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9.如图,煤矿井下点A的海拔高度为-174.8 m,已知从点A到点B的水平距离BC=120 m,每经过水平距离10 m,海拔(垂直方向)上升(或下降)0.4 m.
(1)求点B的海拔高度.
(2)若点D的海拔高度为-66.8 m,升降机每垂直升高10 m用时3 s,求升降机从点A到点D所用的时间.
(1)求点B的海拔高度.
(2)若点D的海拔高度为-66.8 m,升降机每垂直升高10 m用时3 s,求升降机从点A到点D所用的时间.
答案
9.(1)$\dfrac{120}{10}×0.4+(-174.8)=-170(\mathrm{m}).$即点B的海拔高度为$-170\ \mathrm{m}.$
(2)点D与点A的高度差:$-66.8-(-174.8)=108(\mathrm{m}).$
升降机从点A到点D所用的时间:$\dfrac{108}{10}×3=32.4(\mathrm{s}).$
(2)点D与点A的高度差:$-66.8-(-174.8)=108(\mathrm{m}).$
升降机从点A到点D所用的时间:$\dfrac{108}{10}×3=32.4(\mathrm{s}).$
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先梳理已知条件：A点海拔为-174.8m，每经过10m水平距离海拔上升0.4m，A到B的水平距离为120m。首先计算120m中包含多少个10m，即可得到从A到B海拔总共上升的高度，再用A点的海拔加上上升的总高度，就能求出B点的海拔。
(2) 求解第二问时，首先用D点的海拔减去A点的海拔，求出A到D的垂直高度差，再计算这个高度差中包含多少个10m，结合每升高10m用时3s的条件，即可求出升降机从A到D的总用时。
【解析】
(1) 先计算从A到B的海拔上升总高度：
$\dfrac{120}{10}×0.4=4.8\ \mathrm{m}$
再计算B点海拔高度：
$4.8+(-174.8)=-170\ \mathrm{m}$
(2) 先计算点D与点A的垂直高度差：
$-66.8-(-174.8)=-66.8+174.8=108\ \mathrm{m}$
再计算升降机从A到D的总用时：
$\dfrac{108}{10}×3=32.4\ \mathrm{s}$
【答案】
(1) 点B的海拔高度为$-170\ \mathrm{m}$；
(2) 升降机从点A到点D所用的时间为$32.4\ \mathrm{s}$。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减法，有理数乘除法
【点评】
本题结合实际场景考查有理数的运算应用，解题核心是理清高度变化、水平距离、升降时间之间的数量关系，计算时注意负数运算的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问时，先梳理已知条件：A点海拔为-174.8m，每经过10m水平距离海拔上升0.4m，A到B的水平距离为120m。首先计算120m中包含多少个10m，即可得到从A到B海拔总共上升的高度，再用A点的海拔加上上升的总高度，就能求出B点的海拔。
(2) 求解第二问时，首先用D点的海拔减去A点的海拔，求出A到D的垂直高度差，再计算这个高度差中包含多少个10m，结合每升高10m用时3s的条件，即可求出升降机从A到D的总用时。
【解析】
(1) 先计算从A到B的海拔上升总高度：
$\dfrac{120}{10}×0.4=4.8\ \mathrm{m}$
再计算B点海拔高度：
$4.8+(-174.8)=-170\ \mathrm{m}$
(2) 先计算点D与点A的垂直高度差：
$-66.8-(-174.8)=-66.8+174.8=108\ \mathrm{m}$
再计算升降机从A到D的总用时：
$\dfrac{108}{10}×3=32.4\ \mathrm{s}$
【答案】
(1) 点B的海拔高度为$-170\ \mathrm{m}$；
(2) 升降机从点A到点D所用的时间为$32.4\ \mathrm{s}$。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减法，有理数乘除法
【点评】
本题结合实际场景考查有理数的运算应用，解题核心是理清高度变化、水平距离、升降时间之间的数量关系，计算时注意负数运算的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
10.小佳在电脑上设计了一个有理数运算程序:输入$a$,加$*$键,再输入$b$,得到运算$a*b=(a^2 - b^2) ÷ (a - b)$.
(1)求$(-2)*(-1)$的值.
(2)小华在运用此程序计算时,屏幕显示“该程序无法操作”,你猜小华在输入数据时,出现了什么情况?为什么?
(1)求$(-2)*(-1)$的值.
(2)小华在运用此程序计算时,屏幕显示“该程序无法操作”,你猜小华在输入数据时,出现了什么情况?为什么?
答案
10.(1)$(-2)*(-1)=[(-2)^2-(-1)^2]÷[(-2)-(-1)]=(4-1)÷(-1)=-3.$
(2)因为0不能作除数,
所以小华在输入数据时,可能出现$a-b=0$,即$a=b.$
(2)因为0不能作除数,
所以小华在输入数据时,可能出现$a-b=0$,即$a=b.$
解析
【分析】
（1）本题属于新定义运算题型，首先要明确给定的运算规则$a*b=(a^2 - b^2) ÷ (a - b)$，求$(-2)*(-1)$时，只需把$a=-2$、$b=-1$代入运算式，按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算括号内的减法，最后计算除法，就能得到结果。
（2）程序无法操作说明运算不合法，有理数除法中明确规定除数不能为0，观察运算式可知除数为$a-b$，找到除数为0的情况即可解答本题。
【解析】
（1）根据题中给出的运算规则，将$a=-2$，$b=-1$代入$a*b=(a^2 - b^2) ÷ (a - b)$可得：
$\begin{aligned}(-2)*(-1)&=[(-2)^2-(-1)^2]÷[(-2)-(-1)]\\&=(4-1)÷(-1)\\&=3÷(-1)\\&=-3\end{aligned}$
（2）因为有理数除法运算中0不能作除数，若程序无法操作，说明运算中的除数为0，即$a-b=0$，也就是$a=b$，此时运算无意义，所以程序无法操作。
【答案】
(1) $-3$
(2) 小华在输入数据时可能出现$a=b$的情况，因为0不能作除数，当$a=b$时$a-b=0$，该运算无意义，所以屏幕显示无法操作。
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，0不能作除数
【点评】
本题结合新定义形式考察有理数运算的基础知识点，解题核心是准确理解新运算的规则，同时牢记除法运算的限制条件，是基础应用型考题。
【难度系数】
0.8
（1）本题属于新定义运算题型，首先要明确给定的运算规则$a*b=(a^2 - b^2) ÷ (a - b)$，求$(-2)*(-1)$时，只需把$a=-2$、$b=-1$代入运算式，按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算括号内的减法，最后计算除法，就能得到结果。
（2）程序无法操作说明运算不合法，有理数除法中明确规定除数不能为0，观察运算式可知除数为$a-b$，找到除数为0的情况即可解答本题。
【解析】
（1）根据题中给出的运算规则，将$a=-2$，$b=-1$代入$a*b=(a^2 - b^2) ÷ (a - b)$可得：
$\begin{aligned}(-2)*(-1)&=[(-2)^2-(-1)^2]÷[(-2)-(-1)]\\&=(4-1)÷(-1)\\&=3÷(-1)\\&=-3\end{aligned}$
（2）因为有理数除法运算中0不能作除数，若程序无法操作，说明运算中的除数为0，即$a-b=0$，也就是$a=b$，此时运算无意义，所以程序无法操作。
【答案】
(1) $-3$
(2) 小华在输入数据时可能出现$a=b$的情况，因为0不能作除数，当$a=b$时$a-b=0$，该运算无意义，所以屏幕显示无法操作。
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，0不能作除数
【点评】
本题结合新定义形式考察有理数运算的基础知识点，解题核心是准确理解新运算的规则，同时牢记除法运算的限制条件，是基础应用型考题。
【难度系数】
0.8
11.观察下列三行数,回答问题.
第一行:$2,-4,8,-16,32,-64,···$
第二行:$4,-2,10,-14,34,-62,···$
第三行:$1,-2,4,-8,16,-32,···$
(1)第一行的第8个数为
(2)第一行的第$n$个数为
(3)第一行中是否存在连续三个数的和为768?若存在,求出这三个数;若不存在,说明理由.
(4)是否存在同一列的三个数之和为1282?若存在,求出这三个数;若不存在,说明理由.
第一行:$2,-4,8,-16,32,-64,···$
第二行:$4,-2,10,-14,34,-62,···$
第三行:$1,-2,4,-8,16,-32,···$
(1)第一行的第8个数为
$-256$
,第二行的第8个数为$-254$
,第三行的第8个数为$-128$
.(2)第一行的第$n$个数为
$(-1)^{n+1}2^n$
.$(n$为正整数,用含$n$的式子表示$)$(3)第一行中是否存在连续三个数的和为768?若存在,求出这三个数;若不存在,说明理由.
(4)是否存在同一列的三个数之和为1282?若存在,求出这三个数;若不存在,说明理由.
答案
11.(1)$-256$ $-254$ $-128$
(2)$(-1)^{n+1}2^n$
(3)不存在.
设第一行中连续三个数分别为$x,-2x,4x$,
则$x-2x+4x=768$,解得$x=256.$
因为256不在第一行,所以不存在.
(4)存在.
因为同一列的数符号相同,
所以这三个数都是正数,即分别为$2^n,2+2^n,\dfrac{1}{2}×2^n.$
所以这一列三个数的和为$2^n+(2+2^n)+\dfrac{1}{2}×2^n=1\ 282.$
解得$2^n=512,2+2^n=514,\dfrac{1}{2}×2^n=256.$
所以存在这样的一列数,分别是512,514,256.
(2)$(-1)^{n+1}2^n$
(3)不存在.
设第一行中连续三个数分别为$x,-2x,4x$,
则$x-2x+4x=768$,解得$x=256.$
因为256不在第一行,所以不存在.
(4)存在.
因为同一列的数符号相同,
所以这三个数都是正数,即分别为$2^n,2+2^n,\dfrac{1}{2}×2^n.$
所以这一列三个数的和为$2^n+(2+2^n)+\dfrac{1}{2}×2^n=1\ 282.$
解得$2^n=512,2+2^n=514,\dfrac{1}{2}×2^n=256.$
所以存在这样的一列数,分别是512,514,256.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先分析三行数字的规律：第一行数字绝对值是2的n次方（n为项数），奇数项为正、偶数项为负；第二行每个数比第一行同位置的数大2；第三行每个数是第一行同位置数的一半。2. 解决(1)：先根据第一行规律算出第8个数，再按行之间的关系推导第二、三行第8个数。3. 解决(2)：结合第一行的符号和绝对值规律，写出含n的通项表达式。4. 解决(3)：设第一行连续三个数的第一个为x，根据后一个数是前一个数的-2倍，表示出另外两个数，列方程求解后验证解是否符合第一行的数字特征。5. 解决(4)：同一列三个数符号相同，和为正数说明三个数均为正数，设第一行第n个数为$2^n$（此时n为奇数），表示出同列另外两个数，列方程求解后验证是否符合数列规律。
【解析】
(1) 第一行第n个数的绝对值为$2^n$，第8个数是偶数项，符号为负，因此第一行第8个数为$-2^8=-256$；第二行同位置数比第一行大2，因此第二行第8个数为$-256+2=-254$；第三行同位置数是第一行的一半，因此第三行第8个数为$-256÷2=-128$。
(2) 第一行第n个数的符号为$(-1)^{n+1}$，绝对值为$2^n$，因此第n个数的表达式为$(-1)^{n+1}2^n$。
(3) 设第一行中连续三个数分别为$x,-2x,4x$，根据题意列方程：
$x-2x+4x=768$
合并同类项得$3x=768$，解得$x=256$。
第一行数列中，$2^8=256$，但第8项为$-2^8=-256$，不存在正的256，因此不存在满足条件的三个数。
(4) 存在，理由如下：
同一列的三个数符号相同，三个数的和为1282（正数），说明三个数均为正数，即此时n为奇数，第一行第n个数为$2^n$，第二行同列数为$2^n+2$，第三行同列数为$\frac{1}{2}×2^n$。
根据题意列方程：
$2^n+(2^n+2)+\frac{1}{2}×2^n=1282$
整理得$\frac{5}{2}×2^n=1280$，解得$2^n=512$。
因此三个数分别为$2^n=512$，$512+2=514$，$512÷2=256$，符合数列规律，因此存在。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-256}$；$\boldsymbol{-254}$；$\boldsymbol{-128}$
(2) $\boldsymbol{(-1)^{n+1}2^n}$
(3) 不存在，理由见解析
(4) 存在，这三个数为$\boldsymbol{512,514,256}$
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方；一元一次方程应用
【点评】
本题考查数字规律的归纳能力与方程思想的应用，需要先准确捕捉每行数字的变化规律及行与行之间的数量关系，再结合题意列方程求解，解题时要注意验证方程的解是否符合原数列的规律，避免错解。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先分析三行数字的规律：第一行数字绝对值是2的n次方（n为项数），奇数项为正、偶数项为负；第二行每个数比第一行同位置的数大2；第三行每个数是第一行同位置数的一半。2. 解决(1)：先根据第一行规律算出第8个数，再按行之间的关系推导第二、三行第8个数。3. 解决(2)：结合第一行的符号和绝对值规律，写出含n的通项表达式。4. 解决(3)：设第一行连续三个数的第一个为x，根据后一个数是前一个数的-2倍，表示出另外两个数，列方程求解后验证解是否符合第一行的数字特征。5. 解决(4)：同一列三个数符号相同，和为正数说明三个数均为正数，设第一行第n个数为$2^n$（此时n为奇数），表示出同列另外两个数，列方程求解后验证是否符合数列规律。
【解析】
(1) 第一行第n个数的绝对值为$2^n$，第8个数是偶数项，符号为负，因此第一行第8个数为$-2^8=-256$；第二行同位置数比第一行大2，因此第二行第8个数为$-256+2=-254$；第三行同位置数是第一行的一半，因此第三行第8个数为$-256÷2=-128$。
(2) 第一行第n个数的符号为$(-1)^{n+1}$，绝对值为$2^n$，因此第n个数的表达式为$(-1)^{n+1}2^n$。
(3) 设第一行中连续三个数分别为$x,-2x,4x$，根据题意列方程：
$x-2x+4x=768$
合并同类项得$3x=768$，解得$x=256$。
第一行数列中，$2^8=256$，但第8项为$-2^8=-256$，不存在正的256，因此不存在满足条件的三个数。
(4) 存在，理由如下：
同一列的三个数符号相同，三个数的和为1282（正数），说明三个数均为正数，即此时n为奇数，第一行第n个数为$2^n$，第二行同列数为$2^n+2$，第三行同列数为$\frac{1}{2}×2^n$。
根据题意列方程：
$2^n+(2^n+2)+\frac{1}{2}×2^n=1282$
整理得$\frac{5}{2}×2^n=1280$，解得$2^n=512$。
因此三个数分别为$2^n=512$，$512+2=514$，$512÷2=256$，符合数列规律，因此存在。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-256}$；$\boldsymbol{-254}$；$\boldsymbol{-128}$
(2) $\boldsymbol{(-1)^{n+1}2^n}$
(3) 不存在，理由见解析
(4) 存在，这三个数为$\boldsymbol{512,514,256}$
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方；一元一次方程应用
【点评】
本题考查数字规律的归纳能力与方程思想的应用，需要先准确捕捉每行数字的变化规律及行与行之间的数量关系，再结合题意列方程求解，解题时要注意验证方程的解是否符合原数列的规律，避免错解。
【难度系数】
0.65
