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1. 判断下列二次三项式是否能在实数范围内因式分解：
(1) $x^2 - 2x + 3$；
(2) $a^2 + 2a - 3$；
(3) $-x^2 - x + \frac{1}{2}$；
(4) $\sqrt{2}x^2 - 4x + 2\sqrt{2}$。
(1) $x^2 - 2x + 3$；
(2) $a^2 + 2a - 3$；
(3) $-x^2 - x + \frac{1}{2}$；
(4) $\sqrt{2}x^2 - 4x + 2\sqrt{2}$。
答案
1. (1) 不能. (2) 能. (3) 能. (4) 能.
解析
【分析】
要判断二次三项式在实数范围内能否因式分解，我们可以借助一元二次方程根的判别式来判断：对于形如$Ax^2+Bx+C$（$A≠0$）的二次三项式，先确定各项系数$A$、$B$、$C$，再计算判别式$\Delta=B^2-4AC$，若$\Delta≥0$，说明对应的一元二次方程有实数根，该二次三项式可以在实数范围内因式分解；若$\Delta＜0$，则不能因式分解。接下来我们对每个小题分别计算判别式判断即可。
【解析】
我们统一用判别式法判断，对于二次三项式$Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），$\Delta=B^2-4AC$，$\Delta≥0$时可在实数范围内因式分解，$\Delta＜0$时不能。
(1) 对$x^2 - 2x + 3$，取$A=1$，$B=-2$，$C=3$
$\Delta=(-2)^2 - 4×1×3=4-12=-8＜0$，故不能在实数范围内因式分解。
(2) 对$a^2 + 2a - 3$，取$A=1$，$B=2$，$C=-3$
$\Delta=2^2 - 4×1×(-3)=4+12=16＞0$，故能在实数范围内因式分解。
(3) 对$-x^2 - x + \frac{1}{2}$，取$A=-1$，$B=-1$，$C=\frac{1}{2}$
$\Delta=(-1)^2 - 4×(-1)×\frac{1}{2}=1+2=3＞0$，故能在实数范围内因式分解。
(4) 对$\sqrt{2}x^2 - 4x + 2\sqrt{2}$，取$A=\sqrt{2}$，$B=-4$，$C=2\sqrt{2}$
$\Delta=(-4)^2 - 4×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=16 - 8×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=16-16=0$，$\Delta≥0$，故能在实数范围内因式分解。
【答案】
(1) 不能. (2) 能. (3) 能. (4) 能.
【知识点】
根的判别式应用；二次三项式因式分解判定；实数运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次三项式在实数范围内因式分解的判定规则，解题时要注意准确提取各项系数，尤其不要遗漏负号，涉及根式运算时要遵守根式运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断二次三项式在实数范围内能否因式分解，我们可以借助一元二次方程根的判别式来判断：对于形如$Ax^2+Bx+C$（$A≠0$）的二次三项式，先确定各项系数$A$、$B$、$C$，再计算判别式$\Delta=B^2-4AC$，若$\Delta≥0$，说明对应的一元二次方程有实数根，该二次三项式可以在实数范围内因式分解；若$\Delta＜0$，则不能因式分解。接下来我们对每个小题分别计算判别式判断即可。
【解析】
我们统一用判别式法判断，对于二次三项式$Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），$\Delta=B^2-4AC$，$\Delta≥0$时可在实数范围内因式分解，$\Delta＜0$时不能。
(1) 对$x^2 - 2x + 3$，取$A=1$，$B=-2$，$C=3$
$\Delta=(-2)^2 - 4×1×3=4-12=-8＜0$，故不能在实数范围内因式分解。
(2) 对$a^2 + 2a - 3$，取$A=1$，$B=2$，$C=-3$
$\Delta=2^2 - 4×1×(-3)=4+12=16＞0$，故能在实数范围内因式分解。
(3) 对$-x^2 - x + \frac{1}{2}$，取$A=-1$，$B=-1$，$C=\frac{1}{2}$
$\Delta=(-1)^2 - 4×(-1)×\frac{1}{2}=1+2=3＞0$，故能在实数范围内因式分解。
(4) 对$\sqrt{2}x^2 - 4x + 2\sqrt{2}$，取$A=\sqrt{2}$，$B=-4$，$C=2\sqrt{2}$
$\Delta=(-4)^2 - 4×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=16 - 8×(\sqrt{2}×\sqrt{2})=16-16=0$，$\Delta≥0$，故能在实数范围内因式分解。
【答案】
(1) 不能. (2) 能. (3) 能. (4) 能.
【知识点】
根的判别式应用；二次三项式因式分解判定；实数运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次三项式在实数范围内因式分解的判定规则，解题时要注意准确提取各项系数，尤其不要遗漏负号，涉及根式运算时要遵守根式运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 在实数范围内因式分解：
(1) $a^2 + 3a - 1$；
(2) $2x^2 + 4x + \frac{1}{2}$；
(3) $\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3$；
(4) $-3x^2 + 3x + 2$。
(1) $a^2 + 3a - 1$；
(2) $2x^2 + 4x + \frac{1}{2}$；
(3) $\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3$；
(4) $-3x^2 + 3x + 2$。
答案
(1) 令 $a^2 + 3a - 1 = 0$，解得 $a_1 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$a_2 = \frac{-3-\sqrt{13}}{2}$.
所以 $a^2 + 3a - 1 = (a + \frac{3-\sqrt{13}}{2})(a + \frac{3+\sqrt{13}}{2})$.
(2) $2x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 2(x^2 + 2x + \frac{1}{4})$. 令 $x^2 + 2x + \frac{1}{4} = 0$，解得 $x_1 = \frac{-2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{-2-\sqrt{3}}{2}$. 所以 $2x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 2(x + \frac{2-\sqrt{3}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{3}}{2})$.
(3) $\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3 = \frac{1}{2}(y^2 + 4y - 6)$. 令 $y^2 + 4y - 6 = 0$，解得 $y_1 = -2+\sqrt{10}$，$y_2 = -2-\sqrt{10}$. 所以 $\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3 = \frac{1}{2}(y + 2 - \sqrt{10})(y + 2 + \sqrt{10})$.
(4) $-3x^2 + 3x + 2 = -3(x^2 - x - \frac{2}{3})$. 令 $x^2 - x - \frac{2}{3} = 0$，解得 $x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{6}$，$x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{6}$. 所以 $-3x^2 + 3x + 2 = -3(x - \frac{3+\sqrt{33}}{6})(x - \frac{3-\sqrt{33}}{6})$.
所以 $a^2 + 3a - 1 = (a + \frac{3-\sqrt{13}}{2})(a + \frac{3+\sqrt{13}}{2})$.
(2) $2x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 2(x^2 + 2x + \frac{1}{4})$. 令 $x^2 + 2x + \frac{1}{4} = 0$，解得 $x_1 = \frac{-2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{-2-\sqrt{3}}{2}$. 所以 $2x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 2(x + \frac{2-\sqrt{3}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{3}}{2})$.
(3) $\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3 = \frac{1}{2}(y^2 + 4y - 6)$. 令 $y^2 + 4y - 6 = 0$，解得 $y_1 = -2+\sqrt{10}$，$y_2 = -2-\sqrt{10}$. 所以 $\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3 = \frac{1}{2}(y + 2 - \sqrt{10})(y + 2 + \sqrt{10})$.
(4) $-3x^2 + 3x + 2 = -3(x^2 - x - \frac{2}{3})$. 令 $x^2 - x - \frac{2}{3} = 0$，解得 $x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{6}$，$x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{6}$. 所以 $-3x^2 + 3x + 2 = -3(x - \frac{3+\sqrt{33}}{6})(x - \frac{3-\sqrt{33}}{6})$.
解析
【分析】
这是一组实数范围内二次三项式的因式分解题，通用解题思路为求根法：① 若二次项系数不为1，先提取二次项系数，将原式整理为“二次项系数×(二次项系数为1的二次三项式)”的形式；② 令整理后的二次项系数为1的二次三项式等于0，用一元二次方程求根公式计算出两个根；③ 按照公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$写出最终分解结果，注意不要遗漏提取的二次项系数，同时注意根的符号不要出错。
【解析】
(1) 对于$a^2 + 3a - 1$，二次项系数为1，直接令$a^2 + 3a - 1 = 0$，
根据求根公式得$a = \frac{-3\pm\sqrt{3^2 - 4×1×(-1)}}{2×1} = \frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，即$a_1 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$a_2 = \frac{-3-\sqrt{13}}{2}$，
所以$a^2 + 3a - 1 = (a - \frac{-3+\sqrt{13}}{2})(a - \frac{-3-\sqrt{13}}{2}) = (a + \frac{3-\sqrt{13}}{2})(a + \frac{3+\sqrt{13}}{2})$。
(2) 先提取二次项系数2：$2x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 2(x^2 + 2x + \frac{1}{4})$，
令$x^2 + 2x + \frac{1}{4} = 0$，根据求根公式得$x = \frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×\frac{1}{4}}}{2×1} = \frac{-2\pm\sqrt{3}}{2}$，即$x_1 = \frac{-2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{-2-\sqrt{3}}{2}$，
所以$2x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 2(x - \frac{-2+\sqrt{3}}{2})(x - \frac{-2-\sqrt{3}}{2}) = 2(x + \frac{2-\sqrt{3}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{3}}{2})$。
(3) 先提取二次项系数$\frac{1}{2}$：$\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3 = \frac{1}{2}(y^2 + 4y - 6)$，
令$y^2 + 4y - 6 = 0$，根据求根公式得$y = \frac{-4\pm\sqrt{4^2 - 4×1×(-6)}}{2×1} = \frac{-4\pm2\sqrt{10}}{2} = -2\pm\sqrt{10}$，即$y_1 = -2+\sqrt{10}$，$y_2 = -2-\sqrt{10}$，
所以$\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3 = \frac{1}{2}[y - (-2+\sqrt{10})][y - (-2-\sqrt{10})] = \frac{1}{2}(y + 2 - \sqrt{10})(y + 2 + \sqrt{10})$。
(4) 先提取二次项系数$-3$：$-3x^2 + 3x + 2 = -3(x^2 - x - \frac{2}{3})$，
令$x^2 - x - \frac{2}{3} = 0$，根据求根公式得$x = \frac{1\pm\sqrt{(-1)^2 - 4×1×(-\frac{2}{3})}}{2×1} = \frac{3\pm\sqrt{33}}{6}$，即$x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{6}$，$x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{6}$，
所以$-3x^2 + 3x + 2 = -3(x - \frac{3+\sqrt{33}}{6})(x - \frac{3-\sqrt{33}}{6})$。
【答案】
(1) $(a + \frac{3-\sqrt{13}}{2})(a + \frac{3+\sqrt{13}}{2})$
(2) $2(x + \frac{2-\sqrt{3}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{3}}{2})$
(3) $\frac{1}{2}(y + 2 - \sqrt{10})(y + 2 + \sqrt{10})$
(4) $-3(x - \frac{3+\sqrt{33}}{6})(x - \frac{3-\sqrt{33}}{6})$
【知识点】
1. 实数范围内因式分解
2. 一元二次方程求根公式
3. 二次三项式因式分解
【点评】
本组题目考查二次三项式在实数范围内的因式分解，核心方法是求根法，解题时需注意先提取二次项系数，计算方程根时要保证运算准确，分解结果不要漏写提取的系数，同时注意根的符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这是一组实数范围内二次三项式的因式分解题，通用解题思路为求根法：① 若二次项系数不为1，先提取二次项系数，将原式整理为“二次项系数×(二次项系数为1的二次三项式)”的形式；② 令整理后的二次项系数为1的二次三项式等于0，用一元二次方程求根公式计算出两个根；③ 按照公式$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$写出最终分解结果，注意不要遗漏提取的二次项系数，同时注意根的符号不要出错。
【解析】
(1) 对于$a^2 + 3a - 1$，二次项系数为1，直接令$a^2 + 3a - 1 = 0$，
根据求根公式得$a = \frac{-3\pm\sqrt{3^2 - 4×1×(-1)}}{2×1} = \frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}$，即$a_1 = \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$a_2 = \frac{-3-\sqrt{13}}{2}$，
所以$a^2 + 3a - 1 = (a - \frac{-3+\sqrt{13}}{2})(a - \frac{-3-\sqrt{13}}{2}) = (a + \frac{3-\sqrt{13}}{2})(a + \frac{3+\sqrt{13}}{2})$。
(2) 先提取二次项系数2：$2x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 2(x^2 + 2x + \frac{1}{4})$，
令$x^2 + 2x + \frac{1}{4} = 0$，根据求根公式得$x = \frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4×1×\frac{1}{4}}}{2×1} = \frac{-2\pm\sqrt{3}}{2}$，即$x_1 = \frac{-2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 = \frac{-2-\sqrt{3}}{2}$，
所以$2x^2 + 4x + \frac{1}{2} = 2(x - \frac{-2+\sqrt{3}}{2})(x - \frac{-2-\sqrt{3}}{2}) = 2(x + \frac{2-\sqrt{3}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{3}}{2})$。
(3) 先提取二次项系数$\frac{1}{2}$：$\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3 = \frac{1}{2}(y^2 + 4y - 6)$，
令$y^2 + 4y - 6 = 0$，根据求根公式得$y = \frac{-4\pm\sqrt{4^2 - 4×1×(-6)}}{2×1} = \frac{-4\pm2\sqrt{10}}{2} = -2\pm\sqrt{10}$，即$y_1 = -2+\sqrt{10}$，$y_2 = -2-\sqrt{10}$，
所以$\frac{1}{2}y^2 + 2y - 3 = \frac{1}{2}[y - (-2+\sqrt{10})][y - (-2-\sqrt{10})] = \frac{1}{2}(y + 2 - \sqrt{10})(y + 2 + \sqrt{10})$。
(4) 先提取二次项系数$-3$：$-3x^2 + 3x + 2 = -3(x^2 - x - \frac{2}{3})$，
令$x^2 - x - \frac{2}{3} = 0$，根据求根公式得$x = \frac{1\pm\sqrt{(-1)^2 - 4×1×(-\frac{2}{3})}}{2×1} = \frac{3\pm\sqrt{33}}{6}$，即$x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{6}$，$x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{6}$，
所以$-3x^2 + 3x + 2 = -3(x - \frac{3+\sqrt{33}}{6})(x - \frac{3-\sqrt{33}}{6})$。
【答案】
(1) $(a + \frac{3-\sqrt{13}}{2})(a + \frac{3+\sqrt{13}}{2})$
(2) $2(x + \frac{2-\sqrt{3}}{2})(x + \frac{2+\sqrt{3}}{2})$
(3) $\frac{1}{2}(y + 2 - \sqrt{10})(y + 2 + \sqrt{10})$
(4) $-3(x - \frac{3+\sqrt{33}}{6})(x - \frac{3-\sqrt{33}}{6})$
【知识点】
1. 实数范围内因式分解
2. 一元二次方程求根公式
3. 二次三项式因式分解
【点评】
本组题目考查二次三项式在实数范围内的因式分解，核心方法是求根法，解题时需注意先提取二次项系数，计算方程根时要保证运算准确，分解结果不要漏写提取的系数，同时注意根的符号处理，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
