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10.规定:若$x^m=y$,则$(x,y)=m$.例如$3^2=9$,则$(3,9)=2$.
(1)根据上述规定,直接写出结果:$(2,32)=\_\_\_\_\_\_,(3,27)=\_\_\_\_\_\_$.
(2)若$(4,a)=2,(b,8)=3$,则$(b,a)=\_\_\_\_\_\_$.
(1)根据上述规定,直接写出结果:$(2,32)=\_\_\_\_\_\_,(3,27)=\_\_\_\_\_\_$.
(2)若$(4,a)=2,(b,8)=3$,则$(b,a)=\_\_\_\_\_\_$.
答案
10.(1)5 3 (2)4
解析
【分析】
本题给出了新定义运算规则：若$x^m=y$，则$(x,y)=m$，核心是求以x为底数、运算结果为y的乘方的指数。解题时先读懂规则：第(1)问直接根据规则，分别找到2的多少次方等于32、3的多少次方等于27即可；第(2)问先利用规则分别求出a、b的值，再代入$(b,a)$，根据规则计算结果即可。
【解析】
(1) 根据乘方运算可知：$2^5=32$，结合题中规定可得$(2,32)=5$；
又因为$3^3=27$，所以$(3,27)=3$。
(2) 由$(4,a)=2$，根据规定可得$4^2=a$，计算得$a=4×4=16$；
由$(b,8)=3$，根据规定可得$b^3=8$，因为$2^3=8$，所以$b=2$；
因此$(b,a)=(2,16)$，又因为$2^4=16$，所以$(2,16)=4$，即$(b,a)=4$。
【答案】
(1)5；3 (2)4
【知识点】
有理数的乘方运算，新定义运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考查对乘方概念的掌握和对新规则的理解运用能力，只要准确理解题目给出的对应关系，熟练掌握常见整数的乘方结果，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题给出了新定义运算规则：若$x^m=y$，则$(x,y)=m$，核心是求以x为底数、运算结果为y的乘方的指数。解题时先读懂规则：第(1)问直接根据规则，分别找到2的多少次方等于32、3的多少次方等于27即可；第(2)问先利用规则分别求出a、b的值，再代入$(b,a)$，根据规则计算结果即可。
【解析】
(1) 根据乘方运算可知：$2^5=32$，结合题中规定可得$(2,32)=5$；
又因为$3^3=27$，所以$(3,27)=3$。
(2) 由$(4,a)=2$，根据规定可得$4^2=a$，计算得$a=4×4=16$；
由$(b,8)=3$，根据规定可得$b^3=8$，因为$2^3=8$，所以$b=2$；
因此$(b,a)=(2,16)$，又因为$2^4=16$，所以$(2,16)=4$，即$(b,a)=4$。
【答案】
(1)5；3 (2)4
【知识点】
有理数的乘方运算，新定义运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，重点考查对乘方概念的掌握和对新规则的理解运用能力，只要准确理解题目给出的对应关系，熟练掌握常见整数的乘方结果，即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11.规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2$,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等.类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$记作$2^{③}$,读作“2的圈3次方”,把$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)^{④}$,读作“-3的圈4次方”.一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}$($a≠0$)记作$a^{ⓝ}$,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$
(2)关于除方,下列说法错误的是
A.任何非零数的圈2次方都等于1
B.对于任何正整数$n$,$1^{ⓝ}=1$
C.$3^{④}=4^{③}$
D.负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例如:将$(-2)^{④}$写成幂的形式,$(-2)^{④}=(-2)×(-\dfrac{1}{2})^3$.
(3)试一试:仿照上面的算式,将下列计算结果直接写成幂的形式.
$5^{⑥}=$
(4)想一想:将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式.
$a^{ⓝ}=$
(5)计算:$(-\dfrac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑤}$.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$
$\dfrac{1}{2}$
, $(-3)^{④}=$$\dfrac{1}{9}$
.(2)关于除方,下列说法错误的是
C
.A.任何非零数的圈2次方都等于1
B.对于任何正整数$n$,$1^{ⓝ}=1$
C.$3^{④}=4^{③}$
D.负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?
例如:将$(-2)^{④}$写成幂的形式,$(-2)^{④}=(-2)×(-\dfrac{1}{2})^3$.
(3)试一试:仿照上面的算式,将下列计算结果直接写成幂的形式.
$5^{⑥}=$
$5×(\dfrac{1}{5})^5$
; $(-\dfrac{1}{2})^{⑩}=$$(-\dfrac{1}{2})×(-2)^9$
.(4)想一想:将一个非零有理数$a$的圈$n$次方写成幂的形式.
$a^{ⓝ}=$
$a×(\dfrac{1}{a})^{n-1}$
.(5)计算:$(-\dfrac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑤}$.
答案
11.(1)$\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{9}$ (2)C
(3)$5×(\dfrac{1}{5})^5$ $(-\dfrac{1}{2})×(-2)^9$ (4)$a×(\dfrac{1}{a})^{n-1}$
(5)原式$=(-\dfrac{1}{3})×(-3)^3×(-2)×(-\dfrac{1}{2})^4=(-\dfrac{1}{3})×(-27)×(-2)×\dfrac{1}{16}=-\dfrac{9}{8}.$
(3)$5×(\dfrac{1}{5})^5$ $(-\dfrac{1}{2})×(-2)^9$ (4)$a×(\dfrac{1}{a})^{n-1}$
(5)原式$=(-\dfrac{1}{3})×(-3)^3×(-2)×(-\dfrac{1}{2})^4=(-\dfrac{1}{3})×(-27)×(-2)×\dfrac{1}{16}=-\dfrac{9}{8}.$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“除方”的定义，再结合有理数乘除、乘方的运算法则逐步推导：1. 解(1)题时，直接根据除方定义，将圈n次方转化为n个相同数连除计算即可；2. 解(2)题时，逐一验证每个选项是否符合除方的运算规则，即可找出错误选项；3. 解(3)(4)题时，结合题目给出的除方转幂的示例找规律：n个a连除，第一个数为a，后面(n-1)个除法均可转化为乘$\frac{1}{a}$，据此可写出幂的形式；4. 解(5)题时，先将两个除方都转化为幂的形式，再按有理数混合运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据除方定义计算：
$2^{③}=2÷2÷2=1÷2=\dfrac{1}{2}$
$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=1÷(-3)÷(-3)=\dfrac{1}{9}$
(2) 逐个分析选项：
A. 任意非零数的圈2次方为$a÷a=1$，说法正确；
B. 对任意正整数$n$，$1^{ⓝ}=\underbrace{1÷1÷…÷1}_{n个1}=1$，说法正确；
C. $3^{④}=3÷3÷3÷3=\dfrac{1}{9}$，$4^{③}=4÷4÷4=\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{9}≠\dfrac{1}{4}$，说法错误；
D. 负数的圈奇数次方含奇数个负号，结果为负；圈偶数次方含偶数个负号，结果为正，说法正确。
因此选C。
(3) 根据除方转幂的规律推导：
$5^{⑥}=5×(\dfrac{1}{5})^5$
$(-\dfrac{1}{2})^{⑩}=(-\dfrac{1}{2})×(-2)^9$
(4) 推广到通用形式：n个非零有理数$a$连除，等于$a$乘$(n-1)$个$\dfrac{1}{a}$，即$a^{ⓝ}=a×(\dfrac{1}{a})^{n-1}$
(5) 先转化除方形式再计算：
原式$=(-\dfrac{1}{3})×(-3)^3×(-2)×(-\dfrac{1}{2})^4$
$=(-\dfrac{1}{3})×(-27)×(-2)×\dfrac{1}{16}$
$=9×(-\dfrac{1}{8})$
$=-\dfrac{9}{8}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{2}$；$\dfrac{1}{9}$
(2)C
(3)$5×(\dfrac{1}{5})^5$；$(-\dfrac{1}{2})×(-2)^9$
(4)$a×(\dfrac{1}{a})^{n-1}$
(5)$-\dfrac{9}{8}$
【知识点】
新定义运算；有理数乘除运算；有理数乘方运算
【点评】
本题重点考查对新概念的理解和迁移应用能力，同时结合了有理数基础运算的知识点，只要准确把握新定义的运算规则，按步骤逐步推导就能顺利解答，能很好地训练学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.65
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“除方”的定义，再结合有理数乘除、乘方的运算法则逐步推导：1. 解(1)题时，直接根据除方定义，将圈n次方转化为n个相同数连除计算即可；2. 解(2)题时，逐一验证每个选项是否符合除方的运算规则，即可找出错误选项；3. 解(3)(4)题时，结合题目给出的除方转幂的示例找规律：n个a连除，第一个数为a，后面(n-1)个除法均可转化为乘$\frac{1}{a}$，据此可写出幂的形式；4. 解(5)题时，先将两个除方都转化为幂的形式，再按有理数混合运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 根据除方定义计算：
$2^{③}=2÷2÷2=1÷2=\dfrac{1}{2}$
$(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=1÷(-3)÷(-3)=\dfrac{1}{9}$
(2) 逐个分析选项：
A. 任意非零数的圈2次方为$a÷a=1$，说法正确；
B. 对任意正整数$n$，$1^{ⓝ}=\underbrace{1÷1÷…÷1}_{n个1}=1$，说法正确；
C. $3^{④}=3÷3÷3÷3=\dfrac{1}{9}$，$4^{③}=4÷4÷4=\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{9}≠\dfrac{1}{4}$，说法错误；
D. 负数的圈奇数次方含奇数个负号，结果为负；圈偶数次方含偶数个负号，结果为正，说法正确。
因此选C。
(3) 根据除方转幂的规律推导：
$5^{⑥}=5×(\dfrac{1}{5})^5$
$(-\dfrac{1}{2})^{⑩}=(-\dfrac{1}{2})×(-2)^9$
(4) 推广到通用形式：n个非零有理数$a$连除，等于$a$乘$(n-1)$个$\dfrac{1}{a}$，即$a^{ⓝ}=a×(\dfrac{1}{a})^{n-1}$
(5) 先转化除方形式再计算：
原式$=(-\dfrac{1}{3})×(-3)^3×(-2)×(-\dfrac{1}{2})^4$
$=(-\dfrac{1}{3})×(-27)×(-2)×\dfrac{1}{16}$
$=9×(-\dfrac{1}{8})$
$=-\dfrac{9}{8}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{2}$；$\dfrac{1}{9}$
(2)C
(3)$5×(\dfrac{1}{5})^5$；$(-\dfrac{1}{2})×(-2)^9$
(4)$a×(\dfrac{1}{a})^{n-1}$
(5)$-\dfrac{9}{8}$
【知识点】
新定义运算；有理数乘除运算；有理数乘方运算
【点评】
本题重点考查对新概念的理解和迁移应用能力，同时结合了有理数基础运算的知识点，只要准确把握新定义的运算规则，按步骤逐步推导就能顺利解答，能很好地训练学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.65
