登录
8. 若$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$和$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$是二元一次方程$y=kx+b$的两个解，则$k,b$的值分别为（ ）。
A.$-3,4$
B.$3,-4$
C.$-3,-4$
D.$3,4$
A.$-3,4$
B.$3,-4$
C.$-3,-4$
D.$3,4$
答案
8. B
解析
【分析】
二元一次方程的解一定满足方程本身，因此可先将两组已知解分别代入方程$y=kx+b$，得到两个关于$k$、$b$的等式，联立为二元一次方程组后，用消元法求解方程组即可得到$k$、$b$的值。
【解析】
将$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$代入$y=kx+b$，可得：
$k + b = -1$ ①
将$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入$y=kx+b$，可得：
$2k + b = 2$ ②
用②式减去①式消去$b$：
$(2k + b)-(k + b) = 2 - (-1)$
化简得$k=3$
将$k=3$代入①式：
$3 + b = -1$，解得$b=-4$
因此$k=3$，$b=-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解的定义；加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，主要考查利用方程的解构造方程组求未知参数的能力，熟练掌握消元法解方程组即可快速解题。
【难度系数】
0.8
二元一次方程的解一定满足方程本身，因此可先将两组已知解分别代入方程$y=kx+b$，得到两个关于$k$、$b$的等式，联立为二元一次方程组后，用消元法求解方程组即可得到$k$、$b$的值。
【解析】
将$\begin{cases}x=1, \\ y=-1\end{cases}$代入$y=kx+b$，可得：
$k + b = -1$ ①
将$\begin{cases}x=2, \\ y=2\end{cases}$代入$y=kx+b$，可得：
$2k + b = 2$ ②
用②式减去①式消去$b$：
$(2k + b)-(k + b) = 2 - (-1)$
化简得$k=3$
将$k=3$代入①式：
$3 + b = -1$，解得$b=-4$
因此$k=3$，$b=-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解的定义；加减消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，主要考查利用方程的解构造方程组求未知参数的能力，熟练掌握消元法解方程组即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 已知方程组$\begin{cases}3x - y = 5, \\4x - 7y = 1\end{cases}$的解也是方程组$\begin{cases}ax - 2y = 4, \\3x - by = 5\end{cases}$的解，则$a=$ ______ ，$b=$ ______ ，$3a + 2b=$ ______ 。
答案
9. 3 1 11
解析
【分析】
本题考查同解二元一次方程组的求解，解题思路如下：首先明确同解方程组的解同时满足所有方程，因此先求解不含参数的第一个方程组，得到x、y的具体值；再将x、y代入含参数a、b的第二个方程组，即可分别求出a、b的取值；最后代入代数式3a+2b计算结果即可。
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以先求解方程组$\begin{cases}3x - y = 5 \quad① \\4x - 7y = 1 \quad② \end{cases}$：
由①式变形可得：$y = 3x - 5 \quad③$
将③代入②式，得：
$4x - 7(3x - 5) = 1$
展开计算：$4x - 21x + 35 = 1$
合并同类项：$-17x = -34$
解得：$x = 2$
将$x=2$代入③式，得：$y = 3×2 - 5 = 1$
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1 \end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax - 2y = 4 \\3x - by = 5 \end{cases}$，得：
$\begin{cases}2a - 2×1 = 4 \quad④ \\ 3×2 - b×1 =5 \quad⑤ \end{cases}$
解④式：$2a -2 =4 \implies 2a=6 \implies a=3$
解⑤式：$6 - b =5 \implies b=1$
计算$3a+2b$：$3×3 + 2×1 = 9 + 2 =11$
【答案】
3；1；11
【知识点】
二元一次方程组同解问题；代入消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题核心是理解同解方程组的概念，解题关键是先求出两个方程组的公共解，再代入含参数的方程求解参数，整体运算量不大，掌握二元一次方程组的基本解法即可作答。
【难度系数】
0.8
本题考查同解二元一次方程组的求解，解题思路如下：首先明确同解方程组的解同时满足所有方程，因此先求解不含参数的第一个方程组，得到x、y的具体值；再将x、y代入含参数a、b的第二个方程组，即可分别求出a、b的取值；最后代入代数式3a+2b计算结果即可。
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以先求解方程组$\begin{cases}3x - y = 5 \quad① \\4x - 7y = 1 \quad② \end{cases}$：
由①式变形可得：$y = 3x - 5 \quad③$
将③代入②式，得：
$4x - 7(3x - 5) = 1$
展开计算：$4x - 21x + 35 = 1$
合并同类项：$-17x = -34$
解得：$x = 2$
将$x=2$代入③式，得：$y = 3×2 - 5 = 1$
即两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1 \end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1 \end{cases}$代入$\begin{cases}ax - 2y = 4 \\3x - by = 5 \end{cases}$，得：
$\begin{cases}2a - 2×1 = 4 \quad④ \\ 3×2 - b×1 =5 \quad⑤ \end{cases}$
解④式：$2a -2 =4 \implies 2a=6 \implies a=3$
解⑤式：$6 - b =5 \implies b=1$
计算$3a+2b$：$3×3 + 2×1 = 9 + 2 =11$
【答案】
3；1；11
【知识点】
二元一次方程组同解问题；代入消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题核心是理解同解方程组的概念，解题关键是先求出两个方程组的公共解，再代入含参数的方程求解参数，整体运算量不大，掌握二元一次方程组的基本解法即可作答。
【难度系数】
0.8
10. 若a的两个平方根是方程$3x+2y=2$的一组解，则$a=$
4
。答案
10. 4
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，因此a的两个平方根作为方程的解，满足y=-x的关系。接下来将y=-x代入已知的二元一次方程，即可求出其中一个平方根的值，最后将平方根平方就能得到a的数值。
【解析】
解：
∵正数的两个平方根互为相反数，a的两个平方根是方程$3x+2y=2$的一组解
∴这组解满足$y = -x$
将$y = -x$代入$3x+2y=2$，得：
$3x + 2×(-x) = 2$
化简计算得：$x = 2$
∵a是平方根的平方
∴$a = x^2 = 2^2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
平方根的性质；二元一次方程的解；代入消元法
【点评】
本题属于基础综合题，将平方根的性质与二元一次方程的知识相结合，解题的突破口是掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，再通过代入法求解方程即可，主要考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，因此a的两个平方根作为方程的解，满足y=-x的关系。接下来将y=-x代入已知的二元一次方程，即可求出其中一个平方根的值，最后将平方根平方就能得到a的数值。
【解析】
解：
∵正数的两个平方根互为相反数，a的两个平方根是方程$3x+2y=2$的一组解
∴这组解满足$y = -x$
将$y = -x$代入$3x+2y=2$，得：
$3x + 2×(-x) = 2$
化简计算得：$x = 2$
∵a是平方根的平方
∴$a = x^2 = 2^2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
平方根的性质；二元一次方程的解；代入消元法
【点评】
本题属于基础综合题，将平方根的性质与二元一次方程的知识相结合，解题的突破口是掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，再通过代入法求解方程即可，主要考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 若二元一次方程组$\begin{cases}2x+3y=k-3, \\x-2y=2k+1\end{cases}$的解$x$与$y$互为相反数，求$k$的值。
答案
11. 解:将$x=-y$代入方程组，
得$\begin{cases} -2y+3y=k-3, \\ -y-2y=2k+1, \end{cases}$
即$\begin{cases} y=k-3①, \\ -3y=2k+1②。 \end{cases}$
将①代入②,得$k=\dfrac{8}{5}$。
得$\begin{cases} -2y+3y=k-3, \\ -y-2y=2k+1, \end{cases}$
即$\begin{cases} y=k-3①, \\ -3y=2k+1②。 \end{cases}$
将①代入②,得$k=\dfrac{8}{5}$。
解析
【分析】
解题的突破口是题干给出的“x与y互为相反数”这一条件，根据相反数的性质可得x=-y。我们可以将x=-y代入原二元一次方程组，把原方程组转化为只含有y和k的新方程组，再通过代入消元法消去y，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵ x与y互为相反数，
∴ x=-y。
将$x=-y$代入原方程组，得：
$\begin{cases} 2×(-y)+3y=k-3, \\-y-2y=2k+1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} y=k-3&①, \\-3y=2k+1&② \end{cases}$
将①代入②，得：$-3(k-3)=2k+1$
展开得：$-3k+9=2k+1$
移项、合并同类项得：$5k=8$
解得：$k=\dfrac{8}{5}$
【答案】
$k=\dfrac{8}{5}$
【知识点】
相反数的性质；二元一次方程组的解；代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组与相反数性质的综合基础题，解题核心是利用x、y的特殊关系降元，将含多个未知量的问题转化为只含参数k的一元一次方程求解，计算难度较低，是二元一次方程组章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题的突破口是题干给出的“x与y互为相反数”这一条件，根据相反数的性质可得x=-y。我们可以将x=-y代入原二元一次方程组，把原方程组转化为只含有y和k的新方程组，再通过代入消元法消去y，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵ x与y互为相反数，
∴ x=-y。
将$x=-y$代入原方程组，得：
$\begin{cases} 2×(-y)+3y=k-3, \\-y-2y=2k+1 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} y=k-3&①, \\-3y=2k+1&② \end{cases}$
将①代入②，得：$-3(k-3)=2k+1$
展开得：$-3k+9=2k+1$
移项、合并同类项得：$5k=8$
解得：$k=\dfrac{8}{5}$
【答案】
$k=\dfrac{8}{5}$
【知识点】
相反数的性质；二元一次方程组的解；代入消元法
【点评】
本题是二元一次方程组与相反数性质的综合基础题，解题核心是利用x、y的特殊关系降元，将含多个未知量的问题转化为只含参数k的一元一次方程求解，计算难度较低，是二元一次方程组章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. 若$(5a - 7b + 3)^2 + |3a - b + 5| = 0$，求$a$与$b$的值。
答案
12. 解:由题意,得$\begin{cases} 5a-7b+3=0①, \\ 3a-b+5=0②, \end{cases}$
由②,得$b=3a+5③$。
将③代入①,得$5a-7(3a+5)+3=0$,
解得$a=-2$。把$a=-2$代入③,得$b=-1$。
由②,得$b=3a+5③$。
将③代入①,得$5a-7(3a+5)+3=0$,
解得$a=-2$。把$a=-2$代入③,得$b=-1$。
解析
【分析】
我们知道任意实数的平方、任意实数的绝对值都是非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数必须同时为0。依据该性质可列出关于a、b的二元一次方程组，观察方程组中第二个方程的b的系数为-1，很容易用含a的式子表示b，因此选择代入消元法求解方程组，即可得到a、b的值。
【解析】
解：根据平方和绝对值的非负性，可得方程组：
$\begin{cases} 5a-7b+3=0① \\ 3a-b+5=0② \end{cases}$
由②移项得：$b=3a+5$ ③
将③代入①，得：$5a-7(3a+5)+3=0$
展开计算得：$5a-21a-35+3=0$
合并同类项得：$-16a-32=0$
解得：$a=-2$
把$a=-2$代入③，得：$b=3×(-2)+5=-1$
【答案】
$a=-2$，$b=-1$
【知识点】
1.非负数的性质 2.代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础综合题型，解题的关键是熟练掌握平方、绝对值的非负性，以及代入消元法解二元一次方程组的步骤，是对基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
我们知道任意实数的平方、任意实数的绝对值都是非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数必须同时为0。依据该性质可列出关于a、b的二元一次方程组，观察方程组中第二个方程的b的系数为-1，很容易用含a的式子表示b，因此选择代入消元法求解方程组，即可得到a、b的值。
【解析】
解：根据平方和绝对值的非负性，可得方程组：
$\begin{cases} 5a-7b+3=0① \\ 3a-b+5=0② \end{cases}$
由②移项得：$b=3a+5$ ③
将③代入①，得：$5a-7(3a+5)+3=0$
展开计算得：$5a-21a-35+3=0$
合并同类项得：$-16a-32=0$
解得：$a=-2$
把$a=-2$代入③，得：$b=3×(-2)+5=-1$
【答案】
$a=-2$，$b=-1$
【知识点】
1.非负数的性质 2.代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础综合题型，解题的关键是熟练掌握平方、绝对值的非负性，以及代入消元法解二元一次方程组的步骤，是对基础知识点的常规考察。
【难度系数】
0.8
13.【综合实践】先阅读，然后解方程组。
解方程组$\begin{cases} x - y -1=0①, \\4(x - y)-y=5② \end{cases}$时，可由①，得$x - y=1$③。将③代入②，得$4×1 - y=5$，解得$y=-1$。从而进一步求得$\begin{cases} x=0, \\y=-1 \end{cases}$。这种方法被称为“整体代入法”。
请用这种方法解方程组：
$\begin{cases} 2x -3y -2=0①, \\\frac{2x -3y + $
$}{7}+2y=9② \end{cases}$
解方程组$\begin{cases} x - y -1=0①, \\4(x - y)-y=5② \end{cases}$时，可由①，得$x - y=1$③。将③代入②，得$4×1 - y=5$，解得$y=-1$。从而进一步求得$\begin{cases} x=0, \\y=-1 \end{cases}$。这种方法被称为“整体代入法”。
请用这种方法解方程组：
$\begin{cases} 2x -3y -2=0①, \\\frac{2x -3y + $
$}{7}+2y=9② \end{cases}$答案
13. 解:由①,得$2x-3y=2③$。
将③代入②,得$\dfrac{2+5}{7}+2y=9$,
解得$y=4$。
把$y=4$代入③,得$2x-12=2$,
解得$x=7$。
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=4。 \end{cases}$
将③代入②,得$\dfrac{2+5}{7}+2y=9$,
解得$y=4$。
把$y=4$代入③,得$2x-12=2$,
解得$x=7$。
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=4。 \end{cases}$
解析
【分析】
观察方程组可发现两个方程中都含有相同的整式$2x-3y$，适合用整体代入法求解：首先从形式更简单的方程①中求出$2x-3y$的值，将其作为整体代入方程②，即可消去未知数$x$，得到只含$y$的一元一次方程，求出$y$的值后，再代回求出$x$的值，即可得到方程组的解。
【解析】
由①移项可得：$2x - 3y = 2$ ③
将③代入方程②，得：$\dfrac{2 + 5}{7} + 2y = 9$
化简计算：$1 + 2y = 9$
移项得：$2y = 8$，解得$y = 4$
把$y=4$代入③，得：$2x - 3×4 = 2$
计算得：$2x = 14$，解得$x = 7$
【答案】
$\begin{cases} x=7 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组，一元一次方程求解
【点评】
本题考查整体代入法在解二元一次方程组中的应用，解题关键是观察到方程组中重复出现的整式结构，通过整体代入快速消元，简化计算步骤，同学们要学会观察代数式的结构特征，灵活运用这类简便解题方法。
【难度系数】
0.8
观察方程组可发现两个方程中都含有相同的整式$2x-3y$，适合用整体代入法求解：首先从形式更简单的方程①中求出$2x-3y$的值，将其作为整体代入方程②，即可消去未知数$x$，得到只含$y$的一元一次方程，求出$y$的值后，再代回求出$x$的值，即可得到方程组的解。
【解析】
由①移项可得：$2x - 3y = 2$ ③
将③代入方程②，得：$\dfrac{2 + 5}{7} + 2y = 9$
化简计算：$1 + 2y = 9$
移项得：$2y = 8$，解得$y = 4$
把$y=4$代入③，得：$2x - 3×4 = 2$
计算得：$2x = 14$，解得$x = 7$
【答案】
$\begin{cases} x=7 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组，一元一次方程求解
【点评】
本题考查整体代入法在解二元一次方程组中的应用，解题关键是观察到方程组中重复出现的整式结构，通过整体代入快速消元，简化计算步骤，同学们要学会观察代数式的结构特征，灵活运用这类简便解题方法。
【难度系数】
0.8
