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4. 已知关于$x$的方程$x^2 - 2x - 2n + 1 = 0$的两个实数根之差是1，求此方程的两个根及$n$的值.
答案
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1≥ x_2$，则由题意，可得$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-2n+1$. 由$\begin{cases}x_1+x_2=2,\\x_1-x_2=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=\frac{3}{2},\\x_2=\frac{1}{2}.\end{cases}$ 所以$-2n+1=\frac{3}{4}$，得$n=\frac{1}{8}$.
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两根之差，要求两根及参数n，可按以下思路求解：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2 - 2x - 2n + 1 = 0$，可直接得出两根之和的数值；再结合题目给出的两根之差为1，将两个关于两根的关系式联立，就可以解出两个根的具体值；最后利用韦达定理的两根之积的关系，代入求出的根就能计算出n的值。
【解析】
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1≥ x_2$，
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-2n+1$，
根据题意两根之差为1，可得$x_1-x_2=1$，
联立方程组$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1-x_2=1\end{cases}$，
两式相加得$2x_1=3$，解得$x_1=\frac{3}{2}$，
将$x_1=\frac{3}{2}$代入$x_1+x_2=2$，得$x_2=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，
再将$x_1=\frac{3}{2}$、$x_2=\frac{1}{2}$代入$x_1x_2=-2n+1$，得：
$\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=-2n+1$，即$\frac{3}{4}=-2n+1$，
解得$n=\frac{1}{8}$。
【答案】
方程的两个根为$\frac{3}{2}$和$\frac{1}{2}$，$n$的值为$\frac{1}{8}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，通过联立两根和、差的关系式先求根，再反求参数，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
本题已知一元二次方程的两根之差，要求两根及参数n，可按以下思路求解：首先回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2 - 2x - 2n + 1 = 0$，可直接得出两根之和的数值；再结合题目给出的两根之差为1，将两个关于两根的关系式联立，就可以解出两个根的具体值；最后利用韦达定理的两根之积的关系，代入求出的根就能计算出n的值。
【解析】
设此方程的两个根分别为$x_1$、$x_2$，不妨设$x_1≥ x_2$，
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=-2n+1$，
根据题意两根之差为1，可得$x_1-x_2=1$，
联立方程组$\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1-x_2=1\end{cases}$，
两式相加得$2x_1=3$，解得$x_1=\frac{3}{2}$，
将$x_1=\frac{3}{2}$代入$x_1+x_2=2$，得$x_2=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，
再将$x_1=\frac{3}{2}$、$x_2=\frac{1}{2}$代入$x_1x_2=-2n+1$，得：
$\frac{3}{2}×\frac{1}{2}=-2n+1$，即$\frac{3}{4}=-2n+1$，
解得$n=\frac{1}{8}$。
【答案】
方程的两个根为$\frac{3}{2}$和$\frac{1}{2}$，$n$的值为$\frac{1}{8}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，通过联立两根和、差的关系式先求根，再反求参数，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.7
1. 设α、β是方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$的两个实数根，利用韦达定理求下列各式的值：
(1) $αβ + 2α + 2β$；
(2) $(2α - 1)(2β - 1)$；
(3) $\frac{1}{α^2} + \frac{1}{β^2}$；
(4) $|α - β|$。
(1) $αβ + 2α + 2β$；
(2) $(2α - 1)(2β - 1)$；
(3) $\frac{1}{α^2} + \frac{1}{β^2}$；
(4) $|α - β|$。
答案
由韦达定理，得$α+β=-\frac{-1}{\frac{1}{2}}=2$，$αβ=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$。
(1) 原式$=αβ+2(α+β)=0$。
(2) 原式$=4αβ-2(α+β)+1=-19$。
(3) 原式$=\frac{α^2+β^2}{α^2β^2}=\frac{(α+β)^2-2αβ}{α^2β^2}=\frac{3}{4}$。
(4) 因为$(|α-β|)^2=α^2-2αβ+β^2=(α+β)^2-4αβ=20$，所以$|α-β|=2\sqrt{5}$。
(1) 原式$=αβ+2(α+β)=0$。
(2) 原式$=4αβ-2(α+β)+1=-19$。
(3) 原式$=\frac{α^2+β^2}{α^2β^2}=\frac{(α+β)^2-2αβ}{α^2β^2}=\frac{3}{4}$。
(4) 因为$(|α-β|)^2=α^2-2αβ+β^2=(α+β)^2-4αβ=20$，所以$|α-β|=2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题考查韦达定理的应用，解题无需先求解方程得到α、β的具体值，思路如下：①首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的韦达定理：两根之和$α+β=-\frac{b}{a}$，两根之积$αβ=\frac{c}{a}$，先代入方程系数算出$α+β$和$αβ$的数值；②将每个小问所求的代数式通过因式分解、展开、通分、完全平方公式变形等方式，转化为只含有$α+β$和$αβ$的式子；③将算出的$α+β$、$αβ$的值代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$。
根据韦达定理，得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{\frac{1}{2}}=2$，$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$。
(1) 对原式提取公因式变形：
原式$=αβ + 2(α+β)$，代入$α+β=2$，$αβ=-4$，得：
原式$=-4 + 2×2 = 0$。
(2) 先展开原式再整理：
原式$=4αβ - 2α - 2β + 1 = 4αβ - 2(α+β) + 1$，代入数值：
原式$=4×(-4) - 2×2 + 1 = -19$。
(3) 先通分再用完全平方公式变形：
原式$=\frac{β^2 + α^2}{α^2β^2}=\frac{(α+β)^2 - 2αβ}{(αβ)^2}$，代入数值：
原式$=\frac{2^2 - 2×(-4)}{(-4)^2} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$。
(4) 先计算绝对值的平方再开方：
$(|α-β|)^2 = (α-β)^2 = (α+β)^2 -4αβ$，代入数值得：
$(|α-β|)^2 = 2^2 - 4×(-4) = 20$，
因为绝对值非负，所以$|α-β|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{-19}$；(3) $\boxed{\dfrac{3}{4}}$；(4) $\boxed{2\sqrt{5}}$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，核心技巧是将所求代数式等价变形为仅含两根之和、两根之积的形式，避免了求解方程根的繁琐计算，熟练掌握常见的代数式变形方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查韦达定理的应用，解题无需先求解方程得到α、β的具体值，思路如下：①首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的韦达定理：两根之和$α+β=-\frac{b}{a}$，两根之积$αβ=\frac{c}{a}$，先代入方程系数算出$α+β$和$αβ$的数值；②将每个小问所求的代数式通过因式分解、展开、通分、完全平方公式变形等方式，转化为只含有$α+β$和$αβ$的式子；③将算出的$α+β$、$αβ$的值代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 2 = 0$，其中二次项系数$a=\frac{1}{2}$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-2$。
根据韦达定理，得：
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{-1}{\frac{1}{2}}=2$，$αβ=\frac{c}{a}=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-4$。
(1) 对原式提取公因式变形：
原式$=αβ + 2(α+β)$，代入$α+β=2$，$αβ=-4$，得：
原式$=-4 + 2×2 = 0$。
(2) 先展开原式再整理：
原式$=4αβ - 2α - 2β + 1 = 4αβ - 2(α+β) + 1$，代入数值：
原式$=4×(-4) - 2×2 + 1 = -19$。
(3) 先通分再用完全平方公式变形：
原式$=\frac{β^2 + α^2}{α^2β^2}=\frac{(α+β)^2 - 2αβ}{(αβ)^2}$，代入数值：
原式$=\frac{2^2 - 2×(-4)}{(-4)^2} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$。
(4) 先计算绝对值的平方再开方：
$(|α-β|)^2 = (α-β)^2 = (α+β)^2 -4αβ$，代入数值得：
$(|α-β|)^2 = 2^2 - 4×(-4) = 20$，
因为绝对值非负，所以$|α-β|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{-19}$；(3) $\boxed{\dfrac{3}{4}}$；(4) $\boxed{2\sqrt{5}}$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，完全平方公式
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，核心技巧是将所求代数式等价变形为仅含两根之和、两根之积的形式，避免了求解方程根的繁琐计算，熟练掌握常见的代数式变形方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于$x$的方程$x^2 - (m - 1)x + m - 2 = 0$的两个实数根$x_1$、$x_2$的倒数之和为2，求$m$的值及此方程的两个根。
答案
由$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，得$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$。又因为$x_1+x_2=m-1$，$x_1x_2=m-2$，所以$\frac{m-1}{m-2}=2$，解得$m=3$，经检验，$m=3$是该方程的根。将$m=3$代入原方程，得$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“两根的倒数之和为2”入手，先对倒数之和通分，将其转化为用两根之和、两根之积表示的形式；再结合一元二次方程根与系数的关系，写出该方程两根之和、两根之积关于参数m的表达式，代入后即可得到关于m的分式方程；解出m的值后，要先检验分式方程的分母不为0，同时验证此时原方程有两个实数根，最后将符合条件的m代入原方程，求解得到方程的两个根。
【解析】
已知两个实数根$x_1$、$x_2$的倒数之和为2，对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$
对于一元二次方程$x^2 - (m - 1)x + m - 2 = 0$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=m-1$，$x_1x_2=m-2$（此处$x_1x_2≠0$，即$m≠2$）
将上述两根和、两根积代入$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$，得：
$\frac{m-1}{m-2}=2$
去分母得：$m-1=2(m-2)$
展开移项计算：$m-1=2m-4$，解得$m=3$
经检验，$m=3$时分母$m-2=1≠0$，是分式方程的解，且此时原方程的判别式$\Delta=(3-1)^2-4×1×(3-2)=0$，符合有两个实数根的条件。
将$m=3$代入原方程，得：
$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$
解得$x_1=x_2=1$
【答案】
$m=3$，方程的两个根为$x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式方程求解
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题核心是利用根与系数的关系将根的数量关系转化为参数的方程，解题时要注意将倒数和的条件正确变形，求解分式方程后需检验增根，同时要保证原方程存在两个实数根，避免求出不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“两根的倒数之和为2”入手，先对倒数之和通分，将其转化为用两根之和、两根之积表示的形式；再结合一元二次方程根与系数的关系，写出该方程两根之和、两根之积关于参数m的表达式，代入后即可得到关于m的分式方程；解出m的值后，要先检验分式方程的分母不为0，同时验证此时原方程有两个实数根，最后将符合条件的m代入原方程，求解得到方程的两个根。
【解析】
已知两个实数根$x_1$、$x_2$的倒数之和为2，对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$
对于一元二次方程$x^2 - (m - 1)x + m - 2 = 0$，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=m-1$，$x_1x_2=m-2$（此处$x_1x_2≠0$，即$m≠2$）
将上述两根和、两根积代入$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=2$，得：
$\frac{m-1}{m-2}=2$
去分母得：$m-1=2(m-2)$
展开移项计算：$m-1=2m-4$，解得$m=3$
经检验，$m=3$时分母$m-2=1≠0$，是分式方程的解，且此时原方程的判别式$\Delta=(3-1)^2-4×1×(3-2)=0$，符合有两个实数根的条件。
将$m=3$代入原方程，得：
$x^2-2x+1=0$，即$(x-1)^2=0$
解得$x_1=x_2=1$
【答案】
$m=3$，方程的两个根为$x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式方程求解
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题核心是利用根与系数的关系将根的数量关系转化为参数的方程，解题时要注意将倒数和的条件正确变形，求解分式方程后需检验增根，同时要保证原方程存在两个实数根，避免求出不符合条件的参数值。
【难度系数】
0.7
