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11.用一条长为25 cm的绳子围成一个等腰三角形.
(1)若其中一边比另一边长2 cm,则三角形的各边长分别是;
(2)能围成有一边长是6 cm的等腰三角形吗？请说明理由；
(3)求等腰三角形腰长的取值范围.
(1)若其中一边比另一边长2 cm,则三角形的各边长分别是;
(2)能围成有一边长是6 cm的等腰三角形吗？请说明理由；
(3)求等腰三角形腰长的取值范围.
答案
解：
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长比底边长2 cm时，设底边长为$x$ cm，则腰长为$(x+2)$ cm。
由题意得：$2(x+2) + x = 25$
解得$x=7$，腰长为$7+2=9$ cm。
此时三边长为9 cm，9 cm，7 cm，满足三角形三边关系。
② 当底边长比腰长2 cm时，设腰长为$x$ cm，则底边长为$(x+2)$ cm。
由题意得：$2x + (x+2) = 25$
解得$x=\frac{23}{3}$，底边长为$\frac{23}{3} + 2 = \frac{29}{3}$ cm。
此时三边长为$\frac{23}{3}$ cm，$\frac{23}{3}$ cm，$\frac{29}{3}$ cm，满足三角形三边关系。
所以三角形的各边长分别是$\boldsymbol{9\ \mathrm{cm},9\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{\frac{23}{3}\ \mathrm{cm},\frac{23}{3}\ \mathrm{cm},\frac{29}{3}\ \mathrm{cm}}$。
(2) 能围成，理由如下：
分两种情况讨论：
① 若6 cm为等腰三角形的底边长，则腰长为$\frac{25-6}{2}=9.5$ cm。
此时三边长分别为6 cm，9.5 cm，9.5 cm，满足$9.5+6＞9.5$，符合三角形三边关系，可以构成三角形。
② 若6 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为$25-6×2=13$ cm。
此时三边长分别为6 cm，6 cm，13 cm，$6+6=12＜13$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形。
综上，可以围成底边长为6 cm的等腰三角形。
(3) 设等腰三角形的腰长为$x$ cm，则底边长为$(25-2x)$ cm。
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}2x ＞ 25 - 2x \\25 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式得：$x＞\frac{25}{4}$，
解第二个不等式得：$x＜\frac{25}{2}$。
所以等腰三角形腰长的取值范围是$\frac{25}{4}\ \mathrm{cm} ＜ x ＜ \frac{25}{2}\ \mathrm{cm}$。
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长比底边长2 cm时，设底边长为$x$ cm，则腰长为$(x+2)$ cm。
由题意得：$2(x+2) + x = 25$
解得$x=7$，腰长为$7+2=9$ cm。
此时三边长为9 cm，9 cm，7 cm，满足三角形三边关系。
② 当底边长比腰长2 cm时，设腰长为$x$ cm，则底边长为$(x+2)$ cm。
由题意得：$2x + (x+2) = 25$
解得$x=\frac{23}{3}$，底边长为$\frac{23}{3} + 2 = \frac{29}{3}$ cm。
此时三边长为$\frac{23}{3}$ cm，$\frac{23}{3}$ cm，$\frac{29}{3}$ cm，满足三角形三边关系。
所以三角形的各边长分别是$\boldsymbol{9\ \mathrm{cm},9\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{\frac{23}{3}\ \mathrm{cm},\frac{23}{3}\ \mathrm{cm},\frac{29}{3}\ \mathrm{cm}}$。
(2) 能围成，理由如下：
分两种情况讨论：
① 若6 cm为等腰三角形的底边长，则腰长为$\frac{25-6}{2}=9.5$ cm。
此时三边长分别为6 cm，9.5 cm，9.5 cm，满足$9.5+6＞9.5$，符合三角形三边关系，可以构成三角形。
② 若6 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为$25-6×2=13$ cm。
此时三边长分别为6 cm，6 cm，13 cm，$6+6=12＜13$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形。
综上，可以围成底边长为6 cm的等腰三角形。
(3) 设等腰三角形的腰长为$x$ cm，则底边长为$(25-2x)$ cm。
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}2x ＞ 25 - 2x \\25 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式得：$x＞\frac{25}{4}$，
解第二个不等式得：$x＜\frac{25}{2}$。
所以等腰三角形腰长的取值范围是$\frac{25}{4}\ \mathrm{cm} ＜ x ＜ \frac{25}{2}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形的周长设置问题，核心解题思路是结合分类讨论思想与三角形三边关系分析求解：
1. 第(1)问未明确“较长边是腰还是底”，需分“腰比底长2cm”“底比腰长2cm”两种情况，分别设未知数列方程求解，求出边长后必须验证是否满足三角形两边之和大于第三边，排除不符合的情况。
2. 第(2)问未明确6cm的边是腰还是底，同样分两种情况计算剩余边长，再用三边关系判断能否构成三角形即可。
3. 第(3)问设腰长为未知数，用周长表示底边长，再根据“两腰之和大于底边长”“底边长大于0”两个限制条件列不等式组，求解即可得到腰长的取值范围。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长比底边长2 cm时，设底边长为$x$ cm，则腰长为$(x+2)$ cm。
由周长为25cm可得：$2(x+2) + x = 25$
解得$x=7$，腰长为$7+2=9$ cm。
此时三边长为9 cm，9 cm，7 cm，满足$9+7＞9$，符合三角形三边关系。
② 当底边长比腰长2 cm时，设腰长为$x$ cm，则底边长为$(x+2)$ cm。
由题意得：$2x + (x+2) = 25$
解得$x=\frac{23}{3}$，底边长为$\frac{23}{3} + 2 = \frac{29}{3}$ cm。
此时三边长为$\frac{23}{3}$ cm，$\frac{23}{3}$ cm，$\frac{29}{3}$ cm，满足$\frac{23}{3}+\frac{23}{3}＞\frac{29}{3}$，符合三角形三边关系。
(2) 能围成，理由如下：
分两种情况讨论：
① 若6 cm为等腰三角形的底边长，则腰长为$\frac{25-6}{2}=9.5$ cm。
此时三边长分别为6 cm，9.5 cm，9.5 cm，满足$9.5+6＞9.5$，符合三角形三边关系，可以构成三角形。
② 若6 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为$25-6×2=13$ cm。
此时三边长分别为6 cm，6 cm，13 cm，$6+6=12＜13$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形。
综上，可以围成底边长为6 cm的等腰三角形。
(3) 设等腰三角形的腰长为$x$ cm，则底边长为$(25-2x)$ cm。
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}2x ＞ 25 - 2x \\25 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$4x＞25$，得$x＞\frac{25}{4}$，
解第二个不等式：$2x＜25$，得$x＜\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9\ \mathrm{cm},9\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{\frac{23}{3}\ \mathrm{cm},\frac{23}{3}\ \mathrm{cm},\frac{29}{3}\ \mathrm{cm}}$
(2) 能围成底边长为6 cm的等腰三角形
(3) $\boldsymbol{\frac{25}{4}\ \mathrm{cm} ＜ x ＜ \frac{25}{2}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 三角形三边关系
3. 不等式组应用
【点评】
本题重点考察分类讨论的数学思想，解决等腰三角形边长相关问题时，若未明确给出腰和底的对应条件，必须分情况讨论，且每一种情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
本题围绕等腰三角形的周长设置问题，核心解题思路是结合分类讨论思想与三角形三边关系分析求解：
1. 第(1)问未明确“较长边是腰还是底”，需分“腰比底长2cm”“底比腰长2cm”两种情况，分别设未知数列方程求解，求出边长后必须验证是否满足三角形两边之和大于第三边，排除不符合的情况。
2. 第(2)问未明确6cm的边是腰还是底，同样分两种情况计算剩余边长，再用三边关系判断能否构成三角形即可。
3. 第(3)问设腰长为未知数，用周长表示底边长，再根据“两腰之和大于底边长”“底边长大于0”两个限制条件列不等式组，求解即可得到腰长的取值范围。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当腰长比底边长2 cm时，设底边长为$x$ cm，则腰长为$(x+2)$ cm。
由周长为25cm可得：$2(x+2) + x = 25$
解得$x=7$，腰长为$7+2=9$ cm。
此时三边长为9 cm，9 cm，7 cm，满足$9+7＞9$，符合三角形三边关系。
② 当底边长比腰长2 cm时，设腰长为$x$ cm，则底边长为$(x+2)$ cm。
由题意得：$2x + (x+2) = 25$
解得$x=\frac{23}{3}$，底边长为$\frac{23}{3} + 2 = \frac{29}{3}$ cm。
此时三边长为$\frac{23}{3}$ cm，$\frac{23}{3}$ cm，$\frac{29}{3}$ cm，满足$\frac{23}{3}+\frac{23}{3}＞\frac{29}{3}$，符合三角形三边关系。
(2) 能围成，理由如下：
分两种情况讨论：
① 若6 cm为等腰三角形的底边长，则腰长为$\frac{25-6}{2}=9.5$ cm。
此时三边长分别为6 cm，9.5 cm，9.5 cm，满足$9.5+6＞9.5$，符合三角形三边关系，可以构成三角形。
② 若6 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为$25-6×2=13$ cm。
此时三边长分别为6 cm，6 cm，13 cm，$6+6=12＜13$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形。
综上，可以围成底边长为6 cm的等腰三角形。
(3) 设等腰三角形的腰长为$x$ cm，则底边长为$(25-2x)$ cm。
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}2x ＞ 25 - 2x \\25 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$4x＞25$，得$x＞\frac{25}{4}$，
解第二个不等式：$2x＜25$，得$x＜\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9\ \mathrm{cm},9\ \mathrm{cm},7\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{\frac{23}{3}\ \mathrm{cm},\frac{23}{3}\ \mathrm{cm},\frac{29}{3}\ \mathrm{cm}}$
(2) 能围成底边长为6 cm的等腰三角形
(3) $\boldsymbol{\frac{25}{4}\ \mathrm{cm} ＜ x ＜ \frac{25}{2}\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 三角形三边关系
3. 不等式组应用
【点评】
本题重点考察分类讨论的数学思想，解决等腰三角形边长相关问题时，若未明确给出腰和底的对应条件，必须分情况讨论，且每一种情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
12.已知$a,b,c$是三角形的三边长.
(1)化简:$|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|$;
(2)在(1)的条件下,若$a=5,b=4,c=3$,求这个式子的值.
(1)化简:$|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|$;
(2)在(1)的条件下,若$a=5,b=4,c=3$,求这个式子的值.
答案
解：
(1) ∵ a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴ b + c ＞ a，即$a - b - c ＜ 0$，
$a + c ＞ b$，即$b - c - a ＜ 0$，
$a + b ＞ c$，即$c - a - b ＜ 0$，
∴ 原式$= -(a - b - c) - (b - c - a) - (c - a - b)$
$= -a + b + c - b + c + a - c + a + b$
$= a + b + c$
(2) 当$a=5$，$b=4$，$c=3$时，
原式$= a + b + c = 5 + 4 + 3 = 12$
(1) ∵ a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴ b + c ＞ a，即$a - b - c ＜ 0$，
$a + c ＞ b$，即$b - c - a ＜ 0$，
$a + b ＞ c$，即$c - a - b ＜ 0$，
∴ 原式$= -(a - b - c) - (b - c - a) - (c - a - b)$
$= -a + b + c - b + c + a - c + a + b$
$= a + b + c$
(2) 当$a=5$，$b=4$，$c=3$时，
原式$= a + b + c = 5 + 4 + 3 = 12$
解析
【分析】
解决第(1)问的核心思路：首先明确绝对值化简的规则，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此首先要判断每个绝对值内式子的正负性。已知a、b、c是三角形三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可推出每个绝对值中“一边减另外两边之和”的结果均为负数，随后去绝对值符号合并同类项即可完成化简。第(2)问为代数式求值，直接将a、b、c的数值代入第(1)问化简后的结果计算即可。
【解析】
(1)
∵ a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴ $b + c ＞ a$，即$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$，
$a + c ＞ b$，即$b - c - a = b - (c + a) ＜ 0$，
$a + b ＞ c$，即$c - a - b = c - (a + b) ＜ 0$，
∴ 原式$= -(a - b - c) - (b - c - a) - (c - a - b)$
$= -a + b + c - b + c + a - c + a + b$
$= a + b + c$
(2) 当$a=5$，$b=4$，$c=3$时，
原式$= a + b + c = 5 + 4 + 3 = 12$
【答案】
(1) $a+b+c$；(2) $12$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质正确去符号化简，熟练掌握基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问的核心思路：首先明确绝对值化简的规则，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此首先要判断每个绝对值内式子的正负性。已知a、b、c是三角形三边长，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可推出每个绝对值中“一边减另外两边之和”的结果均为负数，随后去绝对值符号合并同类项即可完成化简。第(2)问为代数式求值，直接将a、b、c的数值代入第(1)问化简后的结果计算即可。
【解析】
(1)
∵ a，b，c是三角形的三边长，
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴ $b + c ＞ a$，即$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$，
$a + c ＞ b$，即$b - c - a = b - (c + a) ＜ 0$，
$a + b ＞ c$，即$c - a - b = c - (a + b) ＜ 0$，
∴ 原式$= -(a - b - c) - (b - c - a) - (c - a - b)$
$= -a + b + c - b + c + a - c + a + b$
$= a + b + c$
(2) 当$a=5$，$b=4$，$c=3$时，
原式$= a + b + c = 5 + 4 + 3 = 12$
【答案】
(1) $a+b+c$；(2) $12$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是结合三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质正确去符号化简，熟练掌握基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
13.已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长.
(1)$b,c$满足$(b-2)^2 + |c-3|=0$，且$a$为方程$|a-4|=2$的解，求该三角形的周长；
(2)若$a=5,b=2$，且$c$为整数，求$△ ABC$的周长的最大值和最小值.
(1)$b,c$满足$(b-2)^2 + |c-3|=0$，且$a$为方程$|a-4|=2$的解，求该三角形的周长；
(2)若$a=5,b=2$，且$c$为整数，求$△ ABC$的周长的最大值和最小值.
答案
解：
(1) 因为$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$(b-2)^2+|c-3|=0$，
所以$b-2=0$，$c-3=0$，
解得$b=2$，$c=3$。
由$|a-4|=2$，得$a-4=2$或$a-4=-2$，
解得$a=6$或$a=2$。
当$a=6$时，$2+3＜6$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
当$a=2$时，$2+2＞3$，符合三角形三边关系。
所以该三角形的周长为$2+2+3=7$。
(2) 根据三角形三边关系，得$a-b ＜ c ＜ a+b$，
将$a=5$，$b=2$代入，得$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜7$。
因为$c$为整数，所以$c$的可能取值为4，5，6。
当$c=4$时，$△ ABC$的周长最小，最小值为$5+2+4=11$；
当$c=6$时，$△ ABC$的周长最大，最大值为$5+2+6=13$。
(1) 因为$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$(b-2)^2+|c-3|=0$，
所以$b-2=0$，$c-3=0$，
解得$b=2$，$c=3$。
由$|a-4|=2$，得$a-4=2$或$a-4=-2$，
解得$a=6$或$a=2$。
当$a=6$时，$2+3＜6$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
当$a=2$时，$2+2＞3$，符合三角形三边关系。
所以该三角形的周长为$2+2+3=7$。
(2) 根据三角形三边关系，得$a-b ＜ c ＜ a+b$，
将$a=5$，$b=2$代入，得$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜7$。
因为$c$为整数，所以$c$的可能取值为4，5，6。
当$c=4$时，$△ ABC$的周长最小，最小值为$5+2+4=11$；
当$c=6$时，$△ ABC$的周长最大，最大值为$5+2+6=13$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可先求出b、c的值；再解绝对值方程得到a的两个可能取值；最后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”筛选出符合条件的a值，代入计算周长即可。
(2) 已知三角形的两边长，根据三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求出c的取值范围，再结合c为整数的条件确定c的最大、最小取值，分别代入计算周长即可得到最大值和最小值。
【解析】
(1)
∵$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$(b-2)^2 + |c-3|=0$，
∴$b-2=0$，$c-3=0$，
解得$b=2$，$c=3$。
由$|a-4|=2$，可得$a-4=2$或$a-4=-2$，
解得$a=6$或$a=2$。
当$a=6$时，$2+3=5＜6$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故舍去；
当$a=2$时，$2+2=4＞3$，符合三角形三边关系。
∴该三角形的周长为$2+2+3=7$。
(2) 根据三角形三边关系可得：$a-b ＜ c ＜ a+b$，
将$a=5$，$b=2$代入得：$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜7$。
∵c为整数，
∴c的可能取值为4、5、6。
当$c=4$时，△ABC的周长最小，最小值为$5+2+4=11$；
当$c=6$时，△ABC的周长最大，最大值为$5+2+6=13$。
【答案】
(1) 三角形的周长为7；
(2) △ABC周长的最大值为13，最小值为11。
【知识点】
非负数的性质，绝对值方程求解，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形边长相关的基础题型，综合考查了非负数的性质、绝对值的运算以及三角形三边关系的应用，解题时要注意求出未知边长后需验证是否满足三边构成条件，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可先求出b、c的值；再解绝对值方程得到a的两个可能取值；最后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”筛选出符合条件的a值，代入计算周长即可。
(2) 已知三角形的两边长，根据三角形三边关系“任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”求出c的取值范围，再结合c为整数的条件确定c的最大、最小取值，分别代入计算周长即可得到最大值和最小值。
【解析】
(1)
∵$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$(b-2)^2 + |c-3|=0$，
∴$b-2=0$，$c-3=0$，
解得$b=2$，$c=3$。
由$|a-4|=2$，可得$a-4=2$或$a-4=-2$，
解得$a=6$或$a=2$。
当$a=6$时，$2+3=5＜6$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故舍去；
当$a=2$时，$2+2=4＞3$，符合三角形三边关系。
∴该三角形的周长为$2+2+3=7$。
(2) 根据三角形三边关系可得：$a-b ＜ c ＜ a+b$，
将$a=5$，$b=2$代入得：$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜7$。
∵c为整数，
∴c的可能取值为4、5、6。
当$c=4$时，△ABC的周长最小，最小值为$5+2+4=11$；
当$c=6$时，△ABC的周长最大，最大值为$5+2+6=13$。
【答案】
(1) 三角形的周长为7；
(2) △ABC周长的最大值为13，最小值为11。
【知识点】
非负数的性质，绝对值方程求解，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形边长相关的基础题型，综合考查了非负数的性质、绝对值的运算以及三角形三边关系的应用，解题时要注意求出未知边长后需验证是否满足三边构成条件，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.8
14.(1)如图1，设$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，求证：$a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$。
(2)如图2，设四边形ABCD的四边$BA,AD,DC,CB$的长依次为$a,b,c,d$，两条对角线$AC,BD$的长分别为$e,f$，求证：$e+f＞\frac{1}{2}(a+b+c+d)$。
(2)如图2，设四边形ABCD的四边$BA,AD,DC,CB$的长依次为$a,b,c,d$，两条对角线$AC,BD$的长分别为$e,f$，求证：$e+f＞\frac{1}{2}(a+b+c+d)$。
答案
证明：
(1) 在$△ ABC$中，由三角形三边关系可得：
$b + c ＞ a$，
不等式两边同时加$a$，得 $a + b + c ＞ 2a$，
两边同除以2，得 $a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$。
(2) 设对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
在$△ AOB$中，$OA + OB ＞ a$，
在$△ BOC$中，$OB + OC ＞ d$，
在$△ COD$中，$OC + OD ＞ c$，
在$△ DOA$中，$OD + OA ＞ b$，
将上述四个不等式左右两边分别相加，得：
$2OA + 2OB + 2OC + 2OD ＞ a + b + c + d$，
整理左边得 $2(OA + OC + OB + OD) ＞ a + b + c + d$，
$\because OA + OC = e$，$OB + OD = f$，
$\therefore 2(e + f) ＞ a + b + c + d$，
两边同除以2，得 $e+f＞\frac{1}{2}(a+b+c+d)$。
(1) 在$△ ABC$中，由三角形三边关系可得：
$b + c ＞ a$，
不等式两边同时加$a$，得 $a + b + c ＞ 2a$，
两边同除以2，得 $a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$。
(2) 设对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
在$△ AOB$中，$OA + OB ＞ a$，
在$△ BOC$中，$OB + OC ＞ d$，
在$△ COD$中，$OC + OD ＞ c$，
在$△ DOA$中，$OD + OA ＞ b$，
将上述四个不等式左右两边分别相加，得：
$2OA + 2OB + 2OC + 2OD ＞ a + b + c + d$，
整理左边得 $2(OA + OC + OB + OD) ＞ a + b + c + d$，
$\because OA + OC = e$，$OB + OD = f$，
$\therefore 2(e + f) ＞ a + b + c + d$，
两边同除以2，得 $e+f＞\frac{1}{2}(a+b+c+d)$。
解析
【分析】
(1) 要证明$a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$，可先将不等式变形为$2a ＜ a+b+c$，即需证$b+c ＞ a$，这恰好符合三角形三边关系，因此可从三角形三边关系出发，通过不等式变形推导结论。
(2) 要证明两条对角线的和大于四边和的一半，可利用四边形的对角线将四边形拆分为4个小三角形，对每个小三角形应用三边关系得到4个不等式，将不等式累加后，结合对角线的线段组成关系整理式子，最后通过不等式变形得到结论。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$b + c ＞ a$，
不等式两边同时加$a$，得 $a + b + c ＞ 2a$，
两边同时除以2，得 $a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$，原式得证。
(2) 设对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
在$△ AOB$中，由三角形三边关系得：$OA + OB ＞ a$，
在$△ BOC$中，由三角形三边关系得：$OB + OC ＞ d$，
在$△ COD$中，由三角形三边关系得：$OC + OD ＞ c$，
在$△ DOA$中，由三角形三边关系得：$OD + OA ＞ b$，
将上述四个不等式左右两边分别相加，得：
$2OA + 2OB + 2OC + 2OD ＞ a + b + c + d$，
整理左边得 $2(OA + OC + OB + OD) ＞ a + b + c + d$，
$\because OA + OC = e$，$OB + OD = f$，
$\therefore 2(e + f) ＞ a + b + c + d$，
两边同时除以2，得 $e+f＞\frac{1}{2}(a+b+c+d)$，原式得证。
【答案】
(1) $a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$成立；
(2) $e+f＞\frac{1}{2}(a+b+c+d)$成立。
【知识点】
三角形三边关系、不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，第一问直接考查单个三角形中三边关系与不等式变形的结合，第二问需要将四边形拆解为多个三角形，通过多个三边关系不等式的累加推导结论，解题的关键是准确拆解图形，正确进行不等式的变形与整理。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明$a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$，可先将不等式变形为$2a ＜ a+b+c$，即需证$b+c ＞ a$，这恰好符合三角形三边关系，因此可从三角形三边关系出发，通过不等式变形推导结论。
(2) 要证明两条对角线的和大于四边和的一半，可利用四边形的对角线将四边形拆分为4个小三角形，对每个小三角形应用三边关系得到4个不等式，将不等式累加后，结合对角线的线段组成关系整理式子，最后通过不等式变形得到结论。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$b + c ＞ a$，
不等式两边同时加$a$，得 $a + b + c ＞ 2a$，
两边同时除以2，得 $a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$，原式得证。
(2) 设对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
在$△ AOB$中，由三角形三边关系得：$OA + OB ＞ a$，
在$△ BOC$中，由三角形三边关系得：$OB + OC ＞ d$，
在$△ COD$中，由三角形三边关系得：$OC + OD ＞ c$，
在$△ DOA$中，由三角形三边关系得：$OD + OA ＞ b$，
将上述四个不等式左右两边分别相加，得：
$2OA + 2OB + 2OC + 2OD ＞ a + b + c + d$，
整理左边得 $2(OA + OC + OB + OD) ＞ a + b + c + d$，
$\because OA + OC = e$，$OB + OD = f$，
$\therefore 2(e + f) ＞ a + b + c + d$，
两边同时除以2，得 $e+f＞\frac{1}{2}(a+b+c+d)$，原式得证。
【答案】
(1) $a＜\frac{1}{2}(a+b+c)$成立；
(2) $e+f＞\frac{1}{2}(a+b+c+d)$成立。
【知识点】
三角形三边关系、不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，第一问直接考查单个三角形中三边关系与不等式变形的结合，第二问需要将四边形拆解为多个三角形，通过多个三边关系不等式的累加推导结论，解题的关键是准确拆解图形，正确进行不等式的变形与整理。
【难度系数】
0.8
