登录
1. $4 + (-2)^2 × 5$ 的计算结果是(
A.－16
B.16
C.20
D.24
D
)。A.－16
B.16
C.20
D.24
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题需遵循有理数混合运算的优先级规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。解题时先计算式子中的乘方项$(-2)^2$，再计算乘法运算，最后计算加法运算，按步骤推导即可得到正确结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方项：$(-2)^2 = 4$；
2. 计算乘法运算：$4 × 5 = 20$；
3. 计算加法运算：$4 + 20 = 24$。
因此式子的计算结果为24，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算顺序；有理数四则运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是牢记有理数混合运算的先后顺序，计算时注意负数的偶次幂为正数，规避符号错误即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的混合运算，解题需遵循有理数混合运算的优先级规则：先算乘方，再算乘除，最后算加减。解题时先计算式子中的乘方项$(-2)^2$，再计算乘法运算，最后计算加法运算，按步骤推导即可得到正确结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方项：$(-2)^2 = 4$；
2. 计算乘法运算：$4 × 5 = 20$；
3. 计算加法运算：$4 + 20 = 24$。
因此式子的计算结果为24，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算顺序；有理数四则运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是牢记有理数混合运算的先后顺序，计算时注意负数的偶次幂为正数，规避符号错误即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
2.下列运算正确的是(
A.$-\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7}=-(\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7})=-1$
B.$-7-2×5=-9×5=-45$
C.$3÷\dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{5}=3÷1=3$
D.$-(\dfrac{1}{3})^2=-\dfrac{1}{9}$
D
).A.$-\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7}=-(\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7})=-1$
B.$-7-2×5=-9×5=-45$
C.$3÷\dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{5}=3÷1=3$
D.$-(\dfrac{1}{3})^2=-\dfrac{1}{9}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查有理数的各类运算规则，解题时需逐个分析每个选项，结合对应的有理数运算法则、运算顺序判断正误，最终选出正确选项。首先回忆有理数加减、乘除、乘方的运算要求，依次排查每个选项的运算过程是否符合规则。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：异号两数相加，应取绝对值较大的数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值，正确计算为：$-\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7}=-(\dfrac{5}{7}-\dfrac{2}{7})=-\dfrac{3}{7}$，故A错误；
B选项：有理数混合运算先算乘除后算加减，正确计算为：$-7-2×5=-7-10=-17$，不能先计算减法，故B错误；
C选项：乘除为同级运算，需从左到右依次计算，正确计算为：$3÷\dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{5}=3×\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}=\dfrac{48}{25}$，不能先计算后两个数的乘法，故C错误；
D选项：先计算乘方，$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，再添加前面的负号，得$-(\dfrac{1}{3})^2=-\dfrac{1}{9}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算；有理数乘除运算；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查有理数混合运算的顺序和各类运算法则，易错点是混淆运算顺序、判断错运算符号，熟练掌握基础运算规则即可正确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的各类运算规则，解题时需逐个分析每个选项，结合对应的有理数运算法则、运算顺序判断正误，最终选出正确选项。首先回忆有理数加减、乘除、乘方的运算要求，依次排查每个选项的运算过程是否符合规则。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：异号两数相加，应取绝对值较大的数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值，正确计算为：$-\dfrac{5}{7}+\dfrac{2}{7}=-(\dfrac{5}{7}-\dfrac{2}{7})=-\dfrac{3}{7}$，故A错误；
B选项：有理数混合运算先算乘除后算加减，正确计算为：$-7-2×5=-7-10=-17$，不能先计算减法，故B错误；
C选项：乘除为同级运算，需从左到右依次计算，正确计算为：$3÷\dfrac{5}{4}×\dfrac{4}{5}=3×\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}=\dfrac{48}{25}$，不能先计算后两个数的乘法，故C错误；
D选项：先计算乘方，$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，再添加前面的负号，得$-(\dfrac{1}{3})^2=-\dfrac{1}{9}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
有理数加减运算；有理数乘除运算；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查有理数混合运算的顺序和各类运算法则，易错点是混淆运算顺序、判断错运算符号，熟练掌握基础运算规则即可正确作答。
【难度系数】
0.8
3.如果$-b=5,\frac{1}{a}=a$,那么$3× a^2-(b+a)^2$的值是(
A.$-33$
B.$-13$
C.$33$
D.$-13$或$-33$
D
).A.$-33$
B.$-13$
C.$33$
D.$-13$或$-33$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，先求出b的值，再根据$\frac{1}{a}=a$求出a的可能取值，注意$a^2=1$时a有两个互为相反数的解，最后分两种情况将a、b的值代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：1. 求b的值：
已知$-b=5$，等式两边同乘-1，得$b=-5$。
2. 求a的取值：
已知$\frac{1}{a}=a$，由分母不为0可知$a≠0$，等式两边同时乘a，得$a^2=1$，因此$a=1$或$a=-1$。
3. 分情况代入计算：
① 当$a=1$，$b=-5$时：
$3a^2-(b+a)^2=3×1^2 - (-5+1)^2=3×1 - (-4)^2=3-16=-13$
② 当$a=-1$，$b=-5$时：
$3a^2-(b+a)^2=3×(-1)^2 - (-5-1)^2=3×1 - (-6)^2=3-36=-33$
因此原式的值为-13或-33。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方；代数式求值；分类讨论
【点评】
本题解题的关键是不要遗漏a的两个取值，计算负数的乘方时要注意符号规则，避免因漏解或计算错误失分。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件出发，先求出b的值，再根据$\frac{1}{a}=a$求出a的可能取值，注意$a^2=1$时a有两个互为相反数的解，最后分两种情况将a、b的值代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：1. 求b的值：
已知$-b=5$，等式两边同乘-1，得$b=-5$。
2. 求a的取值：
已知$\frac{1}{a}=a$，由分母不为0可知$a≠0$，等式两边同时乘a，得$a^2=1$，因此$a=1$或$a=-1$。
3. 分情况代入计算：
① 当$a=1$，$b=-5$时：
$3a^2-(b+a)^2=3×1^2 - (-5+1)^2=3×1 - (-4)^2=3-16=-13$
② 当$a=-1$，$b=-5$时：
$3a^2-(b+a)^2=3×(-1)^2 - (-5-1)^2=3×1 - (-6)^2=3-36=-33$
因此原式的值为-13或-33。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方；代数式求值；分类讨论
【点评】
本题解题的关键是不要遗漏a的两个取值，计算负数的乘方时要注意符号规则，避免因漏解或计算错误失分。
【难度系数】
0.6
4.若$(x+1)^2 + |5 - y| = 0$，则$(y - x)^2$的值是（
A.16
B.36
C.25
D.49
B
）。A.16
B.36
C.25
D.49
答案
4.B
解析
【分析】
我们已经学过平方数和绝对值都具有非负性，即二者的计算结果都是大于等于0的。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数各自等于0才能满足条件。因此我们可以先依据该性质求出x、y的取值，再代入待求代数式计算就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 任意有理数的平方是非负数，任意有理数的绝对值也是非负数
∴ $(x+1)^2 ≥ 0$，$\left|5-y\right| ≥ 0$
又
∵ $(x+1)^2 + \left|5-y\right| = 0$
∴ 可列等式：$x+1=0$，$5-y=0$
解得：$x=-1$，$y=5$
将$x=-1$、$y=5$代入$(y-x)^2$得：
$(y-x)^2=[5-(-1)]^2=(5+1)^2=6^2=36$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方；代数式求值
【点评】
本题解题关键是熟练掌握平方和绝对值的非负性，明确两个非负数之和为0时每一项都为0的规律，代入计算过程难度较低。
【难度系数】
0.8
我们已经学过平方数和绝对值都具有非负性，即二者的计算结果都是大于等于0的。当两个非负数的和为0时，只有这两个非负数各自等于0才能满足条件。因此我们可以先依据该性质求出x、y的取值，再代入待求代数式计算就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 任意有理数的平方是非负数，任意有理数的绝对值也是非负数
∴ $(x+1)^2 ≥ 0$，$\left|5-y\right| ≥ 0$
又
∵ $(x+1)^2 + \left|5-y\right| = 0$
∴ 可列等式：$x+1=0$，$5-y=0$
解得：$x=-1$，$y=5$
将$x=-1$、$y=5$代入$(y-x)^2$得：
$(y-x)^2=[5-(-1)]^2=(5+1)^2=6^2=36$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；有理数的乘方；代数式求值
【点评】
本题解题关键是熟练掌握平方和绝对值的非负性，明确两个非负数之和为0时每一项都为0的规律，代入计算过程难度较低。
【难度系数】
0.8
5.$(-2)^{2025}+(-2)^{2026}$的值是(
A.2
B.$-2^{2025}$
C.$2^{2025}$
D.$(-2)^{4051}$
C
).A.2
B.$-2^{2025}$
C.$2^{2025}$
D.$(-2)^{4051}$
答案
5.C
解析
【分析】
遇到同底数幂的加减运算时，优先考虑提取公因式简化计算，无需直接计算大指数的幂。首先观察两个项的底数均为-2，指数分别为2025和2026，因此公因式为$(-2)^{2025}$；再结合有理数乘方的符号规律（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）和乘法分配律计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}(-2)^{2025}+(-2)^{2026}&=(-2)^{2025} + (-2)^{2025}×(-2)\\&=(-2)^{2025}×[1+(-2)]\\&=(-2)^{2025}×(-1)\\&=-(-2^{2025})\\&=2^{2025}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方性质、提取公因式、同底数幂乘法
【点评】
本题是乘方运算的典型简便计算题，解题核心是准确找出两个项的公因式进行提取，同时要注意判断负数乘方的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
遇到同底数幂的加减运算时，优先考虑提取公因式简化计算，无需直接计算大指数的幂。首先观察两个项的底数均为-2，指数分别为2025和2026，因此公因式为$(-2)^{2025}$；再结合有理数乘方的符号规律（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）和乘法分配律计算即可。
【解析】
$\begin{aligned}(-2)^{2025}+(-2)^{2026}&=(-2)^{2025} + (-2)^{2025}×(-2)\\&=(-2)^{2025}×[1+(-2)]\\&=(-2)^{2025}×(-1)\\&=-(-2^{2025})\\&=2^{2025}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方性质、提取公因式、同底数幂乘法
【点评】
本题是乘方运算的典型简便计算题，解题核心是准确找出两个项的公因式进行提取，同时要注意判断负数乘方的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
6.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细胞可通过分裂来繁殖后代.可用数学模型$2^n$表示细胞数量,即$2^1=2$,$2^2=4$,$2^3=8$,$2^4=16$……由此可推算出$2^{2026}$的个位上的数字是(
A.2
B.4
C.6
D.8
B
).A.2
B.4
C.6
D.8
答案
6.B
解析
【分析】
要计算$2^{2026}$的个位数字，直接计算$2^{2026}$数值太大不可行，我们可以先计算出$2^n$（n为正整数）的个位数字，找到其循环规律，再根据规律推算结果。首先列出前几个$2^n$的个位数字，确定循环周期后，用2026除以周期，根据余数就能对应找到$2^{2026}$的个位数字。
【解析】
我们先计算$2^n$的个位数字，寻找规律：
$2^1=2$，个位数字是2；
$2^2=4$，个位数字是4；
$2^3=8$，个位数字是8；
$2^4=16$，个位数字是6；
$2^5=32$，个位数字是2；
$2^6=64$，个位数字是4；
……
可以发现，$2^n$的个位数字按照2、4、8、6的顺序每4个为一个周期循环出现。
接下来计算2026除以周期4的余数：
$2026÷4 = 506······2$，即余数为2。
说明$2^{2026}$的个位数字是一个周期中的第2个数字，也就是4。
【答案】
B
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题是乘方运算的典型规律类题目，解题核心是先通过较小的幂次找到个位数字的循环周期，再利用余数快速定位结果，无需计算数值极大的幂次，能很好地锻炼逻辑推理和规律总结能力。
【难度系数】
0.7
要计算$2^{2026}$的个位数字，直接计算$2^{2026}$数值太大不可行，我们可以先计算出$2^n$（n为正整数）的个位数字，找到其循环规律，再根据规律推算结果。首先列出前几个$2^n$的个位数字，确定循环周期后，用2026除以周期，根据余数就能对应找到$2^{2026}$的个位数字。
【解析】
我们先计算$2^n$的个位数字，寻找规律：
$2^1=2$，个位数字是2；
$2^2=4$，个位数字是4；
$2^3=8$，个位数字是8；
$2^4=16$，个位数字是6；
$2^5=32$，个位数字是2；
$2^6=64$，个位数字是4；
……
可以发现，$2^n$的个位数字按照2、4、8、6的顺序每4个为一个周期循环出现。
接下来计算2026除以周期4的余数：
$2026÷4 = 506······2$，即余数为2。
说明$2^{2026}$的个位数字是一个周期中的第2个数字，也就是4。
【答案】
B
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题是乘方运算的典型规律类题目，解题核心是先通过较小的幂次找到个位数字的循环周期，再利用余数快速定位结果，无需计算数值极大的幂次，能很好地锻炼逻辑推理和规律总结能力。
【难度系数】
0.7
7.设$ n $是正整数，则$ 1 - (-1)^n $的值是
0或2
。答案
7.0或2
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。由于n是正整数，仅存在正奇数、正偶数两种情况，因此我们分两类分别计算代数式的值即可。
【解析】
已知n是正整数，分两种情况讨论：
① 当n为正偶数时，根据乘方的符号法则，$(-1)^n = 1$，
代入原式得：$1 - (-1)^n = 1 - 1 = 0$；
② 当n为正奇数时，根据乘方的符号法则，$(-1)^n = -1$，
代入原式得：$1 - (-1)^n = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$。
因此$1 - (-1)^n$的值为0或2。
【答案】
0或2
【知识点】
有理数乘方运算；分类讨论思想
【点评】
本题主要考察$-1$的乘方的符号特性，解题关键是明确正整数的奇偶分类，计算时注意符号运算规则，避免漏解，属于乘方性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握负数乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。由于n是正整数，仅存在正奇数、正偶数两种情况，因此我们分两类分别计算代数式的值即可。
【解析】
已知n是正整数，分两种情况讨论：
① 当n为正偶数时，根据乘方的符号法则，$(-1)^n = 1$，
代入原式得：$1 - (-1)^n = 1 - 1 = 0$；
② 当n为正奇数时，根据乘方的符号法则，$(-1)^n = -1$，
代入原式得：$1 - (-1)^n = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$。
因此$1 - (-1)^n$的值为0或2。
【答案】
0或2
【知识点】
有理数乘方运算；分类讨论思想
【点评】
本题主要考察$-1$的乘方的符号特性，解题关键是明确正整数的奇偶分类，计算时注意符号运算规则，避免漏解，属于乘方性质的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
8.计算.
(1) $2^3 ÷ (-\dfrac{1}{6}) - \dfrac{1}{4} × (-2)^2$.
(2) $(-\dfrac{3}{2}) × [(-\dfrac{2}{3})^2 - 2]$.
(3) $(-24) × (\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}) + (-2)^3$.
(4) $-3^2 × (-2) + 4^2 ÷ (-2)^3 - | -2^2 | ÷ 4$.
(1) $2^3 ÷ (-\dfrac{1}{6}) - \dfrac{1}{4} × (-2)^2$.
(2) $(-\dfrac{3}{2}) × [(-\dfrac{2}{3})^2 - 2]$.
(3) $(-24) × (\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}) + (-2)^3$.
(4) $-3^2 × (-2) + 4^2 ÷ (-2)^3 - | -2^2 | ÷ 4$.
答案
8.(1)原式$=8×(-6)-\dfrac{1}{4}×4=-48-1=-49.$
(2)原式$=-\dfrac{3}{2}×(\dfrac{4}{9}-2)=-\dfrac{3}{2}×\dfrac{4}{9}+2×\dfrac{3}{2}=-\dfrac{2}{3}+3=2\dfrac{1}{3}.$
(3)原式$=(-24)×\dfrac{1}{8}-(-24)×\dfrac{1}{3}+(-24)×\dfrac{1}{4}-8=-3+8-6-8=-9.$
(4)原式$=-9×(-2)+16÷(-8)-4÷4=18-2-1=15.$
(2)原式$=-\dfrac{3}{2}×(\dfrac{4}{9}-2)=-\dfrac{3}{2}×\dfrac{4}{9}+2×\dfrac{3}{2}=-\dfrac{2}{3}+3=2\dfrac{1}{3}.$
(3)原式$=(-24)×\dfrac{1}{8}-(-24)×\dfrac{1}{3}+(-24)×\dfrac{1}{4}-8=-3+8-6-8=-9.$
(4)原式$=-9×(-2)+16÷(-8)-4÷4=18-2-1=15.$
解析
【分析】
这四道题均为有理数混合运算，解题遵循统一逻辑：1. 明确运算顺序：先算乘方/绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的内容，同级运算从左到右计算。2. 符号优先判定：每一步运算先确定结果符号，再计算数值，避免符号错误。3. 简便运算优先：碰到一个数乘多个数的和/差的形式，可使用乘法分配律简化计算，减少通分步骤。比如第(3)题用分配律计算比先通分算括号内更简便。
【解析】
(1) 先计算乘方：$2^3=8$，$(-2)^2=4$；
再计算乘除：$8÷(-\dfrac{1}{6})=8×(-6)=-48$，$\dfrac{1}{4}×4=1$；
最后计算加减：原式$=-48-1=-49$。
(2) 先计算括号内的乘方：$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$；
计算括号内的减法：$\dfrac{4}{9}-2=-\dfrac{14}{9}$；
用乘法分配律计算：原式$=-\dfrac{3}{2}×\dfrac{4}{9} + (-\dfrac{3}{2})×(-2)=-\dfrac{2}{3}+3=2\dfrac{1}{3}$。
(3) 用乘法分配律展开计算，同时算乘方：$(-2)^3=-8$；
原式$=(-24)×\dfrac{1}{8}-(-24)×\dfrac{1}{3}+(-24)×\dfrac{1}{4}-8$
$=-3+8-6-8=-9$。
(4) 先计算乘方和绝对值：$-3^2=-9$，$4^2=16$，$(-2)^3=-8$，$|-2^2|=4$；
再计算乘除：$-9×(-2)=18$，$16÷(-8)=-2$，$4÷4=1$；
最后计算加减：原式$=18-2-1=15$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-49}$
(2) $\boldsymbol{2\dfrac{1}{3}}$（或$\boldsymbol{\dfrac{7}{3}}$）
(3) $\boldsymbol{-9}$
(4) $\boldsymbol{15}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心易错点是乘方的符号判定、乘除运算的符号处理，计算时严格遵循运算顺序，合理使用运算律能有效降低出错率，提升计算速度。
【难度系数】
0.7
这四道题均为有理数混合运算，解题遵循统一逻辑：1. 明确运算顺序：先算乘方/绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的内容，同级运算从左到右计算。2. 符号优先判定：每一步运算先确定结果符号，再计算数值，避免符号错误。3. 简便运算优先：碰到一个数乘多个数的和/差的形式，可使用乘法分配律简化计算，减少通分步骤。比如第(3)题用分配律计算比先通分算括号内更简便。
【解析】
(1) 先计算乘方：$2^3=8$，$(-2)^2=4$；
再计算乘除：$8÷(-\dfrac{1}{6})=8×(-6)=-48$，$\dfrac{1}{4}×4=1$；
最后计算加减：原式$=-48-1=-49$。
(2) 先计算括号内的乘方：$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$；
计算括号内的减法：$\dfrac{4}{9}-2=-\dfrac{14}{9}$；
用乘法分配律计算：原式$=-\dfrac{3}{2}×\dfrac{4}{9} + (-\dfrac{3}{2})×(-2)=-\dfrac{2}{3}+3=2\dfrac{1}{3}$。
(3) 用乘法分配律展开计算，同时算乘方：$(-2)^3=-8$；
原式$=(-24)×\dfrac{1}{8}-(-24)×\dfrac{1}{3}+(-24)×\dfrac{1}{4}-8$
$=-3+8-6-8=-9$。
(4) 先计算乘方和绝对值：$-3^2=-9$，$4^2=16$，$(-2)^3=-8$，$|-2^2|=4$；
再计算乘除：$-9×(-2)=18$，$16÷(-8)=-2$，$4÷4=1$；
最后计算加减：原式$=18-2-1=15$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-49}$
(2) $\boldsymbol{2\dfrac{1}{3}}$（或$\boldsymbol{\dfrac{7}{3}}$）
(3) $\boldsymbol{-9}$
(4) $\boldsymbol{15}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心易错点是乘方的符号判定、乘除运算的符号处理，计算时严格遵循运算顺序，合理使用运算律能有效降低出错率，提升计算速度。
【难度系数】
0.7
