917是“神奇数”；
对于642，十位数字为4，个位数字为2，因为$4×2+2=10≠6$，不等于百位数字6，所以642不是“神奇数”。
(2) 设“神奇数”$m$的十位数字为$a$，个位数字为$b$，其中$a,b$为非负整数，由定义得百位数字为$2a+b$，且$1≤ 2a+b≤9$。
则$m$可表示为：
$\begin{aligned}m&=100(2a+b)+10a+b\\&=210a+101b\end{aligned}$
因此$m+13=210a+101b+13$，变形得：
$\begin{aligned}m+13&=11×19a +a +11×9b +2b +11×1 +2\\&=11(19a+9b+1)+(a+2b+2)\end{aligned}$
因为$m+13$能被11整除，$11(19a+9b+1)$是11的倍数，所以$a+2b+2$是11的倍数。
由$1≤ 2a+b≤9$，$a≥0$，$b≥0$，可得$2≤ a+2b+2≤20$，因此$a+2b+2=11$，即$a+2b=9$。
将$a=9-2b$代入$1≤ 2a+b≤9$，得$1≤ 18-3b≤9$，解得$3≤ b≤\frac{17}{3}$。
因为$a,b$为非负整数，所以$b$可取3、4：
当$b=3$时，$a=9-2×3=3$，百位数字为$2×3+3=9$，此时$m=933$；
当$b=4$时，$a=9-2×4=1$，百位数字为$2×1+4=6$，此时$m=614$。
综上，满足条件的所有“神奇数”为614和933。
(1) 917是“神奇数”，642不是“神奇数”，理由如下：
对于917，十位数字为1，个位数字为7，因为$1×2+7=9$，等于百位数字9，所以917是“神奇数”；
对于642，十位数字为4，个位数字为2，因为$4×2+2=10≠6$，不等于百位数字6，所以642不是“神奇数”。
(2) 设“神奇数”$m$的十位数字为$a$，个位数字为$b$，其中$a,b$为非负整数，由定义得百位数字为$2a+b$，且$1≤ 2a+b≤9$。
则$m$可表示为：
$\begin{aligned}m&=100(2a+b)+10a+b\\&=210a+101b\end{aligned}$
因此$m+13=210a+101b+13$，变形得：
$\begin{aligned}m+13&=11×19a +a +11×9b +2b +11×1 +2\\&=11(19a+9b+1)+(a+2b+2)\end{aligned}$
因为$m+13$能被11整除，$11(19a+9b+1)$是11的倍数，所以$a+2b+2$是11的倍数。
由$1≤ 2a+b≤9$，$a≥0$，$b≥0$，可得$2≤ a+2b+2≤20$，因此$a+2b+2=11$，即$a+2b=9$。
将$a=9-2b$代入$1≤ 2a+b≤9$，得$1≤ 18-3b≤9$，解得$3≤ b≤\frac{17}{3}$。
因为$a,b$为非负整数，所以$b$可取3、4：
当$b=3$时，$a=9-2×3=3$，百位数字为$2×3+3=9$，此时$m=933$；
当$b=4$时，$a=9-2×4=1$，百位数字为$2×1+4=6$，此时$m=614$。
综上，满足条件的所有“神奇数”为614和933。
解析
【分析】
（1）判断是否为“神奇数”需严格依据定义：对三位数，计算十位数字的2倍与个位数字的和，看是否等于百位数字，分别代入917、642的对应数位验证即可。
（2）先设“神奇数”的十位数字为a，个位数字为b，根据定义表示出百位数字为2a+b，再依据多位数的表示方法（百位数字×100+十位数字×10+个位数字）用含a、b的整式表示m；接着根据m与13的和能被11整除，将m+13的整式变形，拆分出11的倍数部分，剩余部分也必须是11的倍数；最后结合百位数字的取值范围（1≤2a+b≤9）、a和b为非负整数的限制，列方程与不等式求解，筛选出符合条件的a、b，即可求出对应的m。
【解析】
(1) 917是“神奇数”，642不是“神奇数”，理由如下：
对于917，十位数字为1，个位数字为7，因为$1×2+7=9$，等于百位数字9，所以917是“神奇数”；
对于642，十位数字为4，个位数字为2，因为$4×2+2=10≠6$，不等于百位数字6，所以642不是“神奇数”。
(2) 设“神奇数”$m$的十位数字为$a$，个位数字为$b$，其中$a,b$为非负整数，由定义得百位数字为$2a+b$，且满足$1≤ 2a+b≤9$。
则$m$可表示为：
$\begin{aligned}m&=100(2a+b)+10a+b\\&=210a+101b\end{aligned}$
因此$m+13=210a+101b+13$，变形得：
$\begin{aligned}m+13&=11×19a +a +11×9b +2b +11×1 +2\\&=11(19a+9b+1)+(a+2b+2)\end{aligned}$
因为$m+13$能被11整除，$11(19a+9b+1)$是11的倍数，所以$a+2b+2$是11的倍数。
由$1≤ 2a+b≤9$，$a≥0$，$b≥0$，可得$2≤ a+2b+2≤20$，因此$a+2b+2=11$，即$a+2b=9$。
将$a=9-2b$代入$1≤ 2a+b≤9$，得$1≤ 18-3b≤9$，解得$3≤ b≤\frac{17}{3}$。
因为$a,b$为非负整数，所以$b$可取3、4：
当$b=3$时，$a=9-2×3=3$，百位数字为$2×3+3=9$，此时$m=933$；
当$b=4$时，$a=9-2×4=1$，百位数字为$2×1+4=6$，此时$m=614$。
综上，满足条件的所有“神奇数”为614和933。
【答案】
(1) 917是“神奇数”，642不是“神奇数”；
(2) 614、933
【知识点】
新定义问题，整式的加减，数的整除
【点评】
本题属于新定义类题型，既考查对新概念的理解与应用能力，又结合了整式表示多位数、整除性质、不等式求整数解等知识点，解题时需注意数位的取值限制，仔细筛选符合条件的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.5
（1）判断是否为“神奇数”需严格依据定义：对三位数，计算十位数字的2倍与个位数字的和，看是否等于百位数字，分别代入917、642的对应数位验证即可。
（2）先设“神奇数”的十位数字为a，个位数字为b，根据定义表示出百位数字为2a+b，再依据多位数的表示方法（百位数字×100+十位数字×10+个位数字）用含a、b的整式表示m；接着根据m与13的和能被11整除，将m+13的整式变形，拆分出11的倍数部分，剩余部分也必须是11的倍数；最后结合百位数字的取值范围（1≤2a+b≤9）、a和b为非负整数的限制，列方程与不等式求解，筛选出符合条件的a、b，即可求出对应的m。
【解析】
(1) 917是“神奇数”，642不是“神奇数”，理由如下：
对于917，十位数字为1，个位数字为7，因为$1×2+7=9$，等于百位数字9，所以917是“神奇数”；
对于642，十位数字为4，个位数字为2，因为$4×2+2=10≠6$，不等于百位数字6，所以642不是“神奇数”。
(2) 设“神奇数”$m$的十位数字为$a$，个位数字为$b$，其中$a,b$为非负整数，由定义得百位数字为$2a+b$，且满足$1≤ 2a+b≤9$。
则$m$可表示为：
$\begin{aligned}m&=100(2a+b)+10a+b\\&=210a+101b\end{aligned}$
因此$m+13=210a+101b+13$，变形得：
$\begin{aligned}m+13&=11×19a +a +11×9b +2b +11×1 +2\\&=11(19a+9b+1)+(a+2b+2)\end{aligned}$
因为$m+13$能被11整除，$11(19a+9b+1)$是11的倍数，所以$a+2b+2$是11的倍数。
由$1≤ 2a+b≤9$，$a≥0$，$b≥0$，可得$2≤ a+2b+2≤20$，因此$a+2b+2=11$，即$a+2b=9$。
将$a=9-2b$代入$1≤ 2a+b≤9$，得$1≤ 18-3b≤9$，解得$3≤ b≤\frac{17}{3}$。
因为$a,b$为非负整数，所以$b$可取3、4：
当$b=3$时，$a=9-2×3=3$，百位数字为$2×3+3=9$，此时$m=933$；
当$b=4$时，$a=9-2×4=1$，百位数字为$2×1+4=6$，此时$m=614$。
综上，满足条件的所有“神奇数”为614和933。
【答案】
(1) 917是“神奇数”，642不是“神奇数”；
(2) 614、933
【知识点】
新定义问题，整式的加减，数的整除
【点评】
本题属于新定义类题型，既考查对新概念的理解与应用能力，又结合了整式表示多位数、整除性质、不等式求整数解等知识点，解题时需注意数位的取值限制，仔细筛选符合条件的解，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.5
