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11. 如图，将正方形$ABCD$的一角折叠，折痕为$AE$，$∠ B'AD$比$∠ B'AE$大$48°$。设$∠ B'AD$和$∠ B'AE$的度数分别为$x°,y°$，那么$x°,y°$所适合的一个方程组是（
A.$\begin{cases} y - x = 48, \\ y + x = 90 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y - x = 48, \\ y = 2x \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 48, \\ y + 2x = 90 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 48, \\ x + 2y = 90 \end{cases}$
D
）。A.$\begin{cases} y - x = 48, \\ y + x = 90 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y - x = 48, \\ y = 2x \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 48, \\ y + 2x = 90 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x - y = 48, \\ x + 2y = 90 \end{cases}$
答案
11.D
解析
【分析】
解题时先从两个条件入手找等量关系：1. 题目直接给出∠B'AD比∠B'AE大48°，可得到两个角的差的关系；2. 结合折叠的性质，折叠前后对应角相等，即∠BAE=∠B'AE=y°，再结合正方形内角为90°，可得∠DAB由∠B'AD、∠B'AE、∠BAE三个角组成，和为90°，据此列出两个方程，联立即可得到对应的方程组。
【解析】
解：根据题意，∠B'AD比∠B'AE大48°，可得：
$x - y = 48$
由折叠的性质可知，折叠后对应角相等，即$∠ BAE = ∠ B'AE = y°$，
又
∵正方形ABCD的内角$∠ DAB = 90°$，
∴$∠ B'AD + ∠ B'AE + ∠ BAE = 90°$，代入得：
$x + y + y = 90$，即$x + 2y = 90$
联立可得方程组$\begin{cases} x - y = 48 \\ x + 2y = 90 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，正方形的性质，列二元一次方程组
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题，解题的关键是挖掘折叠和正方形中的隐含角的关系，结合题干给出的等量关系准确列出方程。
【难度系数】
0.7
解题时先从两个条件入手找等量关系：1. 题目直接给出∠B'AD比∠B'AE大48°，可得到两个角的差的关系；2. 结合折叠的性质，折叠前后对应角相等，即∠BAE=∠B'AE=y°，再结合正方形内角为90°，可得∠DAB由∠B'AD、∠B'AE、∠BAE三个角组成，和为90°，据此列出两个方程，联立即可得到对应的方程组。
【解析】
解：根据题意，∠B'AD比∠B'AE大48°，可得：
$x - y = 48$
由折叠的性质可知，折叠后对应角相等，即$∠ BAE = ∠ B'AE = y°$，
又
∵正方形ABCD的内角$∠ DAB = 90°$，
∴$∠ B'AD + ∠ B'AE + ∠ BAE = 90°$，代入得：
$x + y + y = 90$，即$x + 2y = 90$
联立可得方程组$\begin{cases} x - y = 48 \\ x + 2y = 90 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质，正方形的性质，列二元一次方程组
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题，解题的关键是挖掘折叠和正方形中的隐含角的关系，结合题干给出的等量关系准确列出方程。
【难度系数】
0.7
12. 某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A，B两种型号的客车可供租用，A，B两种客车载客量分别为45人、30人。要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
C
）。A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
答案
12.C
解析
【分析】
遇到这类租车方案问题，首先明确有两个未知量（A、B两种车的租用数量），可先设两个未知数，根据“总载客量=总人数”的等量关系列出二元一次方程；由于车辆数量必须是非负整数（不能为负数、不能为小数），因此只需要求出该二元一次方程的所有非负整数解，解的个数就是租车方案的数量，注意不要遗漏只租同一种车的情况。
【解析】
解：设租用A型号客车$x$辆，租用B型号客车$y$辆，其中$x$、$y$均为非负整数。
根据题意，总载客量等于总人数360人，可列方程：
$45x + 30y = 360$
化简方程（两边同时除以15）得：$3x + 2y = 24$
将方程变形为用$x$表示$y$的形式：$y = \frac{24 - 3x}{2}$
∵ $y$为非负整数，
∴ $24 - 3x ≥ 0$，且$24 - 3x$能被2整除，解得$x ≤ 8$，逐一代入非负整数验证：
当$x=0$时，$y=\frac{24-0}{2}=12$，符合要求；
当$x=2$时，$y=\frac{24-6}{2}=9$，符合要求；
当$x=4$时，$y=\frac{24-12}{2}=6$，符合要求；
当$x=6$时，$y=\frac{24-18}{2}=3$，符合要求；
当$x=8$时，$y=\frac{24-24}{2}=0$，符合要求；
其余$x$取值对应的$y$均不是非负整数，不符合要求。
综上，共有5种符合条件的租车方案。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的应用；二元一次方程的整数解
【点评】
本题属于方案设计类基础题，解题核心是结合实际情况明确未知数的取值范围（非负整数），求出方程的所有符合要求的解即可，注意不要忽略只租用单一型号客车的情况。
【难度系数】
0.7
遇到这类租车方案问题，首先明确有两个未知量（A、B两种车的租用数量），可先设两个未知数，根据“总载客量=总人数”的等量关系列出二元一次方程；由于车辆数量必须是非负整数（不能为负数、不能为小数），因此只需要求出该二元一次方程的所有非负整数解，解的个数就是租车方案的数量，注意不要遗漏只租同一种车的情况。
【解析】
解：设租用A型号客车$x$辆，租用B型号客车$y$辆，其中$x$、$y$均为非负整数。
根据题意，总载客量等于总人数360人，可列方程：
$45x + 30y = 360$
化简方程（两边同时除以15）得：$3x + 2y = 24$
将方程变形为用$x$表示$y$的形式：$y = \frac{24 - 3x}{2}$
∵ $y$为非负整数，
∴ $24 - 3x ≥ 0$，且$24 - 3x$能被2整除，解得$x ≤ 8$，逐一代入非负整数验证：
当$x=0$时，$y=\frac{24-0}{2}=12$，符合要求；
当$x=2$时，$y=\frac{24-6}{2}=9$，符合要求；
当$x=4$时，$y=\frac{24-12}{2}=6$，符合要求；
当$x=6$时，$y=\frac{24-18}{2}=3$，符合要求；
当$x=8$时，$y=\frac{24-24}{2}=0$，符合要求；
其余$x$取值对应的$y$均不是非负整数，不符合要求。
综上，共有5种符合条件的租车方案。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的应用；二元一次方程的整数解
【点评】
本题属于方案设计类基础题，解题核心是结合实际情况明确未知数的取值范围（非负整数），求出方程的所有符合要求的解即可，注意不要忽略只租用单一型号客车的情况。
【难度系数】
0.7
13. 已知$x=2$既满足二元一次方程$x+2y=4$，又满足二元一次方程$2ax+y=13$，求$a$的值。
答案
13. 解:把$x=2$代入$x+2y=4$,得$y=1$。
把$x=2,y=1$代入$2ax+y=13$,
得$a=3$。
把$x=2,y=1$代入$2ax+y=13$,
得$a=3$。
解析
【分析】
本题已知x=2是两个二元一次方程的公共解，解题思路可分为两步：第一步，利用已知的x值，代入第一个不含参数a的二元一次方程，求出对应的y值；第二步，将求得的x、y的值代入第二个含参数a的方程，此时方程变为只含a的一元一次方程，求解该方程即可得到a的值。核心逻辑是：满足二元一次方程的未知数的值就是方程的解，代入后等式一定成立。
【解析】
解：把$x=2$代入二元一次方程$x+2y=4$，得：
$2+2y=4$
解得$y=1$。
再把$x=2$，$y=1$代入二元一次方程$2ax+y=13$，得：
$2a×2 + 1 = 13$
化简得$4a+1=13$
解得$a=3$。
【答案】
$a=3$
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，代入法求参数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的理解，解题关键是明确同时满足多个二元一次方程的未知数的值是这些方程的公共解，通过两次代入即可逐步求出未知参数，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
本题已知x=2是两个二元一次方程的公共解，解题思路可分为两步：第一步，利用已知的x值，代入第一个不含参数a的二元一次方程，求出对应的y值；第二步，将求得的x、y的值代入第二个含参数a的方程，此时方程变为只含a的一元一次方程，求解该方程即可得到a的值。核心逻辑是：满足二元一次方程的未知数的值就是方程的解，代入后等式一定成立。
【解析】
解：把$x=2$代入二元一次方程$x+2y=4$，得：
$2+2y=4$
解得$y=1$。
再把$x=2$，$y=1$代入二元一次方程$2ax+y=13$，得：
$2a×2 + 1 = 13$
化简得$4a+1=13$
解得$a=3$。
【答案】
$a=3$
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，代入法求参数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二元一次方程解的概念的理解，解题关键是明确同时满足多个二元一次方程的未知数的值是这些方程的公共解，通过两次代入即可逐步求出未知参数，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
14.【综合实践】甲、乙两人同时解方程组$\begin{cases}ax +5y=15①, \\4x - by=-2②\end{cases}$时，甲看错了方程①中的$a$，解得$\begin{cases}x=-3, \\y=-1;\end{cases}$乙看错了方程②中的$b$，解得$\begin{cases}x=5, \\y=4,\end{cases}$试求$a^{4024}+(-\dfrac{b}{10})^{4025}$的值。
答案
14. 解:把$\begin{cases}x=-3,\\y=-1\end{cases}$代入方程$4x−by=−2$,
得$4×(-3)-b×(-1)=-2$,
解得$b=10$。
把$\begin{cases}x=5,\\y=4\end{cases}$代入方程$ax+5y=15$,
得$5a+5×4=15$,
解得$a=-1$。
所以$a^{4024}+(-\dfrac{b}{10})^{4025}=(-1)^{4024}+(-\dfrac{10}{10})^{4025}=0$。
得$4×(-3)-b×(-1)=-2$,
解得$b=10$。
把$\begin{cases}x=5,\\y=4\end{cases}$代入方程$ax+5y=15$,
得$5a+5×4=15$,
解得$a=-1$。
所以$a^{4024}+(-\dfrac{b}{10})^{4025}=(-1)^{4024}+(-\dfrac{10}{10})^{4025}=0$。
解析
【分析】
解题的关键是理解“看错某一个方程的系数”的含义：甲看错了方程①中的a，说明甲求出的解满足没有看错的方程②；乙看错了方程②中的b，说明乙求出的解满足没有看错的方程①。我们可以分别把两人的解代入对应的未看错的方程，求出正确的a、b的值，再代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：因为甲看错了方程①中的a，所以$\begin{cases}x=-3, \\y=-1\end{cases}$是方程②的正确解，将其代入方程$4x - by=-2$，得：
$4×(-3)-b×(-1)=-2$
计算得$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
因为乙看错了方程②中的b，所以$\begin{cases}x=5, \\y=4\end{cases}$是方程①的正确解，将其代入方程$ax +5y=15$，得：
$5a + 5×4 =15$
计算得$5a +20=15$，$5a=-5$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{4024}+(-\dfrac{b}{10})^{4025}$得：
原式$=(-1)^{4024}+(-\dfrac{10}{10})^{4025}=1 + (-1)=0$。
【答案】
$0$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，有理数乘方运算
【点评】
本题是二元一次方程组错解类的典型题型，解题核心是明确错解仍满足未看错的方程，求出正确的参数值后结合乘方的符号规律计算即可，注意计算乘方时区分奇偶指数对应的符号。
【难度系数】
0.7
解题的关键是理解“看错某一个方程的系数”的含义：甲看错了方程①中的a，说明甲求出的解满足没有看错的方程②；乙看错了方程②中的b，说明乙求出的解满足没有看错的方程①。我们可以分别把两人的解代入对应的未看错的方程，求出正确的a、b的值，再代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：因为甲看错了方程①中的a，所以$\begin{cases}x=-3, \\y=-1\end{cases}$是方程②的正确解，将其代入方程$4x - by=-2$，得：
$4×(-3)-b×(-1)=-2$
计算得$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
因为乙看错了方程②中的b，所以$\begin{cases}x=5, \\y=4\end{cases}$是方程①的正确解，将其代入方程$ax +5y=15$，得：
$5a + 5×4 =15$
计算得$5a +20=15$，$5a=-5$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{4024}+(-\dfrac{b}{10})^{4025}$得：
原式$=(-1)^{4024}+(-\dfrac{10}{10})^{4025}=1 + (-1)=0$。
【答案】
$0$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，有理数乘方运算
【点评】
本题是二元一次方程组错解类的典型题型，解题核心是明确错解仍满足未看错的方程，求出正确的参数值后结合乘方的符号规律计算即可，注意计算乘方时区分奇偶指数对应的符号。
【难度系数】
0.7
