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例1 如果一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数$y=ax^2+bx$的图象只可能是（
C
）答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知的一次函数图象经过的象限入手，推导系数a、b的符号：首先一次函数斜率对应a，截距对应b，过二、三、四象限可确定a、b均为负数；再结合二次函数的性质判断图象：先由a的符号确定抛物线开口方向，排除不符合的选项，再通过对称轴公式计算二次函数对称轴的位置，最终筛选出正确选项。
【解析】
1. 推导一次函数系数符号：
已知一次函数$y=ax+b(a\ne0)$经过第二、三、四象限，因此斜率$a＜0$（图象呈下降趋势），与y轴交点在负半轴，即截距$b＜0$。
2. 判断二次函数开口方向：
二次函数$y=ax^2+bx$中，$a＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、B选项。
3. 计算二次函数对称轴位置：
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＜0$，可得$-b＞0$，$2a＜0$，因此$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧。
4. 最终筛选：
二次函数当$x=0$时$y=0$，因此图象过原点，剩余选项中C的对称轴在y轴左侧，符合要求；D的对称轴在y轴右侧，不符合。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是一次函数与二次函数图象性质的综合基础题，解题核心是掌握函数图象特征与系数符号的对应关系，先通过一次函数得到系数符号，再推导二次函数的图象特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的一次函数图象经过的象限入手，推导系数a、b的符号：首先一次函数斜率对应a，截距对应b，过二、三、四象限可确定a、b均为负数；再结合二次函数的性质判断图象：先由a的符号确定抛物线开口方向，排除不符合的选项，再通过对称轴公式计算二次函数对称轴的位置，最终筛选出正确选项。
【解析】
1. 推导一次函数系数符号：
已知一次函数$y=ax+b(a\ne0)$经过第二、三、四象限，因此斜率$a＜0$（图象呈下降趋势），与y轴交点在负半轴，即截距$b＜0$。
2. 判断二次函数开口方向：
二次函数$y=ax^2+bx$中，$a＜0$，因此抛物线开口向下，排除开口向上的A、B选项。
3. 计算二次函数对称轴位置：
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＜0$、$b＜0$，可得$-b＞0$，$2a＜0$，因此$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴在y轴左侧。
4. 最终筛选：
二次函数当$x=0$时$y=0$，因此图象过原点，剩余选项中C的对称轴在y轴左侧，符合要求；D的对称轴在y轴右侧，不符合。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是一次函数与二次函数图象性质的综合基础题，解题核心是掌握函数图象特征与系数符号的对应关系，先通过一次函数得到系数符号，再推导二次函数的图象特征即可快速求解。
【难度系数】
0.7
变式 若二次函数$y=(x+h)^2 +k$的图象如下图所示，则点$P(h,k)$所在的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：顶点式$y=(x+h)^2 +k$的顶点坐标为$(-h,k)$，对称轴为直线$x=-h$。接下来结合图象判断顶点的坐标符号：图象中抛物线顶点在第三象限，即顶点横坐标小于0、纵坐标小于0，据此推导$h$和$k$的符号，最后根据象限内点的坐标特征判断点$P$所在象限即可。
【解析】
1. 二次函数$y=(x+h)^2 +k$为顶点式，其顶点坐标为$(-h,k)$。
2. 由图象可知，抛物线的顶点位于第三象限，因此顶点的横坐标小于0，纵坐标小于0，即：
$\begin{cases}-h ＜ 0 \\ k ＜ 0\end{cases}$
3. 解不等式$-h＜0$，可得$h＞0$。
4. 点$P(h,k)$的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，因此点$P$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数顶点式与图象的对应关系，解题核心是结合图象判断顶点坐标的符号，进而推导参数的正负，是二次函数图象类的基础题型，需要熟练掌握顶点式各参数的几何意义。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：顶点式$y=(x+h)^2 +k$的顶点坐标为$(-h,k)$，对称轴为直线$x=-h$。接下来结合图象判断顶点的坐标符号：图象中抛物线顶点在第三象限，即顶点横坐标小于0、纵坐标小于0，据此推导$h$和$k$的符号，最后根据象限内点的坐标特征判断点$P$所在象限即可。
【解析】
1. 二次函数$y=(x+h)^2 +k$为顶点式，其顶点坐标为$(-h,k)$。
2. 由图象可知，抛物线的顶点位于第三象限，因此顶点的横坐标小于0，纵坐标小于0，即：
$\begin{cases}-h ＜ 0 \\ k ＜ 0\end{cases}$
3. 解不等式$-h＜0$，可得$h＞0$。
4. 点$P(h,k)$的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征，因此点$P$在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数顶点式与图象的对应关系，解题核心是结合图象判断顶点坐标的符号，进而推导参数的正负，是二次函数图象类的基础题型，需要熟练掌握顶点式各参数的几何意义。
【难度系数】
0.8
例2 二次函数 $y=a(x-3)^2+c(a≠0,c≠0)$ 与一次函数 $y=cx+a$ 在同一坐标系中的大致图象是（
A
）答案
A
解析
【分析】
这是典型的不同函数图象共存类题目，解题核心是“共同参数符号一致”原则，即两个函数表达式里的同一个参数a、c的正负，必须同时满足两个函数的图象特征。解题时可按以下思路进行：第一步先分别梳理二次函数、一次函数的图象特征和各自参数的对应关系；第二步对每个选项，先从其中一个函数图象读出a、c的符号，再验证另一个函数的图象是否符合该符号要求，矛盾的直接排除，全部符合的就是正确选项。
【解析】
首先明确两个函数的参数与图象的对应关系：
1. 二次函数$y=a(x-3)^2+c$（$a≠0$）：
开口方向由$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
顶点坐标为$(3,c)$，顶点纵坐标的正负与$c$的正负一致。
2. 一次函数$y=cx+a$（$c≠0$）：
与y轴交点为$(0,a)$，交点在y轴正半轴则$a＞0$，在负半轴则$a＜0$；
直线倾斜方向由$c$决定：$c＞0$时直线从左下向右上倾斜，$c＜0$时直线从左上向右下倾斜。
逐一验证选项：
选项A：二次函数开口向上，可得$a＞0$；顶点在x轴下方，可得$c＜0$。对应看一次函数：斜率为负（符合$c＜0$），与y轴交于正半轴（符合$a＞0$），参数符号全部匹配，符合要求。
其余选项均存在参数符号矛盾，例如部分选项由二次函数得$a＞0$，但一次函数与y轴交于负半轴（对应$a＜0$），或由二次函数得$c＜0$但一次函数斜率为正（对应$c＞0$），均排除。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质、一次函数图象性质、参数符号匹配
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，解题关键是抓住两个函数中公共参数的符号一致性，用排除法即可快速解题，能很好地考查对函数图象与参数对应关系的掌握情况。
【难度系数】
0.7
这是典型的不同函数图象共存类题目，解题核心是“共同参数符号一致”原则，即两个函数表达式里的同一个参数a、c的正负，必须同时满足两个函数的图象特征。解题时可按以下思路进行：第一步先分别梳理二次函数、一次函数的图象特征和各自参数的对应关系；第二步对每个选项，先从其中一个函数图象读出a、c的符号，再验证另一个函数的图象是否符合该符号要求，矛盾的直接排除，全部符合的就是正确选项。
【解析】
首先明确两个函数的参数与图象的对应关系：
1. 二次函数$y=a(x-3)^2+c$（$a≠0$）：
开口方向由$a$决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
顶点坐标为$(3,c)$，顶点纵坐标的正负与$c$的正负一致。
2. 一次函数$y=cx+a$（$c≠0$）：
与y轴交点为$(0,a)$，交点在y轴正半轴则$a＞0$，在负半轴则$a＜0$；
直线倾斜方向由$c$决定：$c＞0$时直线从左下向右上倾斜，$c＜0$时直线从左上向右下倾斜。
逐一验证选项：
选项A：二次函数开口向上，可得$a＞0$；顶点在x轴下方，可得$c＜0$。对应看一次函数：斜率为负（符合$c＜0$），与y轴交于正半轴（符合$a＞0$），参数符号全部匹配，符合要求。
其余选项均存在参数符号矛盾，例如部分选项由二次函数得$a＞0$，但一次函数与y轴交于负半轴（对应$a＜0$），或由二次函数得$c＜0$但一次函数斜率为正（对应$c＞0$），均排除。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质、一次函数图象性质、参数符号匹配
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，解题关键是抓住两个函数中公共参数的符号一致性，用排除法即可快速解题，能很好地考查对函数图象与参数对应关系的掌握情况。
【难度系数】
0.7
例3 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象，结合图象，下列各式正确的是
①$abc＞0$；
②$b^2-4ac＜0$；
③$a+b+c＞0$；
④$a-b+c＜0$。
②④
。（填序号）①$abc＞0$；
②$b^2-4ac＜0$；
③$a+b+c＞0$；
④$a-b+c＜0$。
答案
②④
解析
【分析】解题时先结合二次函数图象特征推导系数符号，再根据判别式的意义、特殊点的函数值逐一判断各结论：①先由开口方向得a的符号，由对称轴位置得b的符号，由与y轴交点得c的符号，再判断abc的符号；②根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号；③x=1时的函数值为a+b+c，结合x=1处的图象位置判断符号；④x=-1时的函数值为a-b+c，结合x=-1处的图象位置判断符号。
【解析】
1. 判断①：抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＜0$可推出$b＜0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$，因此$abc＜0$，①错误。
2. 判断②：抛物线与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实根，故$b^2-4ac＜0$，②正确。
3. 判断③：当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，由图象可知$x=1$对应的点在x轴下方，即$y＜0$，故$a+b+c＜0$，③错误。
4. 判断④：当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，由图象可知$x=-1$对应的点在x轴下方，即$y＜0$，故$a-b+c＜0$，④正确。
【答案】②④
【知识点】二次函数图象与系数关系；二次函数判别式
【点评】本题是二次函数图象类的典型题型，需要将图象特征和代数性质对应起来分析，掌握图象开口、对称轴、交点、特殊点对应的代数结论是解题的核心。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 判断①：抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴在y轴左侧，即$-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＜0$可推出$b＜0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$，因此$abc＜0$，①错误。
2. 判断②：抛物线与x轴没有交点，说明对应一元二次方程无实根，故$b^2-4ac＜0$，②正确。
3. 判断③：当$x=1$时，函数值$y=a+b+c$，由图象可知$x=1$对应的点在x轴下方，即$y＜0$，故$a+b+c＜0$，③错误。
4. 判断④：当$x=-1$时，函数值$y=a-b+c$，由图象可知$x=-1$对应的点在x轴下方，即$y＜0$，故$a-b+c＜0$，④正确。
【答案】②④
【知识点】二次函数图象与系数关系；二次函数判别式
【点评】本题是二次函数图象类的典型题型，需要将图象特征和代数性质对应起来分析，掌握图象开口、对称轴、交点、特殊点对应的代数结论是解题的核心。
【难度系数】0.7
变式1 如图,这是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象,则下列各式正确的是 (
A.$abc＜0$
B.$a+b+c＞0$
C.$a+c＞b$
D.$2a-b=0$
变式1题图
变式2题图
C
)A.$abc＜0$
B.$a+b+c＞0$
C.$a+c＞b$
D.$2a-b=0$
变式1题图
变式2题图
答案
C
解析
【分析】
解决这类二次函数图象与系数关系的题目，可按以下思路推导：第一步先从图象提取核心信息：由开口方向确定a的符号，由对称轴位置结合a的符号确定b的符号，由抛物线与y轴交点确定c的符号；第二步代入x=1、x=-1这类特殊横坐标，得到对应函数值的符号；第三步结合上述信息逐一推导各选项的正误即可。
【解析】
从二次函数图象可得到如下结论：
1. 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$可得$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
4. 当$x=1$时，对应函数图象在x轴下方，即$y=a+b+c＜0$；
5. 当$x=-1$时，对应函数图象在x轴上方，即$y=a-b+c＞0$；
6. 对称轴不为$x=-1$，即$-\frac{b}{2a}≠-1$，整理得$2a-b≠0$。
逐一判断选项：
A. $a＞0,b＞0,c＞0$，因此$abc＞0$，A错误；
B. $x=1$时$y=a+b+c＜0$，B错误；
C. 由$x=-1$时$y=a-b+c＞0$，移项可得$a+c＞b$，C正确；
D. 由对称轴不为$x=-1$可得$2a-b≠0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的点坐标特征
【点评】
本题是二次函数的典型基础应用题，需要熟练掌握二次函数开口方向、对称轴位置、特殊点函数值对应的代数含义，结合图象信息推导即可，易错点是混淆特殊x值对应的函数表达式。
【难度系数】
0.65
解决这类二次函数图象与系数关系的题目，可按以下思路推导：第一步先从图象提取核心信息：由开口方向确定a的符号，由对称轴位置结合a的符号确定b的符号，由抛物线与y轴交点确定c的符号；第二步代入x=1、x=-1这类特殊横坐标，得到对应函数值的符号；第三步结合上述信息逐一推导各选项的正误即可。
【解析】
从二次函数图象可得到如下结论：
1. 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
2. 对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$可得$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$；
4. 当$x=1$时，对应函数图象在x轴下方，即$y=a+b+c＜0$；
5. 当$x=-1$时，对应函数图象在x轴上方，即$y=a-b+c＞0$；
6. 对称轴不为$x=-1$，即$-\frac{b}{2a}≠-1$，整理得$2a-b≠0$。
逐一判断选项：
A. $a＞0,b＞0,c＞0$，因此$abc＞0$，A错误；
B. $x=1$时$y=a+b+c＜0$，B错误；
C. 由$x=-1$时$y=a-b+c＞0$，移项可得$a+c＞b$，C正确；
D. 由对称轴不为$x=-1$可得$2a-b≠0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，二次函数的点坐标特征
【点评】
本题是二次函数的典型基础应用题，需要熟练掌握二次函数开口方向、对称轴位置、特殊点函数值对应的代数含义，结合图象信息推导即可，易错点是混淆特殊x值对应的函数表达式。
【难度系数】
0.65
变式2 如图，这是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象，则下列结论中正确的是
①$abc＞0$；②$a+b+c=2$；③$b＞2a$；④$b＞1$。
②④
。（填序号）①$abc＞0$；②$a+b+c=2$；③$b＞2a$；④$b＞1$。
答案
【解析】①因为抛物线的开口向上,所以a＞0。
因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,所以c＜0。
因为对称轴在y轴的左侧,所以$-\frac{b}{2a}＜0$,所以b＞0,
所以abc＜0,故①错误,不符合题意;
②当x=1时,函数值为2,所以a+b+c=2,故②正确,符合题意;
③因为对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$,由图象知$-\frac{b}{2a}＞-1$,a＞0,所以2a＞b,故③错误,不符合题意;
④当x=-1时,函数值小于0,即a-b+c＜0(*)。
又因为a+b+c=2,将a+c=2-b代入(*)式,得2-2b＜0,所以b＞1,故④正确,符合题意。
综上所述,正确的结论是②④。
因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,所以c＜0。
因为对称轴在y轴的左侧,所以$-\frac{b}{2a}＜0$,所以b＞0,
所以abc＜0,故①错误,不符合题意;
②当x=1时,函数值为2,所以a+b+c=2,故②正确,符合题意;
③因为对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$,由图象知$-\frac{b}{2a}＞-1$,a＞0,所以2a＞b,故③错误,不符合题意;
④当x=-1时,函数值小于0,即a-b+c＜0(*)。
又因为a+b+c=2,将a+c=2-b代入(*)式,得2-2b＜0,所以b＞1,故④正确,符合题意。
综上所述,正确的结论是②④。
解析
【分析】
解决这类二次函数图象判断结论的问题，需结合图象提取关键信息，逐个分析结论：①判断abc的符号，需分别根据开口方向确定a的符号，根据y轴交点确定c的符号，根据对称轴位置确定b的符号，再判断乘积符号；②判断a+b+c的取值，就是求x=1时的函数值，直接看图象上x=1对应的y值即可；③判断b与2a的大小关系，可根据对称轴与-1的大小关系，结合a＞0推导；④判断b＞1是否成立，可先利用x=-1时函数值小于0得到不等式，再结合②中a+b+c=2的结论代换求解即可。
【解析】
①因为抛物线的开口向上，所以a＞0。
因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，所以c＜0。
因为对称轴在y轴的左侧，所以$-\frac{b}{2a}＜0$，结合a＞0可得b＞0，
所以abc＜0，故①错误，不符合题意；
②当x=1时，函数值为2，代入解析式得$a×1^2+b×1+c=2$，即a+b+c=2，故②正确，符合题意；
③因为对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，由图象知$-\frac{b}{2a}＞-1$，又a＞0，不等式两边同时乘2a得$-b＞-2a$，即2a＞b，故③错误，不符合题意；
④当x=-1时，函数值小于0，即$a-b+c＜0$（*）。
又因为a+b+c=2，变形得$a+c=2-b$，代入（*）式，得$2-b-b＜0$，即2-2b＜0，解得b＞1，故④正确，符合题意。
综上所述，正确的结论是②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型考题，解题核心是熟练掌握二次函数开口、对称轴、与坐标轴交点、特殊点函数值对应的代数意义，通过数形结合与简单的代数推导即可判断结论，注重对基础性质应用能力的考察。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数图象判断结论的问题，需结合图象提取关键信息，逐个分析结论：①判断abc的符号，需分别根据开口方向确定a的符号，根据y轴交点确定c的符号，根据对称轴位置确定b的符号，再判断乘积符号；②判断a+b+c的取值，就是求x=1时的函数值，直接看图象上x=1对应的y值即可；③判断b与2a的大小关系，可根据对称轴与-1的大小关系，结合a＞0推导；④判断b＞1是否成立，可先利用x=-1时函数值小于0得到不等式，再结合②中a+b+c=2的结论代换求解即可。
【解析】
①因为抛物线的开口向上，所以a＞0。
因为图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，所以c＜0。
因为对称轴在y轴的左侧，所以$-\frac{b}{2a}＜0$，结合a＞0可得b＞0，
所以abc＜0，故①错误，不符合题意；
②当x=1时，函数值为2，代入解析式得$a×1^2+b×1+c=2$，即a+b+c=2，故②正确，符合题意；
③因为对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，由图象知$-\frac{b}{2a}＞-1$，又a＞0，不等式两边同时乘2a得$-b＞-2a$，即2a＞b，故③错误，不符合题意；
④当x=-1时，函数值小于0，即$a-b+c＜0$（*）。
又因为a+b+c=2，变形得$a+c=2-b$，代入（*）式，得$2-b-b＜0$，即2-2b＜0，解得b＞1，故④正确，符合题意。
综上所述，正确的结论是②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型考题，解题核心是熟练掌握二次函数开口、对称轴、与坐标轴交点、特殊点函数值对应的代数意义，通过数形结合与简单的代数推导即可判断结论，注重对基础性质应用能力的考察。
【难度系数】
0.6
