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例4 如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差.
【思路导析】(1)可根据$\frac{1}{2}AB · AC = \frac{1}{2}BC · AD$求AD的长；(2)$S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$；(3)AC与AB的差即为△ACE与△ABE的周长的差.
【示范解答】(1)∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2}×6×8=24(cm^2)$，
而$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD · BC$，
∴$\frac{1}{2}AD · BC=24(cm)$，
∴AD＝4.8(cm).
(2)$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE · AD=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}BC)×AD=\frac{1}{4}BC · AD=\frac{1}{4}×10×4.8=12(cm^2)$.
(3)∵AE为中线，∴BE＝CE.将△ACE和△ABE的周长分别记为$C_{△ ACE}$和$C_{△ ABE}$，则
$C_{△ ACE} - C_{△ ABE}=AC + CE + AE - (AB + BE + AE)=AC - AB=8 - 6=2(cm)$.
(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE和△ABE的周长的差.
【思路导析】(1)可根据$\frac{1}{2}AB · AC = \frac{1}{2}BC · AD$求AD的长；(2)$S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$；(3)AC与AB的差即为△ACE与△ABE的周长的差.
【示范解答】(1)∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · AC=\frac{1}{2}×6×8=24(cm^2)$，
而$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD · BC$，
∴$\frac{1}{2}AD · BC=24(cm)$，
∴AD＝4.8(cm).
(2)$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE · AD=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}BC)×AD=\frac{1}{4}BC · AD=\frac{1}{4}×10×4.8=12(cm^2)$.
(3)∵AE为中线，∴BE＝CE.将△ACE和△ABE的周长分别记为$C_{△ ACE}$和$C_{△ ABE}$，则
$C_{△ ACE} - C_{△ ABE}=AC + CE + AE - (AB + BE + AE)=AC - AB=8 - 6=2(cm)$.
答案
解：
(1) ∵ ∠CAB=90°，AD是△ABC的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$，
又∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，
∴ $\frac{1}{2}×10· AD=24$，
解得 $AD=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) ∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· BE· AD=\frac{1}{2}×5×4.8=12\ \mathrm{cm}^2$。
(3) ∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=CE$，
$\begin{aligned}C_{△ ACE}-C_{△ ABE}&=(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)\\&=AC-AB\\&=8-6=2\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
答：(1) AD的长为4.8 cm；(2) △ABE的面积为12 cm²；(3) △ACE和△ABE的周长的差为2 cm。
(1) ∵ ∠CAB=90°，AD是△ABC的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$，
又∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，
∴ $\frac{1}{2}×10· AD=24$，
解得 $AD=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2) ∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· BE· AD=\frac{1}{2}×5×4.8=12\ \mathrm{cm}^2$。
(3) ∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=CE$，
$\begin{aligned}C_{△ ACE}-C_{△ ABE}&=(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)\\&=AC-AB\\&=8-6=2\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
答：(1) AD的长为4.8 cm；(2) △ABE的面积为12 cm²；(3) △ACE和△ABE的周长的差为2 cm。
解析
【分析】
(1) 求AD的长可采用等面积法：△ABC是直角三角形，既可以用两条直角边AB、AC计算面积，也可以用底BC和对应高AD计算面积，两种方式计算的面积相等，代入已知数值即可求出AD。
(2) 求△ABE的面积：AE是△ABC的中线，所以BE为BC长度的一半，已知BE和高AD的长度，代入三角形面积公式即可计算；也可利用中线将三角形分成面积相等的两部分，直接取△ABC面积的一半。
(3) 求两个三角形的周长差：先分别写出两个三角形的周长表达式，观察发现两个三角形有公共边AE，且由中线性质可得BE=CE，两式相减后公共部分抵消，仅剩AC与AB的差，计算即可得结果。
【解析】
(1)
∵ ∠CAB=90°，AD是△ABC的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$，
又
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，
∴ $\frac{1}{2}×10· AD=24$，
解得 $AD=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· BE· AD=\frac{1}{2}×5×4.8=12\ \mathrm{cm}^2$。
(3)
∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=CE$，
$\begin{aligned}C_{△ ACE}-C_{△ ABE}&=(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)\\&=AC-AB\\&=8-6=2\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
(1) AD的长为4.8 cm；(2) △ABE的面积为12 cm²；(3) △ACE和△ABE的周长的差为2 cm。
【知识点】
等面积法应用，三角形中线的性质，三角形周长与面积计算
【点评】
本题是三角形相关性质的基础应用题，解题的核心是灵活运用三角形高和中线的性质简化计算，尤其是周长差的计算，通过抵消公共项可避免重复计算，是三角形部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求AD的长可采用等面积法：△ABC是直角三角形，既可以用两条直角边AB、AC计算面积，也可以用底BC和对应高AD计算面积，两种方式计算的面积相等，代入已知数值即可求出AD。
(2) 求△ABE的面积：AE是△ABC的中线，所以BE为BC长度的一半，已知BE和高AD的长度，代入三角形面积公式即可计算；也可利用中线将三角形分成面积相等的两部分，直接取△ABC面积的一半。
(3) 求两个三角形的周长差：先分别写出两个三角形的周长表达式，观察发现两个三角形有公共边AE，且由中线性质可得BE=CE，两式相减后公共部分抵消，仅剩AC与AB的差，计算即可得结果。
【解析】
(1)
∵ ∠CAB=90°，AD是△ABC的高，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24\ \mathrm{cm}^2$，
又
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD$，
∴ $\frac{1}{2}×10· AD=24$，
解得 $AD=4.8\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}· BE· AD=\frac{1}{2}×5×4.8=12\ \mathrm{cm}^2$。
(3)
∵ AE是△ABC的中线，
∴ $BE=CE$，
$\begin{aligned}C_{△ ACE}-C_{△ ABE}&=(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)\\&=AC-AB\\&=8-6=2\ \mathrm{cm}\end{aligned}$
【答案】
(1) AD的长为4.8 cm；(2) △ABE的面积为12 cm²；(3) △ACE和△ABE的周长的差为2 cm。
【知识点】
等面积法应用，三角形中线的性质，三角形周长与面积计算
【点评】
本题是三角形相关性质的基础应用题，解题的核心是灵活运用三角形高和中线的性质简化计算，尤其是周长差的计算，通过抵消公共项可避免重复计算，是三角形部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
1.如图,在$△ ABC$中,$∠ 1=∠ 2$,G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上的一点,$CF⊥ AD$于点H.下列判断正确的是()
A.AD是$△ ABE$的角平分线
B.BE是$△ ABD$的边AD上的中线
C.AH为$△ ABC$的角平分线
D.CH为$△ ACD$的边AD上的高
A.AD是$△ ABE$的角平分线
B.BE是$△ ABD$的边AD上的中线
C.AH为$△ ABC$的角平分线
D.CH为$△ ACD$的边AD上的高
答案
D
解析
【分析】
本题考查三角形的角平分线、中线、高的定义，解题时先明确三类线段的定义：①三角形角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点和交点之间的线段；②三角形中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；③三角形的高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。再逐一对照选项判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：AD平分∠BAC（即∠BAE），但AD与△ABE的边BE交于点G，并未交BE于对边端点，因此AG才是△ABE的角平分线，AD不符合要求，A错误；
B选项：已知G是AD的中点，因此BG是△ABD的边AD上的中线，BE的端点E在AC上，不是AD的中点，不符合中线定义，B错误；
C选项：AD平分∠BAC，是△ABC的角平分线，AH是AD上的一段，其端点H在CF上，不在△ABC的边BC上，因此AH不是△ABC的角平分线，C错误；
D选项：由CF⊥AD于H可知，CH是从△ACD的顶点C向对边AD作的垂线段，符合三角形高的定义，因此CH为△ACD的边AD上的高，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是准确掌握三角形三类重要线段的定义，注意区分各类线段的端点位置和满足的条件，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形的角平分线、中线、高的定义，解题时先明确三类线段的定义：①三角形角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，角的顶点和交点之间的线段；②三角形中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；③三角形的高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段。再逐一对照选项判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：AD平分∠BAC（即∠BAE），但AD与△ABE的边BE交于点G，并未交BE于对边端点，因此AG才是△ABE的角平分线，AD不符合要求，A错误；
B选项：已知G是AD的中点，因此BG是△ABD的边AD上的中线，BE的端点E在AC上，不是AD的中点，不符合中线定义，B错误；
C选项：AD平分∠BAC，是△ABC的角平分线，AH是AD上的一段，其端点H在CF上，不在△ABC的边BC上，因此AH不是△ABC的角平分线，C错误；
D选项：由CF⊥AD于H可知，CH是从△ACD的顶点C向对边AD作的垂线段，符合三角形高的定义，因此CH为△ACD的边AD上的高，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是准确掌握三角形三类重要线段的定义，注意区分各类线段的端点位置和满足的条件，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.7
2. $AD$，$AE$，$AF$分别是$△ ABC$的高、角平分线和中线，则下列说法中，错误的是()
A.$BF=CF$
B.$∠ ACB + ∠ CAE = 90°$
C.$AD ≤ AE$
D.$S_{△ ABC} = 2S_{△ ABF}$
A.$BF=CF$
B.$∠ ACB + ∠ CAE = 90°$
C.$AD ≤ AE$
D.$S_{△ ABC} = 2S_{△ ABF}$
答案
B
解析
【分析】
解题时需先明确三角形的高、角平分线、中线的定义与性质，再逐一验证每个选项的正误：①中线是连接三角形顶点与对边中点的线段，平分对边，且将三角形分为面积相等的两部分；②角平分线是平分三角形内角的线段；③高是三角形顶点到对边的垂线段，垂线段是点到直线的最短距离。结合以上性质对四个选项依次判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 因为AF是△ABC的中线，所以F是BC的中点，可得BF=CF，该选项说法正确，不符合题意；
B. 因为AE是△ABC的角平分线，所以∠CAE=½∠BAC，根据三角形内角和为180°，只有当∠B=90°时才有∠ACB+∠BAC=90°，即∠ACB+2∠CAE=90°，一般三角形中∠ACB+∠CAE≠90°，该选项说法错误，符合题意；
C. AD是△ABC的高，即AD是点A到直线BC的垂线段，AE是点A到直线BC的斜线段（仅当AB=AC时AD与AE重合），根据垂线段最短，可得AD≤AE，该选项说法正确，不符合题意；
D. 由AF是中线得BF=CF，△ABF和△ACF等底同高，因此S△ABF=S△ACF，故S△ABC=S△ABF+S△ACF=2S△ABF，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质；三角形角平分线性质；垂线段最短
【点评】
本题考查三角形三类重要线段的基础性质，解题的关键是准确理解各线段的定义和相关结论，采用逐一排查的方法即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确三角形的高、角平分线、中线的定义与性质，再逐一验证每个选项的正误：①中线是连接三角形顶点与对边中点的线段，平分对边，且将三角形分为面积相等的两部分；②角平分线是平分三角形内角的线段；③高是三角形顶点到对边的垂线段，垂线段是点到直线的最短距离。结合以上性质对四个选项依次判断即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 因为AF是△ABC的中线，所以F是BC的中点，可得BF=CF，该选项说法正确，不符合题意；
B. 因为AE是△ABC的角平分线，所以∠CAE=½∠BAC，根据三角形内角和为180°，只有当∠B=90°时才有∠ACB+∠BAC=90°，即∠ACB+2∠CAE=90°，一般三角形中∠ACB+∠CAE≠90°，该选项说法错误，符合题意；
C. AD是△ABC的高，即AD是点A到直线BC的垂线段，AE是点A到直线BC的斜线段（仅当AB=AC时AD与AE重合），根据垂线段最短，可得AD≤AE，该选项说法正确，不符合题意；
D. 由AF是中线得BF=CF，△ABF和△ACF等底同高，因此S△ABF=S△ACF，故S△ABC=S△ABF+S△ACF=2S△ABF，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质；三角形角平分线性质；垂线段最短
【点评】
本题考查三角形三类重要线段的基础性质，解题的关键是准确理解各线段的定义和相关结论，采用逐一排查的方法即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
