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例1 如图，CD为$△ ABC$的AB边上的中线，$△ BCD$的周长比$△ ACD$的周长大3 cm，$BC=8$ cm，求边AC的长。
【思路导析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①$AD = BD$；②$△ BCD$的周长比$△ ACD$的周长大3 cm。
【请你解答】
【思路导析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①$AD = BD$；②$△ BCD$的周长比$△ ACD$的周长大3 cm。
【请你解答】
答案
解：
∵ CD是△ABC的AB边上的中线，
∴ AD = BD。
∵ △BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
∴ (BC + BD + CD) - (AC + AD + CD) = 3 cm，
化简得：BC - AC = 3 cm。
∵ BC = 8 cm，
∴ AC = BC - 3 = 8 - 3 = 5 cm。
答：边AC的长为5 cm。
∵ CD是△ABC的AB边上的中线，
∴ AD = BD。
∵ △BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
∴ (BC + BD + CD) - (AC + AD + CD) = 3 cm，
化简得：BC - AC = 3 cm。
∵ BC = 8 cm，
∴ AC = BC - 3 = 8 - 3 = 5 cm。
答：边AC的长为5 cm。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“CD为△ABC的AB边上的中线”出发，根据三角形中线的定义可得AD=BD；接下来分析两个三角形的周长差，△BCD的周长为BC+BD+CD，△ACD的周长为AC+AD+CD，两个周长相减时，CD是公共边，AD和BD相等，因此消去相等的量后可得到BC与AC的差为3cm，最后结合已知BC的长度，即可求出AC的长。
【解析】
∵ CD是△ABC的AB边上的中线，
∴ AD = BD。
∵ △BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
∴ (BC + BD + CD) - (AC + AD + CD) = 3 cm，
化简得：BC - AC = 3 cm。
∵ BC = 8 cm，
∴ AC = BC - 3 = 8 - 3 = 5 cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
三角形中线的性质；周长的计算；整式的化简
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查三角形中线性质的应用，解题的突破口是通过两个三角形的周长作差，消去相等的线段，直接得到未知边和已知边的数量关系，无需额外做辅助线，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“CD为△ABC的AB边上的中线”出发，根据三角形中线的定义可得AD=BD；接下来分析两个三角形的周长差，△BCD的周长为BC+BD+CD，△ACD的周长为AC+AD+CD，两个周长相减时，CD是公共边，AD和BD相等，因此消去相等的量后可得到BC与AC的差为3cm，最后结合已知BC的长度，即可求出AC的长。
【解析】
∵ CD是△ABC的AB边上的中线，
∴ AD = BD。
∵ △BCD的周长比△ACD的周长大3 cm，
∴ (BC + BD + CD) - (AC + AD + CD) = 3 cm，
化简得：BC - AC = 3 cm。
∵ BC = 8 cm，
∴ AC = BC - 3 = 8 - 3 = 5 cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
三角形中线的性质；周长的计算；整式的化简
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查三角形中线性质的应用，解题的突破口是通过两个三角形的周长作差，消去相等的线段，直接得到未知边和已知边的数量关系，无需额外做辅助线，难度较低。
【难度系数】
0.8
例2 如图所示的网格是由边长相同的小正方形组成的，点$A,B,C,D,E,F,G$在小正方形的顶点上，其中是$△ ABC$的重心的点是()
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
【思路导析】重心是三角形三条中线的交点.
由题图可知，直线$CD$经过$△ ABC$的$AB$边上的中点，直线$AD$经过$△ ABC$的$BC$边上的中点，所以$CD$与$AD$的交点$D$是$△ ABC$的重心.
【请你解答】
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
【思路导析】重心是三角形三条中线的交点.
由题图可知，直线$CD$经过$△ ABC$的$AB$边上的中点，直线$AD$经过$△ ABC$的$BC$边上的中点，所以$CD$与$AD$的交点$D$是$△ ABC$的重心.
【请你解答】
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，由于三角形两条中线的交点必然在第三条中线上，因此只需找到△ABC两条中线的公共交点即可确定重心。我们先结合网格特征找到△ABC各边的中点，再判断哪一个点是两条中线的交点，该点即为所求重心。
【解析】
根据三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
1. 观察网格确定AB边的中点，连接点C与AB边的中点，可得AB边上的中线，该中线经过点D；
2. 再观察网格确定BC边的中点，连接点A与BC边的中点，可得BC边上的中线，该中线也经过点D；
因此点D是△ABC两条中线的交点，即△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形重心的定义
2.三角形中线的定义
【点评】
本题考查三角形重心的识别，解题关键是牢记重心是三角形三条中线的交点，结合网格特征找到中线的交点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，由于三角形两条中线的交点必然在第三条中线上，因此只需找到△ABC两条中线的公共交点即可确定重心。我们先结合网格特征找到△ABC各边的中点，再判断哪一个点是两条中线的交点，该点即为所求重心。
【解析】
根据三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
1. 观察网格确定AB边的中点，连接点C与AB边的中点，可得AB边上的中线，该中线经过点D；
2. 再观察网格确定BC边的中点，连接点A与BC边的中点，可得BC边上的中线，该中线也经过点D；
因此点D是△ABC两条中线的交点，即△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形重心的定义
2.三角形中线的定义
【点评】
本题考查三角形重心的识别，解题关键是牢记重心是三角形三条中线的交点，结合网格特征找到中线的交点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
例3 如图，$AD ⊥ BD$，$AE$ 平分$∠ BAC$，$∠ B=30°$，$∠ ACD=70°$，求$∠ AED$的度数.
【思路导析】由垂直的定义可知$∠ ADC=90°$.故$∠ AED=90° - ∠ DAE$.在三角形中根据角之间的关系可求$∠ DAE$的度数，从而可求$∠ AED$的度数.
【请你解答】
【思路导析】由垂直的定义可知$∠ ADC=90°$.故$∠ AED=90° - ∠ DAE$.在三角形中根据角之间的关系可求$∠ DAE$的度数，从而可求$∠ AED$的度数.
【请你解答】
答案
解：
∵ AD⊥BD，
∴ ∠D = 90°。
在Rt△ADC中，∠ACD = 70°，
∴ ∠DAC = 90° - ∠ACD = 90° - 70° = 20°。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠B + ∠BAC，
∴ ∠BAC = ∠ACD - ∠B = 70° - 30° = 40°。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 20° + 20° = 40°。
在Rt△ADE中，∠AED = 90° - ∠DAE = 90° - 40° = 50°。
∵ AD⊥BD，
∴ ∠D = 90°。
在Rt△ADC中，∠ACD = 70°，
∴ ∠DAC = 90° - ∠ACD = 90° - 70° = 20°。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠B + ∠BAC，
∴ ∠BAC = ∠ACD - ∠B = 70° - 30° = 40°。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 20° + 20° = 40°。
在Rt△ADE中，∠AED = 90° - ∠DAE = 90° - 40° = 50°。
解析
【分析】
要求∠AED的度数，已知AD⊥BD，可得△ADE是直角三角形，因此只需先求出∠DAE的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可算出∠AED。求∠DAE时，可拆分为∠DAC与∠CAE的和：①在Rt△ADC中，已知∠ACD的度数，可直接算出∠DAC；②∠CAE是∠BAC的一半，因此需要先求∠BAC，利用三角形外角的性质，∠ACD是△ABC的外角，等于∠B与∠BAC的和，结合已知∠B和∠ACD的度数即可求出∠BAC，再根据角平分线的定义得到∠CAE的度数，最后将∠DAC和∠CAE相加得到∠DAE，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ AD⊥BD，
∴ ∠D = 90°。
在Rt△ADC中，∠ACD = 70°，
∴ ∠DAC = 90° - ∠ACD = 90° - 70° = 20°。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠B + ∠BAC，
∴ ∠BAC = ∠ACD - ∠B = 70° - 30° = 40°。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 20° + 20° = 40°。
在Rt△ADE中，∠AED = 90° - ∠DAE = 90° - 40° = 50°。
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形外角性质；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题时需要先明确所求角与已知角的关联，通过角的拆分、外角性质、角平分线的性质逐步推导未知角的度数，理清角之间的和差关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要求∠AED的度数，已知AD⊥BD，可得△ADE是直角三角形，因此只需先求出∠DAE的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可算出∠AED。求∠DAE时，可拆分为∠DAC与∠CAE的和：①在Rt△ADC中，已知∠ACD的度数，可直接算出∠DAC；②∠CAE是∠BAC的一半，因此需要先求∠BAC，利用三角形外角的性质，∠ACD是△ABC的外角，等于∠B与∠BAC的和，结合已知∠B和∠ACD的度数即可求出∠BAC，再根据角平分线的定义得到∠CAE的度数，最后将∠DAC和∠CAE相加得到∠DAE，代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ AD⊥BD，
∴ ∠D = 90°。
在Rt△ADC中，∠ACD = 70°，
∴ ∠DAC = 90° - ∠ACD = 90° - 70° = 20°。
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠B + ∠BAC，
∴ ∠BAC = ∠ACD - ∠B = 70° - 30° = 40°。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 20° + 20° = 40°。
在Rt△ADE中，∠AED = 90° - ∠DAE = 90° - 40° = 50°。
【答案】
$50°$
【知识点】
三角形外角性质；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题时需要先明确所求角与已知角的关联，通过角的拆分、外角性质、角平分线的性质逐步推导未知角的度数，理清角之间的和差关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
