2 二元一次方程组的解法(第1课时)
课堂精要·梳理内容
1. 将方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入方程中，从而一个未知数，化二元一次方程组为。这种解方程组的方法称为代入消元法。
2. 代入消元法的基本思路是：通过，用“代入”的方法消去方程中的，使二元一次方程组转化为，求得这个未知数的值后，再求消去的未知数的值。

1. 另一个 消去 一元一次方程
2. 等量代换 一个未知数 一元一次方程

【分析】
这道题考查代入消元法的基础概念，解题时只需回忆教材中关于代入消元法的定义和基本思路的标准表述即可。第1问对应代入消元法的定义内容，第2问对应代入消元法的核心思路，都属于识记类考点，直接对应概念内容填写即可。
【解析】
1. 根据代入消元法的定义：将方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，因此三个空依次填写对应概念内容即可。
2. 代入消元法的基本思路是消元，通过等量代换，用“代入”的方法消去方程中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，求得这个未知数的值后，再回代求消去的未知数的值，因此三个空依次填写对应思路内容即可。
【答案】
1. 另一个；消去；一元一次方程
2. 等量代换；一个未知数；一元一次方程
【知识点】
1. 代入消元法的定义
2. 代入消元法的基本思路
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对代入消元法相关核心概念的掌握情况，是学习二元一次方程组解法的入门知识点，熟练掌握概念是后续用代入法解二元一次方程组的前提。
【难度系数】
0.9

1. 已知二元一次方程$2x - 7y = 5$，用含$x$的代数式表示$y$，正确的是（）。

1. B

【分析】
本题要求用含x的代数式表示y，解题核心是将x看作已知数，把原方程看作关于y的一元一次方程求解即可。思考步骤如下：①先通过移项，把含y的项单独放在等号一侧，其余项移到另一侧；②再通过系数化为1，把y的系数变为1，就能得到所求的表达式，过程中要注意移项要变号，避免符号错误。
【解析】
已知方程$2x - 7y = 5$，
第一步：移项，将含$x$的项移到等号右侧，得$-7y = 5 - 2x$；
第二步：等式两边同时乘以$-1$，得$7y = 2x - 5$；
第三步：系数化为1，等式两边同时除以7，得$y = \frac{2x - 5}{7}$。
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程变形、移项法则、系数化为1
【点评】
本题是二元一次方程变形的基础题型，重点考察对方程变形规则的掌握，解题时只需将待表示的未知数作为唯一未知量，另一个未知数当作常数，按照解一元一次方程的步骤求解即可，易错点是移项时符号处理不当。
【难度系数】
0.8

2. 用代入消元法解方程组$\begin{cases}y=2x-3①, \\ 3x+2y=8②\end{cases}$时，将方程①代入方程②中，得到的方程是（ ）。

A.$3x+4x-3=0$
B.$3x+4x-6=8$
C.$3x+2x-3=8$
D.$3x+2x-6=8$

2. B

【分析】
本题考查代入消元法的基础应用，解题思路为：代入消元法的核心是用含一个未知数的式子替换另一个未知数，实现消元。本题中方程①已经给出y关于x的表达式，只需将方程②中的y替换为①里的(2x-3)，再按去括号法则展开化简即可得到对应方程，注意去括号时不要漏乘括号内的常数项。
【解析】
将方程①$y=2x-3$代入方程②$3x+2y=8$，把②中的$y$替换为$2x-3$，可得：
$3x+2(2x-3)=8$
根据去括号法则展开：括号前的因数2要乘括号内的每一项，即$2×2x=4x$，$2×(-3)=-6$，因此展开后为：
$3x+4x-6=8$
与选项B相符。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法；去括号法则
【点评】
本题是代入消元法的基础题型，主要考察代入替换的规则和去括号运算的准确性，易错点是去括号时漏乘括号内的常数项，运算时要注意细节。
【难度系数】
0.8

3. 用代入消元法解方程组$\begin{cases}x - 2y = 3, \\3x + 5y = 7\end{cases}$时，
最好先把方程________变形为________，再代入方程________中求出________的值，然后再求出________的值，最后写出方程组的解。

3. $x-2y=3$ $x=2y+3$ $3x+5y=7$
$y$ $x$

【分析】
要解决这道题，首先回忆代入消元法的核心思路：通过变形将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。选择变形的方程时，优先挑选未知数系数为±1的方程，这样变形时不用除以系数，不会出现分数，计算更简便。观察给定方程组，方程$x-2y=3$中$x$的系数是1，变形最方便，因此先对该方程变形，再代入另一个方程求解。
【解析】
代入消元法的操作步骤如下：
1. 选方程变形：观察方程组，$x-2y=3$中$x$的系数为1，无需做除法运算，因此先把方程$x-2y=3$移项变形为$x=2y+3$；
2. 代入消元：将变形得到的$x=2y+3$代入未变形的方程$3x+5y=7$中，此时方程仅含有未知数$y$，可先求出$y$的值；
3. 回代求另一个未知数：将求出的$y$的值代入$x=2y+3$中，即可求出$x$的值，最终得到方程组的解。
【答案】
$x-2y=3$；$x=2y+3$；$3x+5y=7$；$y$；$x$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组解法
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基本步骤，掌握“优先选择系数为±1的未知数所在方程变形”的技巧，能大幅简化计算、降低出错概率，是代入消元法的基础应用。
【难度系数】
0.8

4. 若$\begin{cases} x=1, \\ y=-2 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} ax+by=7, \\ ax-by=-1 \end{cases}$的解，
则$a=$，$b=$。

4. 3 -2

【分析】
首先根据二元一次方程组解的定义，方程组的解能使方程组中每个方程都成立，因此将$\begin{cases} x=1 \\ y=-2 \end{cases}$代入原方程组，即可得到关于a、b的二元一次方程组，再通过加减消元法求解这个新的方程组，就能得到a、b的值。
【解析】
∵$\begin{cases} x=1 \\ y=-2 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} ax+by=7 \\ ax-by=-1 \end{cases}$的解
∴将x、y的值代入原方程组，可得：
$\begin{cases} a×1 + b×(-2) =7 \\ a×1 - b×(-2) =-1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} a - 2b =7 \quad ① \\ a + 2b =-1 \quad ② \end{cases}$
用①+②消去b，得：
$a - 2b + a + 2b =7 + (-1)$
$2a =6$
解得$a=3$
将$a=3$代入①式，得：
$3 - 2b =7$
移项得：$-2b=7-3=4$
解得$b=-2$
【答案】
3；-2
【知识点】
二元一次方程组的解；加减消元法
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二元一次方程组解的概念的应用，以及解二元一次方程组的基本运算能力，熟练掌握消元法的解题思路是快速解答本题的关键。
【难度系数】
0.8

5. 用代入消元法解二元一次方程组：
(1) $\begin{cases} 2x + 3y = 16, \\ x + 4y = 13; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 7, \\ 2x + y = 14。 \end{cases}$

5. 解:(1)$\begin{cases} 2x+3y=16①, \\ x+4y=13②, \end{cases}$
由②,得$x=13-4y③$。
将③代入①,得$2(13-4y)+3y=16$,
即$-5y=-10$,解得$y=2$。
把$y=2$代入③,得$x=13-4×2=5$。
故原方程组的解为$\begin{cases} x=5, \\ y=2。 \end{cases}$
(2)原方程组可整理为$\begin{cases} 3x-2y=42①, \\ 2x+y=14②, \end{cases}$
由②,得$y=14-2x③$。
将③代入①,得$3x-2(14-2x)=42$,
即$7x=70$,解得$x=10$。
把$x=10$代入③,得$y=-6$。
故原方程组的解为$\begin{cases} x=10, \\ y=-6。 \end{cases}$

【分析】
用代入消元法解二元一次方程组的核心是将“二元”转化为“一元”求解。解题时首先观察方程组中未知数的系数，优先选择系数为1的未知数进行变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程得到一元一次方程，求解后回代得到另一个未知数的值，最终写出方程组的解。如果方程组中存在含分母的方程，先利用等式的性质去分母，整理为整数系数的标准二元一次方程组，再按代入消元的步骤计算即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases} 2x+3y=16①, \\ x+4y=13②, \end{cases}$
由②移项得$x=13-4y$③。
将③代入①，得$2(13-4y)+3y=16$，
展开计算得$26-8y+3y=16$，即$-5y=-10$，解得$y=2$。
把$y=2$代入③，得$x=13-4×2=5$。
(2) 先将原方程组去分母整理为整系数方程组：$\begin{cases} 3x-2y=42①, \\ 2x+y=14②, \end{cases}$
由②移项得$y=14-2x$③。
将③代入①，得$3x-2(14-2x)=42$，
展开计算得$3x-28+4x=42$，即$7x=70$，解得$x=10$。
把$x=10$代入③，得$y=14-2×10=-6$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=5, \\ y=2; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=10, \\ y=-6。 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，等式的性质
【点评】
本题是代入消元法的基础练习题，解题时优先对系数为1的未知数变形可简化计算，含分母的方程先化为整系数方程能减少计算失误，熟练掌握代入消元的基本步骤即可顺利作答。
【难度系数】
0.85

6. 以方程组$\begin{cases}y=-x+2, \\ y=x-1\end{cases}$的解为坐标的点$(x,y)$在平面直角坐标系中位于（ ）。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

6. A

【分析】
要解决本题，需分两步思考：首先求出二元一次方程组的解，得到对应点的横、纵坐标；再根据平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点所在的象限。具体解题逻辑：先利用代入消元法求解方程组得到x、y的取值，再通过x、y的正负对应象限特征匹配选项即可。
【解析】
解方程组$\begin{cases}y=-x+2 \quad ① \\ y=x-1 \quad ②\end{cases}$
令①②两式右边相等，可得：$-x+2=x-1$
移项合并同类项得：$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$
将$x=\frac{3}{2}$代入①式，得：$y=-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{3}{2} \\ y=\frac{1}{2}\end{cases}$
由$x＞0$，$y＞0$，结合第一象限内点的坐标（横、纵坐标均为正）的特征，可知该点位于第一象限。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的解法；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题是基础综合题，结合了二元一次方程组求解与点的位置判断两个考点，掌握消元法解方程组的步骤、熟记各象限坐标的符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9

7. 如果$3x^{2n-1}y^m$与$-5x^my^3$是同类项，那么m和n的值分别是（）。

A.$3,-2$
B.$-3,2$
C.$3,2$
D.$-3,-2$

7. C

【分析】
解题时首先回忆同类项的判定规则：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的两个单项式是同类项。我们可以根据这个规则，分别对应两个单项式中x、y的指数列等式：先通过y的指数相等直接求出m的值，再将m的值代入x的指数相等的关系式中，解一元一次方程求出n的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据同类项的定义，相同字母的指数分别相等，可列等式：
① 对y的指数：$m = 3$
② 对x的指数：$2n - 1 = m$
将$m=3$代入②式，得：
$2n - 1 = 3$
移项计算：$2n = 3 + 1 = 4$
解得：$n = 2$
因此$m=3$，$n=2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是同类项知识点的基础考察题型，解题关键是熟练掌握同类项的判定规则，根据指数相等的关系列等式求解，计算量小，掌握基础定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8