登录
3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 - (2m - 1)x + m - 2 = 0(m ＞ 0) $。
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根是 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ (x_1 - 3)(x_2 - 3) = 5 $，求 $ m $ 的值。
（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；
（2）如果这个方程的两个实数根是 $ x_1 $、$ x_2 $，且 $ (x_1 - 3)(x_2 - 3) = 5 $，求 $ m $ 的值。
答案
(1) 因为$m＞0$，可知该方程是关于$x$的一元二次方程，$\Delta=[-(2m-1)]^2-4· m· (m-2)=4m+1$。因为$4m+1＞1$，所以$\Delta＞0$，因此这个方程有两个不相等的实数根。
(2) 由$(x_1-3)(x_2-3)=5$，得$x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=5$。将$x_1+x_2=\frac{2m-1}{m}$，$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$代入，得$\frac{m-2}{m}-3·\frac{2m-1}{m}+9=5$，解得$m=1$，经检验，$m=1$是该方程的根。所以，$m$的值为1。
(2) 由$(x_1-3)(x_2-3)=5$，得$x_1x_2-3(x_1+x_2)+9=5$。将$x_1+x_2=\frac{2m-1}{m}$，$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$代入，得$\frac{m-2}{m}-3·\frac{2m-1}{m}+9=5$，解得$m=1$，经检验，$m=1$是该方程的根。所以，$m$的值为1。
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，首先确认方程为一元二次方程（本题m＞0，二次项系数不为0，满足要求），再根据根的判别式公式Δ=b²-4ac代入系数化简，结合m＞0的条件判断Δ的正负，若Δ＞0即可得证。
（2）先将给出的两根关系式展开整理，得到含x₁x₂和x₁+x₂的式子，再利用一元二次方程根与系数的关系，写出x₁+x₂、x₁x₂关于m的表达式，代入整理后的等式求解m，最后检验解是否符合m＞0的条件即可。
【解析】
（1）证明：
∵m＞0，
∴该方程是关于x的一元二次方程，其中二次项系数a=m，一次项系数b=-(2m-1)，常数项c=m-2。
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(2m-1)]^2 - 4· m· (m-2)$
$=4m^2-4m+1-4m^2+8m$
$=4m+1$
∵m＞0，
∴$4m+1＞1＞0$，即$\Delta＞0$，因此这个方程有两个不相等的实数根。
（2）解：将$(x_1-3)(x_2-3)=5$展开得：
$x_1x_2-3x_1-3x_2+9=5$，整理得$x_1x_2-3(x_1+x_2)+4=0$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=\frac{2m-1}{m}$，$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$。
将上述两式代入$x_1x_2-3(x_1+x_2)+4=0$得：
$\frac{m-2}{m} - 3·\frac{2m-1}{m} + 4=0$，
两边同乘m去分母得：$m-2-3(2m-1)+4m=0$，
展开合并同类项得：$-m+1=0$，解得$m=1$。
检验：当$m=1$时，分母$m=1≠0$，且满足$m＞0$的条件，因此$m=1$是原方程的解。
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根，得证；（2）m的值为1。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，分式方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的常规考法，第一问侧重根的判别式的基础应用，计算难度较低；第二问需要先对已知代数式变形，再结合根与系数的关系代入求解，计算过程中需注意检验解的合理性，整体考察基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，首先确认方程为一元二次方程（本题m＞0，二次项系数不为0，满足要求），再根据根的判别式公式Δ=b²-4ac代入系数化简，结合m＞0的条件判断Δ的正负，若Δ＞0即可得证。
（2）先将给出的两根关系式展开整理，得到含x₁x₂和x₁+x₂的式子，再利用一元二次方程根与系数的关系，写出x₁+x₂、x₁x₂关于m的表达式，代入整理后的等式求解m，最后检验解是否符合m＞0的条件即可。
【解析】
（1）证明：
∵m＞0，
∴该方程是关于x的一元二次方程，其中二次项系数a=m，一次项系数b=-(2m-1)，常数项c=m-2。
根的判别式$\Delta = b^2-4ac = [-(2m-1)]^2 - 4· m· (m-2)$
$=4m^2-4m+1-4m^2+8m$
$=4m+1$
∵m＞0，
∴$4m+1＞1＞0$，即$\Delta＞0$，因此这个方程有两个不相等的实数根。
（2）解：将$(x_1-3)(x_2-3)=5$展开得：
$x_1x_2-3x_1-3x_2+9=5$，整理得$x_1x_2-3(x_1+x_2)+4=0$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=\frac{2m-1}{m}$，$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$。
将上述两式代入$x_1x_2-3(x_1+x_2)+4=0$得：
$\frac{m-2}{m} - 3·\frac{2m-1}{m} + 4=0$，
两边同乘m去分母得：$m-2-3(2m-1)+4m=0$，
展开合并同类项得：$-m+1=0$，解得$m=1$。
检验：当$m=1$时，分母$m=1≠0$，且满足$m＞0$的条件，因此$m=1$是原方程的解。
【答案】
（1）方程有两个不相等的实数根，得证；（2）m的值为1。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，分式方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的常规考法，第一问侧重根的判别式的基础应用，计算难度较低；第二问需要先对已知代数式变形，再结合根与系数的关系代入求解，计算过程中需注意检验解的合理性，整体考察基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 已知关于$x$的方程$x^2 - (m+5)x +6m=0$的两个实数根的平方和为25，求$m$的值及此方程的两个根.
答案
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1≤ x_2$。由韦达定理，得$x_1+x_2=m+5$，$x_1x_2=6m$。
所以$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m+5)^2-12m$。
由题意，得$(m+5)^2-12m=25$，解得$m_1=2$，$m_2=0$。
将$m_1=2$代入原方程，得$x^2-7x+12=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$；
将$m_2=0$代入原方程，得$x^2-5x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$。
所以$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m+5)^2-12m$。
由题意，得$(m+5)^2-12m=25$，解得$m_1=2$，$m_2=0$。
将$m_1=2$代入原方程，得$x^2-7x+12=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$；
将$m_2=0$代入原方程，得$x^2-5x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：1. 首先设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理写出两根之和、两根之积关于$m$的表达式；2. 利用完全平方公式的变形，将两根平方和转化为含有两根和与两根积的形式，结合已知“两根平方和为25”的条件，列关于$m$的方程求解；3. 将求出的$m$值分别代回原方程，求解对应的方程根即可，注意需保证方程有两个实数根。
【解析】
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1≤ x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得：
$x_1+x_2=m+5$，$x_1x_2=6m$
由完全平方公式变形可得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m+5)^2-2×6m=(m+5)^2-12m$
根据题意两根平方和为25，列方程得：
$(m+5)^2-12m=25$
展开整理得：$m^2-2m=0$，解得$m_1=2$，$m_2=0$
①将$m_1=2$代入原方程，得$x^2-7x+12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$；
②将$m_2=0$代入原方程，得$x^2-5x=0$，因式分解得$x(x-5)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$。
经检验，$m=2$和$m=0$时原方程均有两个实数根，均符合题意。
【答案】
$m$的值为0或2；当$m=0$时，方程的两根为0和5；当$m=2$时，方程的两根为3和4。
【知识点】
韦达定理；完全平方公式变形；一元二次方程求解
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是掌握两根平方和可转化为两根和的平方减去两倍两根积的变形关系，求出参数后注意验证方程是否有实根，确保解的有效性。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：1. 首先设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理写出两根之和、两根之积关于$m$的表达式；2. 利用完全平方公式的变形，将两根平方和转化为含有两根和与两根积的形式，结合已知“两根平方和为25”的条件，列关于$m$的方程求解；3. 将求出的$m$值分别代回原方程，求解对应的方程根即可，注意需保证方程有两个实数根。
【解析】
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1≤ x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得：
$x_1+x_2=m+5$，$x_1x_2=6m$
由完全平方公式变形可得：
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(m+5)^2-2×6m=(m+5)^2-12m$
根据题意两根平方和为25，列方程得：
$(m+5)^2-12m=25$
展开整理得：$m^2-2m=0$，解得$m_1=2$，$m_2=0$
①将$m_1=2$代入原方程，得$x^2-7x+12=0$，因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$；
②将$m_2=0$代入原方程，得$x^2-5x=0$，因式分解得$x(x-5)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$。
经检验，$m=2$和$m=0$时原方程均有两个实数根，均符合题意。
【答案】
$m$的值为0或2；当$m=0$时，方程的两根为0和5；当$m=2$时，方程的两根为3和4。
【知识点】
韦达定理；完全平方公式变形；一元二次方程求解
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是掌握两根平方和可转化为两根和的平方减去两倍两根积的变形关系，求出参数后注意验证方程是否有实根，确保解的有效性。
【难度系数】
0.8
