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1. 如图，物流公司准备借助仓库一侧 30 m长的墙，再利用总长为 50 m 的塑料隔板，围成三间长方形的物件中转站. 要使三间中转站的总面积为 $144\ \mathrm{m}^2$，那么垂直于墙面的隔板长是多少米？
答案
垂直于墙面的隔板长是8 m. 提示：设垂直于墙面的隔板长是x m，根据题意，得方程x(50-4x)=144. 解得$x_1=8$，$x_2=\frac{9}{2}$. 当x=8时，50-4x=18；当$x=\frac{9}{2}$时，50-4x=32，32＞30，故$x=\frac{9}{2}$舍去.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：1. 设未知数：设垂直于墙面的隔板长度为x m，观察图形可知，垂直于墙面的隔板共有4段，因此平行于墙面的隔板总长度为总隔板长减去4段垂直隔板的长度，即$(50-4x)$m；2. 列方程：根据长方形面积=长×宽，三间中转站的总面积就是垂直隔板长度×平行墙面的长度，结合总面积为$144\ \mathrm{m}^2$即可列出方程；3. 求解并验根：解一元二次方程得到两个根后，要注意平行于墙面的长度不能超过墙的总长30 m，舍去不符合实际意义的根，最终得到正确结果。
【解析】
解：设垂直于墙面的隔板长是x m，则平行于墙面的隔板总长度为$(50-4x)$ m。
根据长方形面积公式，可列方程：
$x(50-4x)=144$
整理得：$2x^2-25x+72=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=\frac{9}{2}$
对根进行合理性检验：
当$x=\frac{9}{2}$时，$50-4x=50-4×\frac{9}{2}=32$，$32＞30$，超过墙的长度，不符合实际，舍去；
当$x=8$时，$50-4x=50-32=18$，$18＜30$，符合实际要求。
因此垂直于墙面的隔板长为8 m。
【答案】
垂直于墙面的隔板长是8 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题考查一元二次方程在几何实际场景中的应用，解题核心是准确用未知数表示出矩形的边长，结合面积公式列方程，需要特别注意实际问题中自变量的取值范围，对求解出的根进行合理性检验，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
这是一道一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：1. 设未知数：设垂直于墙面的隔板长度为x m，观察图形可知，垂直于墙面的隔板共有4段，因此平行于墙面的隔板总长度为总隔板长减去4段垂直隔板的长度，即$(50-4x)$m；2. 列方程：根据长方形面积=长×宽，三间中转站的总面积就是垂直隔板长度×平行墙面的长度，结合总面积为$144\ \mathrm{m}^2$即可列出方程；3. 求解并验根：解一元二次方程得到两个根后，要注意平行于墙面的长度不能超过墙的总长30 m，舍去不符合实际意义的根，最终得到正确结果。
【解析】
解：设垂直于墙面的隔板长是x m，则平行于墙面的隔板总长度为$(50-4x)$ m。
根据长方形面积公式，可列方程：
$x(50-4x)=144$
整理得：$2x^2-25x+72=0$
解得：$x_1=8$，$x_2=\frac{9}{2}$
对根进行合理性检验：
当$x=\frac{9}{2}$时，$50-4x=50-4×\frac{9}{2}=32$，$32＞30$，超过墙的长度，不符合实际，舍去；
当$x=8$时，$50-4x=50-32=18$，$18＜30$，符合实际要求。
因此垂直于墙面的隔板长为8 m。
【答案】
垂直于墙面的隔板长是8 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题考查一元二次方程在几何实际场景中的应用，解题核心是准确用未知数表示出矩形的边长，结合面积公式列方程，需要特别注意实际问题中自变量的取值范围，对求解出的根进行合理性检验，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.6
2. 三个连续正整数的平方和是 110，那么这三个数的和是多少？
答案
这三个数的和是18. 提示：设这三个正整数分别为$x-1$、$x$、$x+1$，根据题意，得方程$(x-1)^2+x^2+(x+1)^2=110$. 解得$x_1=6$，$x_2=-6$(舍去). 所以这三个正整数分别为5、6、7，它们的和为$5+6+7=18$.
解析
【分析】
遇到连续正整数的相关问题，为了简化计算，通常设中间的数为未知数$x$，那么另外两个数就可以表示为$x-1$和$x+1$，这样两数的平方展开后一次项会相互抵消。接下来根据“三个数的平方和是110”这一等量关系列方程，求解方程后结合正整数的条件筛选出符合题意的解，最后计算三个数的和即可。
【解析】
设三个连续正整数中间的数为$x$，则另外两个数分别为$x-1$、$x+1$。
根据题意列方程：
$(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 110$
展开并合并同类项：
$x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 110$
化简得：$3x^2 + 2 = 110$
移项计算：$3x^2 = 108$，即$x^2 = 36$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -6$
因为所求为正整数，所以$x_2 = -6$不符合题意，舍去。
因此三个数分别为$6-1=5$、$6$、$6+1=7$，三个数的和为$5+6+7=18$。
【答案】
18
【知识点】
一元二次方程应用、连续数设元、平方运算
【点评】
本题是数字类一元二次方程的典型习题，选择设中间数为未知数的设元技巧可大幅降低计算量，解题时需注意题干对未知数的取值限制，及时舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
遇到连续正整数的相关问题，为了简化计算，通常设中间的数为未知数$x$，那么另外两个数就可以表示为$x-1$和$x+1$，这样两数的平方展开后一次项会相互抵消。接下来根据“三个数的平方和是110”这一等量关系列方程，求解方程后结合正整数的条件筛选出符合题意的解，最后计算三个数的和即可。
【解析】
设三个连续正整数中间的数为$x$，则另外两个数分别为$x-1$、$x+1$。
根据题意列方程：
$(x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 = 110$
展开并合并同类项：
$x^2 - 2x + 1 + x^2 + x^2 + 2x + 1 = 110$
化简得：$3x^2 + 2 = 110$
移项计算：$3x^2 = 108$，即$x^2 = 36$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -6$
因为所求为正整数，所以$x_2 = -6$不符合题意，舍去。
因此三个数分别为$6-1=5$、$6$、$6+1=7$，三个数的和为$5+6+7=18$。
【答案】
18
【知识点】
一元二次方程应用、连续数设元、平方运算
【点评】
本题是数字类一元二次方程的典型习题，选择设中间数为未知数的设元技巧可大幅降低计算量，解题时需注意题干对未知数的取值限制，及时舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
3. 现有一张长方形纸片，其周长为 36 cm，将纸片的四个角各剪下一个边长为 2 cm 的正方形，然后沿图中虚线将纸片折成一个无盖的长方体. 如果所得的长方体的体积是 48 cm³，那么原纸片的相邻两边的长分别是多少厘米？
答案
原纸片的相邻两边的长分别是10 cm和8 cm. 提示：设原纸片的一边长是x cm，则其邻边长是$(18-x)$ cm. 根据题意，得方程$2(x-4)(18-x-4)=48$. 解得$x_1=10$，$x_2=8$.
解析
【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：原长方形周长36cm，四个角剪去边长2cm的正方形后折成无盖长方体，体积为48cm³，求原长方形相邻两边长。第一步，根据长方形周长公式，先得到长与宽的和为18cm，即可用一个未知数表示两条相邻边的长度；第二步，明确折叠后无盖长方体的高就是剪下的正方形边长2cm，长方体的长、宽分别是原长方形的长、宽各减去2个正方形边长（即共减去4cm）；第三步，利用长方体体积公式“体积=长×宽×高”，代入对应量列出方程，求解方程后验证根的实际意义即可得到答案。
【解析】
解：设原纸片的一边长为$x\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 原长方形周长为$36\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 相邻的另一边长为 $\frac{36}{2}-x=(18-x)\ \mathrm{cm}$。
折成的无盖长方体的高为$2\ \mathrm{cm}$，长为$(x-2×2)=(x-4)\ \mathrm{cm}$，宽为$(18-x-2×2)=(14-x)\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式列方程：
$2(x-4)(14-x)=48$
两边同时除以2得：
$(x-4)(14-x)=24$
展开整理得：
$x^2-18x+80=0$
因式分解得：
$(x-10)(x-8)=0$
解得 $x_1=10$，$x_2=8$。
当$x=10$时，邻边长为$18-10=8\ \mathrm{cm}$；当$x=8$时，邻边长为$18-8=10\ \mathrm{cm}$，均符合实际意义。
【答案】
原纸片的相邻两边的长分别是10 cm和8 cm。
【知识点】
一元二次方程应用、长方形周长计算、长方体体积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的典型基础题，解题关键是准确找到折叠前后图形的边长对应关系，结合公式列方程求解，计算过程中要注意整理方程时的符号问题，同时要验证所求的根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先梳理已知条件：原长方形周长36cm，四个角剪去边长2cm的正方形后折成无盖长方体，体积为48cm³，求原长方形相邻两边长。第一步，根据长方形周长公式，先得到长与宽的和为18cm，即可用一个未知数表示两条相邻边的长度；第二步，明确折叠后无盖长方体的高就是剪下的正方形边长2cm，长方体的长、宽分别是原长方形的长、宽各减去2个正方形边长（即共减去4cm）；第三步，利用长方体体积公式“体积=长×宽×高”，代入对应量列出方程，求解方程后验证根的实际意义即可得到答案。
【解析】
解：设原纸片的一边长为$x\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 原长方形周长为$36\ \mathrm{cm}$，
$\therefore$ 相邻的另一边长为 $\frac{36}{2}-x=(18-x)\ \mathrm{cm}$。
折成的无盖长方体的高为$2\ \mathrm{cm}$，长为$(x-2×2)=(x-4)\ \mathrm{cm}$，宽为$(18-x-2×2)=(14-x)\ \mathrm{cm}$。
根据长方体体积公式列方程：
$2(x-4)(14-x)=48$
两边同时除以2得：
$(x-4)(14-x)=24$
展开整理得：
$x^2-18x+80=0$
因式分解得：
$(x-10)(x-8)=0$
解得 $x_1=10$，$x_2=8$。
当$x=10$时，邻边长为$18-10=8\ \mathrm{cm}$；当$x=8$时，邻边长为$18-8=10\ \mathrm{cm}$，均符合实际意义。
【答案】
原纸片的相邻两边的长分别是10 cm和8 cm。
【知识点】
一元二次方程应用、长方形周长计算、长方体体积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的典型基础题，解题关键是准确找到折叠前后图形的边长对应关系，结合公式列方程求解，计算过程中要注意整理方程时的符号问题，同时要验证所求的根是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
