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1. 已知二次函数的图象过点$P(1,0)$，对称轴为直线$x=-2$，则点$P$的对称点的坐标是（
A.$(-5,0)$
B.$(-5,1)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$
A
）A.$(-5,0)$
B.$(-5,1)$
C.$(3,0)$
D.$(-3,0)$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的图象性质：二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，对称轴为垂直于x轴的直线，关于对称轴对称的两个点纵坐标相等，且两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值。已知点P的坐标和对称轴，我们可以先确定对称点的纵坐标和P点相同，再根据横坐标的对称关系求出对称点的横坐标即可。
【解析】
设点P(1,0)关于直线x=-2的对称点坐标为$(x,y)$。
1. 由于两点关于垂直于x轴的直线对称时纵坐标相等，因此$y=0$；
2. 对称点的横坐标满足中点公式：两点横坐标的平均数等于对称轴的x值，即$\frac{1+x}{2}=-2$，
解方程得：$1+x=-4$，$x=-5$。
因此对称点的坐标为$(-5,0)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 对称点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题核心是掌握关于竖直直线对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，熟练掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数的图象性质：二次函数的图象是抛物线，属于轴对称图形，对称轴为垂直于x轴的直线，关于对称轴对称的两个点纵坐标相等，且两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值。已知点P的坐标和对称轴，我们可以先确定对称点的纵坐标和P点相同，再根据横坐标的对称关系求出对称点的横坐标即可。
【解析】
设点P(1,0)关于直线x=-2的对称点坐标为$(x,y)$。
1. 由于两点关于垂直于x轴的直线对称时纵坐标相等，因此$y=0$；
2. 对称点的横坐标满足中点公式：两点横坐标的平均数等于对称轴的x值，即$\frac{1+x}{2}=-2$，
解方程得：$1+x=-4$，$x=-5$。
因此对称点的坐标为$(-5,0)$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 对称点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数对称性的基础应用题型，解题核心是掌握关于竖直直线对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，熟练掌握该性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，这是某个二次函数的图象，则其对应的表达式是 （
A.$y=-(x+1)(x-3)$
B.$y=(x+1)(x-3)$
C.$y=-(x-1)(x+3)$
D.$y=-(x+1)(x+3)$
A
）A.$y=-(x+1)(x-3)$
B.$y=(x+1)(x-3)$
C.$y=-(x-1)(x+3)$
D.$y=-(x+1)(x+3)$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时可从图像中提取三个关键信息：①抛物线与x轴交于(-1,0)、(3,0)两点；②抛物线与y轴交于(0,3)；③抛物线开口向下，二次项系数为负。我们可以选择两种思路解题：一是利用二次函数交点式，代入已知点求出未知参数，得到解析式后对应选项；二是用排除法，先根据开口方向排除错误选项，再根据x轴交点坐标筛选剩余选项，快速得到答案。
【解析】
方法一：待定系数法求解
∵ 二次函数图象与x轴交于(-1,0)、(3,0)
∴ 设二次函数解析式为$ y=a(x+1)(x-3) $（$ a≠0 $）
将点(0,3)代入解析式得：
$ 3=a×(0+1)×(0-3) $
解得$ a=-1 $
因此二次函数表达式为$ y=-(x+1)(x-3) $
方法二：排除法求解
1. 抛物线开口向下，说明二次项系数为负，选项B展开后二次项系数为1＞0，开口向上，排除B；
2. 抛物线与x轴交点为(-1,0)、(3,0)，说明x=-1或x=3时函数值为0，选项C的零点为1和-3，选项D的零点为-1和-3，均不符合，排除C、D。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数交点式；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，既可以通过待定系数法逐步计算得到结果，也可以结合图像特征用排除法快速筛选选项，核心是掌握二次函数交点式的应用和图像与系数的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时可从图像中提取三个关键信息：①抛物线与x轴交于(-1,0)、(3,0)两点；②抛物线与y轴交于(0,3)；③抛物线开口向下，二次项系数为负。我们可以选择两种思路解题：一是利用二次函数交点式，代入已知点求出未知参数，得到解析式后对应选项；二是用排除法，先根据开口方向排除错误选项，再根据x轴交点坐标筛选剩余选项，快速得到答案。
【解析】
方法一：待定系数法求解
∵ 二次函数图象与x轴交于(-1,0)、(3,0)
∴ 设二次函数解析式为$ y=a(x+1)(x-3) $（$ a≠0 $）
将点(0,3)代入解析式得：
$ 3=a×(0+1)×(0-3) $
解得$ a=-1 $
因此二次函数表达式为$ y=-(x+1)(x-3) $
方法二：排除法求解
1. 抛物线开口向下，说明二次项系数为负，选项B展开后二次项系数为1＞0，开口向上，排除B；
2. 抛物线与x轴交点为(-1,0)、(3,0)，说明x=-1或x=3时函数值为0，选项C的零点为1和-3，选项D的零点为-1和-3，均不符合，排除C、D。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数交点式；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，既可以通过待定系数法逐步计算得到结果，也可以结合图像特征用排除法快速筛选选项，核心是掌握二次函数交点式的应用和图像与系数的对应关系。
【难度系数】
0.8
3. 已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且过点(2,8)，则它的函数表达式为（
A.$y=2(x+1)(x-2)$
B.$y=-2(x-1)(x+2)$
C.$y=(x-1)(x+2)$
D.$y=2(x-1)(x+2)$
D
）A.$y=2(x+1)(x-2)$
B.$y=-2(x-1)(x+2)$
C.$y=(x-1)(x+2)$
D.$y=2(x-1)(x+2)$
答案
3.D
解析
【分析】
已知抛物线与x轴的两个交点横坐标，优先选用二次函数交点式求解可简化计算。解题思路如下：第一步，根据x轴交点的横坐标设出交点式解析式，仅保留二次项系数a为未知量；第二步，将已知抛物线上的点代入所设解析式，求出a的值；第三步，将a代回解析式得到最终表达式，匹配选项即可。
【解析】
∵ 抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1
∴ 可设该抛物线的交点式解析式为：$y=a(x-1)(x+2)$（$a≠0$，a为常数）
将点$(2,8)$代入上述解析式，得：
$8=a×(2-1)×(2+2)$
化简得：$4a=8$
解得：$a=2$
将$a=2$代入所设解析式，得函数表达式为：$y=2(x-1)(x+2)$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数交点式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与x轴交点的意义
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，交点式可大幅降低已知x轴交点时的计算量，是求解这类题型的常用方法。
【难度系数】
0.8
已知抛物线与x轴的两个交点横坐标，优先选用二次函数交点式求解可简化计算。解题思路如下：第一步，根据x轴交点的横坐标设出交点式解析式，仅保留二次项系数a为未知量；第二步，将已知抛物线上的点代入所设解析式，求出a的值；第三步，将a代回解析式得到最终表达式，匹配选项即可。
【解析】
∵ 抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1
∴ 可设该抛物线的交点式解析式为：$y=a(x-1)(x+2)$（$a≠0$，a为常数）
将点$(2,8)$代入上述解析式，得：
$8=a×(2-1)×(2+2)$
化简得：$4a=8$
解得：$a=2$
将$a=2$代入所设解析式，得函数表达式为：$y=2(x-1)(x+2)$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数交点式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与x轴交点的意义
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题核心是根据已知条件选择合适的解析式形式，交点式可大幅降低已知x轴交点时的计算量，是求解这类题型的常用方法。
【难度系数】
0.8
4. 二次函数$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$的部分对应值如表：
则当$x=2$时，二次函数$y=a(x-x_1)(x-x_2)$对应的函数值为（
A.0
B.$-8$
C.$-9$
D.$-5$
则当$x=2$时，二次函数$y=a(x-x_1)(x-x_2)$对应的函数值为（
B
）A.0
B.$-8$
C.$-9$
D.$-5$
答案
4.B
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：首先观察表格中y值相等的两个点，利用二次函数的对称性求出对称轴；再结合交点式的特点，通过对称性找到抛物线与x轴的另一个交点，写出含参数a的交点式解析式；代入表格中已知的非零点求出a的值，得到完整解析式；最后将x=2代入解析式计算即可得到对应函数值。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：
观察表格可知，x=-3和x=5时的y值均为7，两点关于抛物线对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-3+5}{2}=1$。
2. 确定抛物线与x轴的交点：
已知x=-2时y=0，即x=-2是抛物线与x轴的一个交点，设另一个交点横坐标为$x_2$，根据对称性可得$\frac{-2+x_2}{2}=1$，解得$x_2=4$。
因此二次函数可写为$y=a(x+2)(x-4)$。
3. 求参数a的值：
将x=0，y=-8代入解析式，得：
$-8=a(0+2)(0-4)$
解得$a=1$，即函数解析式为$y=(x+2)(x-4)$。
4. 计算x=2时的y值：
将x=2代入解析式：
$y=(2+2)×(2-4)=4×(-2)=-8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数交点式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数交点式的应用，结合抛物线对称性可快速定位交点坐标，简化解析式求解过程，解题时要灵活运用对称性质减少计算量。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：首先观察表格中y值相等的两个点，利用二次函数的对称性求出对称轴；再结合交点式的特点，通过对称性找到抛物线与x轴的另一个交点，写出含参数a的交点式解析式；代入表格中已知的非零点求出a的值，得到完整解析式；最后将x=2代入解析式计算即可得到对应函数值。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：
观察表格可知，x=-3和x=5时的y值均为7，两点关于抛物线对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{-3+5}{2}=1$。
2. 确定抛物线与x轴的交点：
已知x=-2时y=0，即x=-2是抛物线与x轴的一个交点，设另一个交点横坐标为$x_2$，根据对称性可得$\frac{-2+x_2}{2}=1$，解得$x_2=4$。
因此二次函数可写为$y=a(x+2)(x-4)$。
3. 求参数a的值：
将x=0，y=-8代入解析式，得：
$-8=a(0+2)(0-4)$
解得$a=1$，即函数解析式为$y=(x+2)(x-4)$。
4. 计算x=2时的y值：
将x=2代入解析式：
$y=(2+2)×(2-4)=4×(-2)=-8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数交点式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数交点式的应用，结合抛物线对称性可快速定位交点坐标，简化解析式求解过程，解题时要灵活运用对称性质减少计算量。
【难度系数】
0.7
5. 二次函数 $y=x^2 - 2x -1$ 的图象在 $x$ 轴上截得的线段长为（
A.$2\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
A
）A.$2\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
5.A
解析
【分析】
要计算二次函数图象在x轴上截得的线段长，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此两个交点的横坐标就是一元二次方程$x^2-2x-1=0$的两个实根，线段长就是两个根的差的绝对值。我们可以通过求根公式直接求出两个根再计算差值，也可以利用韦达定理推导两根之差的绝对值，简化计算过程。
【解析】
方法一：求根公式法
令$y=0$，可得方程：$x^2 - 2x -1 = 0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
因此两个交点的横坐标分别为$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$
截得的线段长为：$|(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$
方法二：韦达定理法
令方程$x^2 - 2x -1 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-1$
根据两根差的绝对值公式$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，代入得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{2^2-4×(-1)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点的意义、一元二次方程求根公式、韦达定理
【点评】
本题是基础题型，核心考察二次函数与一元二次方程的关联，解题关键是理解二次函数和x轴交点的横坐标对应对应一元二次方程的根，两种解法中韦达定理解题更高效，建议熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要计算二次函数图象在x轴上截得的线段长，首先明确x轴上的点纵坐标为0，因此两个交点的横坐标就是一元二次方程$x^2-2x-1=0$的两个实根，线段长就是两个根的差的绝对值。我们可以通过求根公式直接求出两个根再计算差值，也可以利用韦达定理推导两根之差的绝对值，简化计算过程。
【解析】
方法一：求根公式法
令$y=0$，可得方程：$x^2 - 2x -1 = 0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
因此两个交点的横坐标分别为$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$
截得的线段长为：$|(1+\sqrt{2})-(1-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$
方法二：韦达定理法
令方程$x^2 - 2x -1 = 0$的两根为$x_1$、$x_2$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-1$
根据两根差的绝对值公式$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，代入得：
$|x_1-x_2|=\sqrt{2^2-4×(-1)}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
二次函数与x轴交点的意义、一元二次方程求根公式、韦达定理
【点评】
本题是基础题型，核心考察二次函数与一元二次方程的关联，解题关键是理解二次函数和x轴交点的横坐标对应对应一元二次方程的根，两种解法中韦达定理解题更高效，建议熟练掌握。
【难度系数】
0.8
6. 二次函数$y=(x-1)(x-2)$的一次项系数为
-3
。答案
6.-3
解析
【分析】
要得到二次函数的一次项系数，首先需要将交点形式的二次函数解析式展开转化为一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$b$就是一次项系数。解题时先运用多项式乘多项式的法则展开乘积，再合并同类项得到一般式，最后对应提取一次项的系数即可。
【解析】
对二次函数$y=(x-1)(x-2)$展开并整理：
$\begin{aligned}y&=(x-1)(x-2)\\&=x^2 -2x -x +2\\&=x^2 -3x +2\end{aligned}$
该二次函数的一般式中一次项为$-3x$，因此一次项系数为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式乘法，二次函数一般式，系数识别
【点评】
本题是基础运算题，核心考查二次函数交点式向一般式的转化，只要熟练掌握多项式乘法规则，合并同类项时注意符号，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.85
要得到二次函数的一次项系数，首先需要将交点形式的二次函数解析式展开转化为一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$b$就是一次项系数。解题时先运用多项式乘多项式的法则展开乘积，再合并同类项得到一般式，最后对应提取一次项的系数即可。
【解析】
对二次函数$y=(x-1)(x-2)$展开并整理：
$\begin{aligned}y&=(x-1)(x-2)\\&=x^2 -2x -x +2\\&=x^2 -3x +2\end{aligned}$
该二次函数的一般式中一次项为$-3x$，因此一次项系数为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式乘法，二次函数一般式，系数识别
【点评】
本题是基础运算题，核心考查二次函数交点式向一般式的转化，只要熟练掌握多项式乘法规则，合并同类项时注意符号，就能顺利得出结果。
【难度系数】
0.85
7. 已知二次函数的图象过点$(-2,0)$，$(6,0)$，最大值为32，则函数的表达式为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
7.$y=-2(x+2)(x-6)$
解析
【分析】
已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设函数解析式，可简化计算过程；其次，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，可先通过两个交点的横坐标算出对称轴，函数的最大值对应顶点的纵坐标，因此能得到顶点坐标，将顶点坐标代入所设的交点式即可求出未知系数a，最终得到函数表达式。
【解析】
1. 设函数解析式：
∵ 二次函数图象过点$(-2,0)$、$(6,0)$，即与x轴交于$(-2,0)$、$(6,0)$
∴ 设二次函数的解析式为$y=a(x+2)(x-6)$（$a≠0$）
2. 求对称轴：
二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为：
$x=\frac{-2+6}{2}=2$
3. 代入顶点坐标求a：
∵ 函数最大值为32，即顶点纵坐标为32，因此顶点坐标为$(2,32)$
将$x=2$，$y=32$代入解析式得：
$32=a(2+2)(2-6)$
$32=a×4×(-4)$
$-16a=32$
解得$a=-2$
4. 得出最终解析式：
将$a=-2$代入所设解析式，得$y=-2(x+2)(x-6)$
【答案】
$y=-2(x+2)(x-6)$
【知识点】
二次函数交点式；二次函数对称轴；二次函数最值
【点评】
本题考查利用交点式求解二次函数解析式，解题的关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，结合二次函数对称性和最值的性质代入计算，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.7
已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设函数解析式，可简化计算过程；其次，二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，可先通过两个交点的横坐标算出对称轴，函数的最大值对应顶点的纵坐标，因此能得到顶点坐标，将顶点坐标代入所设的交点式即可求出未知系数a，最终得到函数表达式。
【解析】
1. 设函数解析式：
∵ 二次函数图象过点$(-2,0)$、$(6,0)$，即与x轴交于$(-2,0)$、$(6,0)$
∴ 设二次函数的解析式为$y=a(x+2)(x-6)$（$a≠0$）
2. 求对称轴：
二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此对称轴为：
$x=\frac{-2+6}{2}=2$
3. 代入顶点坐标求a：
∵ 函数最大值为32，即顶点纵坐标为32，因此顶点坐标为$(2,32)$
将$x=2$，$y=32$代入解析式得：
$32=a(2+2)(2-6)$
$32=a×4×(-4)$
$-16a=32$
解得$a=-2$
4. 得出最终解析式：
将$a=-2$代入所设解析式，得$y=-2(x+2)(x-6)$
【答案】
$y=-2(x+2)(x-6)$
【知识点】
二次函数交点式；二次函数对称轴；二次函数最值
【点评】
本题考查利用交点式求解二次函数解析式，解题的关键是根据已知条件选择合适的解析式形式，结合二次函数对称性和最值的性质代入计算，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.7
8. 已知二次函数$y=x^2+bx+3$图象的对称轴为直线$x=-2$，则图象在$x$轴上截得的线段长是
2
。答案
8.2
解析
【分析】
解题可按两步进行：第一步，利用二次函数的对称轴公式求出参数b的值，得到完整的二次函数解析式；第二步，二次函数图象在x轴上截得的线段长等于其与x轴两个交点横坐标的差的绝对值，我们可以令y=0得到对应的一元二次方程，求出方程的两个根后计算两根之差的绝对值即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中$a=1$，已知对称轴为直线$x=-2$，代入公式得：
$-2=-\frac{b}{2×1}$
解得$b=4$，因此二次函数解析式为$y=x^2+4x+3$。
令$y=0$，得一元二次方程$x^2+4x+3=0$，因式分解得$(x+1)(x+3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
图象在x轴上截得的线段长为两个交点横坐标差的绝对值：$|x_1-x_2|=|-1-(-3)|=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.二次函数对称轴公式
2.二次函数与一元二次方程的联系
3.坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数的基本性质以及它和一元二次方程的对应关系，解题的关键是先通过对称轴求出未知参数b，再计算与x轴交点的距离，熟练掌握相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题可按两步进行：第一步，利用二次函数的对称轴公式求出参数b的值，得到完整的二次函数解析式；第二步，二次函数图象在x轴上截得的线段长等于其与x轴两个交点横坐标的差的绝对值，我们可以令y=0得到对应的一元二次方程，求出方程的两个根后计算两根之差的绝对值即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
本题中$a=1$，已知对称轴为直线$x=-2$，代入公式得：
$-2=-\frac{b}{2×1}$
解得$b=4$，因此二次函数解析式为$y=x^2+4x+3$。
令$y=0$，得一元二次方程$x^2+4x+3=0$，因式分解得$(x+1)(x+3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=-3$。
图象在x轴上截得的线段长为两个交点横坐标差的绝对值：$|x_1-x_2|=|-1-(-3)|=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.二次函数对称轴公式
2.二次函数与一元二次方程的联系
3.坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数的基本性质以及它和一元二次方程的对应关系，解题的关键是先通过对称轴求出未知参数b，再计算与x轴交点的距离，熟练掌握相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 根据下列条件求二次函数的表达式。
(1)图象过点$(-1,0),(5,0),(2,1)$。
(2)图象的对称轴为直线$x=1$，过点$(3,0),(0,3)$。
(1)图象过点$(-1,0),(5,0),(2,1)$。
(2)图象的对称轴为直线$x=1$，过点$(3,0),(0,3)$。
答案
9.解:(1)设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-5)$，将$(2,1)$代入，得$-9a=1$,解得$a=-\frac{1}{9}$，所以这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{9}(x+1)(x-5)$。
(2)因为图象的对称轴为直线$x=1$,过点$(3,0)$，所以另一个与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$。设二次函数的表达式为$y=a(x-3)(x+1)$，将$(0,3)$代入，得$-3a=3$,解得$a=-1$，所以这个二次函数的表达式为$y=-(x-3)(x+1)$。
(2)因为图象的对称轴为直线$x=1$,过点$(3,0)$，所以另一个与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$。设二次函数的表达式为$y=a(x-3)(x+1)$，将$(0,3)$代入，得$-3a=3$,解得$a=-1$，所以这个二次函数的表达式为$y=-(x-3)(x+1)$。
解析
【分析】
(1)已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设函数表达式，可简化计算，只需代入第三个已知点求出参数a即可得到解析式。
(2)已知对称轴和一个x轴交点，利用二次函数的对称性：x轴上的两个交点关于对称轴对称，先求出另一个x轴交点坐标，再用交点式设表达式，代入已知点求出参数a即可。
【解析】
(1)设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-5)$（$a\ne0$），
将点$(2,1)$代入表达式，得：
$a×(2+1)×(2-5)=1$，即$-9a=1$，
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{9}(x+1)(x-5)$。
(2)
∵二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，且过点$(3,0)$，
根据二次函数对称性，两个x轴交点关于对称轴对称，可得另一个x轴交点坐标为$(-1,0)$，
设二次函数的表达式为$y=a(x-3)(x+1)$（$a\ne0$），
将点$(0,3)$代入表达式，得：
$a×(0-3)×(0+1)=3$，即$-3a=3$，
解得$a=-1$，
因此该二次函数的表达式为$y=-(x-3)(x+1)$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}(x+1)(x-5)}$（或$\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{5}{9}}$）
(2)$\boldsymbol{y=-(x-3)(x+1)}$（或$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数交点式，二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件选择最优的解析式形式，使用交点式可有效降低计算量，第二问需灵活运用二次函数对称性挖掘隐藏的交点条件。
【难度系数】
0.8
(1)已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设函数表达式，可简化计算，只需代入第三个已知点求出参数a即可得到解析式。
(2)已知对称轴和一个x轴交点，利用二次函数的对称性：x轴上的两个交点关于对称轴对称，先求出另一个x轴交点坐标，再用交点式设表达式，代入已知点求出参数a即可。
【解析】
(1)设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-5)$（$a\ne0$），
将点$(2,1)$代入表达式，得：
$a×(2+1)×(2-5)=1$，即$-9a=1$，
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{9}(x+1)(x-5)$。
(2)
∵二次函数图象的对称轴为直线$x=1$，且过点$(3,0)$，
根据二次函数对称性，两个x轴交点关于对称轴对称，可得另一个x轴交点坐标为$(-1,0)$，
设二次函数的表达式为$y=a(x-3)(x+1)$（$a\ne0$），
将点$(0,3)$代入表达式，得：
$a×(0-3)×(0+1)=3$，即$-3a=3$，
解得$a=-1$，
因此该二次函数的表达式为$y=-(x-3)(x+1)$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}(x+1)(x-5)}$（或$\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}x^2+\frac{4}{9}x+\frac{5}{9}}$）
(2)$\boldsymbol{y=-(x-3)(x+1)}$（或$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数交点式，二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据已知条件选择最优的解析式形式，使用交点式可有效降低计算量，第二问需灵活运用二次函数对称性挖掘隐藏的交点条件。
【难度系数】
0.8
