10. 有这样一道题目:“已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$(1,0)$，，求证:这个二次函数的图象关于直线$x=2$对称。”题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。根据现有信息，题目中二次函数图象不具有的性质是（）

A.过点$(3,0)$
B.顶点坐标是$(2,-2)$
C.在$x$轴上截得的线段长是2
D.与$y$轴的交点坐标是$(0,3)$

10. B 【解析】因为二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$(1,0)$,且关于直线$x=2$对称，所以函数图象经过$(3,0)$,故 A 正确,与要求不相符。
所以在$x$轴上截得的线段长为$3-1=2$,故 C 正确,与要求不相符。
抛物线的函数表达式为$y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$，所以抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$,故 B 错误,与要求相符。
当$x=0$时,$y=3$，所以抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,3)$,故 D 正确,与要求不相符。

【分析】
要解决这道题，我们可以先利用题目给出的两个确定信息（二次函数过点$(1,0)$、对称轴为直线$x=2$）推导二次函数的完整性质：首先根据二次函数的对称性求出与x轴的另一个交点，再用交点式写出函数解析式，转化为一般式和顶点式后，逐一核对四个选项，找到不符合性质的选项即可。
【解析】
已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$(1,0)$，且对称轴为直线$x=2$：
1. 验证选项A：根据二次函数的对称性，点$(1,0)$关于对称轴$x=2$的对称点横坐标为$2+(2-1)=3$，因此函数图象过点$(3,0)$，A选项性质存在，不符合题意。
2. 验证选项C：函数在x轴上的两个交点为$(1,0)$和$(3,0)$，因此截得的线段长为$3-1=2$，C选项性质存在，不符合题意。
3. 求函数解析式：由两个交点可写出交点式$y=(x-1)(x-3)$，展开得$y=x^2-4x+3$，配方化为顶点式为$y=(x-2)^2-1$，因此顶点坐标为$(2,-1)$，可知B选项的顶点坐标$(2,-2)$不符合，B选项性质不存在，符合题意。
4. 验证选项D：将$x=0$代入解析式$y=x^2-4x+3$，得$y=3$，因此与y轴交点为$(0,3)$，D选项性质存在，不符合题意。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数解析式求解；二次函数的图象与性质
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质，解题的核心是先利用已知的交点和对称轴确定函数的完整解析式，再逐一验证选项，是二次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7

11. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值如表，根据下表回答问题。

若$A(m,y_1),B(m+5,y_2)$两点都在该函数图象上，当$y_1=y_2$时，$m$的值为。

11.$-5$

【分析】
解题思路可分为两步：第一步利用二次函数的对称性求对称轴：观察表格可知x=-3和x=-2时函数值相等，说明这两个点关于二次函数的对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值；第二步利用对称性列方程求m：若两点函数值相等，则两点也关于对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴的横坐标，据此列方程求解即可。
【解析】
解：
∵当x=-3和x=-2时，y的值均为-2，
∴二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-3+(-2)}{2}=-\frac{5}{2}$
∵点$A(m,y_1)$、$B(m+5,y_2)$的函数值相等，即$y_1=y_2$
∴A、B两点关于二次函数的对称轴对称，两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{m+(m+5)}{2}=-\frac{5}{2}$
化简得：$2m+5=-5$
解得：$m=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题侧重考查二次函数对称性质的应用，解题的核心是通过纵坐标相等的点确定对称轴，再结合对称点的横坐标与对称轴的关系建立方程求解，熟练掌握二次函数的对称性是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

12. 已知二次函数$y=2(x-m)(x-1)$（$-1≤ m≤5$），若它的图象过点$(p,q)$和点$(p+2,q)$，则$q$的取值范围是________。

12.$-6≤ q≤ 2$

【分析】
首先，二次函数图象上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，据此可求出该函数的对称轴；再结合二次函数交点式的对称轴公式，建立参数m与p的关系，将p用m表示后代入函数解析式，得到q关于m的二次函数表达式，最后结合m的取值范围求该二次函数的最值，即可得到q的取值范围。
【解析】
∵ 二次函数图象过点$(p,q)$和$(p+2,q)$，两点纵坐标相同
∴ 该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{p+(p+2)}{2}=p+1$
又
∵ 二次函数解析式为$y=2(x-m)(x-1)$，是交点式，与x轴交点为$(m,0)$、$(1,0)$
∴ 其对称轴为直线$x=\frac{m+1}{2}$
因此有$p+1=\frac{m+1}{2}$，解得$p=\frac{m-1}{2}$
将点$(p,q)$代入函数解析式得：
$q=2(p-m)(p-1)$
把$p=\frac{m-1}{2}$代入上式：
$p-m=\frac{m-1}{2}-m=\frac{-m-1}{2}$，$p-1=\frac{m-1}{2}-1=\frac{m-3}{2}$
∴ $q=2×\frac{-m-1}{2}×\frac{m-3}{2}=-\frac{1}{2}(m+1)(m-3)$
整理为顶点式：$q=-\frac{1}{2}(m^2-2m-3)=-\frac{1}{2}(m-1)^2+2$
该函数开口向下，对称轴为$m=1$，且$-1≤ m≤5$：
① 当$m=1$时，$q$取得最大值，最大值为$2$；
② 比较端点值：当$m=-1$时，$q=-\frac{1}{2}(-1-1)^2+2=0$；当$m=5$时，$q=-\frac{1}{2}(5-1)^2+2=-6$，故$q$的最小值为$-6$
综上，$q$的取值范围是$-6≤ q≤2$
【答案】
$-6≤ q≤ 2$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数交点式；二次函数最值
【点评】
本题综合考查二次函数的性质，解题的关键是利用对称点的特征求出对称轴，将q转化为关于参数m的二次函数，再结合参数的取值范围求最值，解题时需注意验证端点值确定最小/最大值。
【难度系数】
0.6

13. 二次函数 $y=a(x-2)^2 -2a(a≠0)$ 的图象与y轴的交点坐标为$(0,1)$。
(1)求a的值。
(2)求二次函数的图象在x轴上截得的线段长。

13. 解:(1)因为二次函数$y=a(x-2)^2-2a(a≠0)$的图象与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$,所以$1=a(0-2)^2-2a$，解得$a=\frac{1}{2}$,所以$a$的值为$\frac{1}{2}$。
(2)由(1)知$a=\frac{1}{2}$，所以$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-2×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x-2)^2-1$。
令$y=0$,则$\frac{1}{2}(x-2)^2-1=0$，解得$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$,所以$|x_1-x_2|=2\sqrt{2}$，故二次函数的图象在$x$轴上截得的线段长为$2\sqrt{2}$。

【分析】
（1）函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知二次函数与y轴的交点坐标，将其代入二次函数表达式，即可得到只含未知数a的方程，解方程即可求出a的值。
（2）先将求得的a值代入原式得到完整的二次函数解析式，二次函数图象在x轴上截得的线段长就是函数与x轴两个交点横坐标的差的绝对值，因此令y=0，解对应的一元二次方程得到两个根，计算两根之差的绝对值即可得到线段长度。
【解析】
(1) 已知二次函数$y=a(x-2)^2 -2a(a≠0)$的图象与y轴交于点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入解析式得：
$1=a(0-2)^2 -2a$
化简得$1=4a-2a$，即$2a=1$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(2) 将$a=\frac{1}{2}$代入原解析式，得二次函数表达式为：
$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -2×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
令$y=0$，可得方程：$\frac{1}{2}(x-2)^2 -1=0$
移项得$\frac{1}{2}(x-2)^2=1$，两边同乘2得$(x-2)^2=2$
开平方得$x-2=±\sqrt{2}$，解得$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
所以二次函数图象在x轴上截得的线段长为$|x_1-x_2|=|(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})|=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$；(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的关系；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查函数图象与解析式的对应关系，以及二次函数与一元二次方程的联系，掌握代入求值法和一元二次方程的解法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

14. 已知二次函数 $ y = -x^2 + 2mx + m + 1 $。
(1)若该二次函数的图象与y轴交于点(0,3)，求m的值及该二次函数图象在x轴上截得的线段长。
(2)对于任意实数m，请判断该二次函数图象与x轴有没有交点，并说明理由。

14. 解:(1)因为该二次函数图象与$y$轴交于点$(0,3)$，所以$m+1=3$,所以$m=2$。
所以二次函数的表达式为$y=-x^2+4x+3$。
当$y=0$时,$-x^2+4x+3=0$，解得$x=2+\sqrt{7}$或$x=2-\sqrt{7}$，所以该二次函数图象在$x$轴上截得的线段长为$(2+\sqrt{7})-(2-\sqrt{7})=2\sqrt{7}$。
(2)该二次函数图象与$x$轴有交点。理由如下：
$b^2-4ac=(2m)^2-4×(-1)(m+1)=(2m+1)^2+3$。
因为$(2m+1)^2≥0$,所以$b^2-4ac≥3$,所以该二次函数图象与$x$轴有交点。

【分析】
(1) 解第一问时，先利用y轴上点的横坐标为0的特征，将交点(0,3)代入函数式即可求出m的值，得到完整的二次函数解析式；再令y=0，解对应的一元二次方程得到两个实根，两个根的差就是函数图象在x轴上截得的线段长度。
(2) 解第二问时，判断二次函数与x轴的交点情况只需计算根的判别式Δ=b²-4ac，将对应系数代入化简后，根据平方的非负性判断Δ的符号，即可得出结论。
【解析】
(1) 因为二次函数图象与y轴交于点(0,3)，将x=0、y=3代入解析式得：
$m+1=3$，解得$m=2$。
将$m=2$代入原函数，得二次函数表达式为$y=-x^2+4x+3$。
令$y=0$，即$-x^2+4x+3=0$，解得$x=2+\sqrt{7}$或$x=2-\sqrt{7}$。
则图象在x轴上截得的线段长为$(2+\sqrt{7})-(2-\sqrt{7})=2\sqrt{7}$。
(2) 该二次函数图象与x轴有交点，理由如下：
对于二次函数$y=-x^2 + 2mx + m + 1$，其中$a=-1$，$b=2m$，$c=m+1$，代入根的判别式得：
$Δ=b^2-4ac=(2m)^2-4×(-1)(m+1)=4m^2+4m+4=(2m+1)^2+3$。
因为$(2m+1)^2≥0$，所以$Δ≥3＞0$，因此对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有两个交点。
【答案】
(1) $m=2$，二次函数图象在x轴上截得的线段长为$2\sqrt{7}$；
(2) 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴有交点，理由见解析。
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题型，考察函数与方程的转化思想，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征、根的判别式的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8