19. 已知关于$x$的不等式$\frac{2m - mx}{2} ＞ \frac{1}{2}x - 1$.
(1) 当$m = 1$时，求该不等式的解集.
(2) 当$m$取何值时，该不等式有解？并求出解集.

19. (1) 当 $ m = 1 $ 时，不等式为 $ \frac { 2 - x } { 2 } ＞ \frac { 1 } { 2 } x - 1 $。去分母，得 $ 2 - x ＞ x - 2 $，解得 $ x ＜ 2 $ (2) 将不等式去分母，得 $ 2 m - m x ＞ x - 2 $。移项、合并同类项，得 $ ( m + 1 ) x ＜ 2 ( m + 1 ) $。当 $ m ≠ - 1 $ 时，不等式有解。① 当 $ m ＞ - 1 $ 时，不等式的解集为 $ x ＜ 2 $；② 当 $ m ＜ - 1 $ 时，不等式的解集为 $ x ＞ 2 $

20. 已知$x$，$y$满足$3x + 4y = 1$.
(1) 用含有$x$的代数式表示$y$；
(2) 当$y ＞ 1$时，求$x$的取值范围；
(3) 当$x$，$y$满足$x ＞ \frac{1}{2}$，$y ≥ -\frac{3}{4}$，且$3x - 4y = m$时，求$m$的取值范围.

20. (1) 由 $ 3 x + 4 y = 1 $，得 $ 4 y = 1 - 3 x $，所以 $ y = \frac { 1 } { 4 } - \frac { 3 } { 4 } x $ (2) 根据题意，得 $ \frac { 1 } { 4 } - \frac { 3 } { 4 } x ＞ 1 $，解得 $ x ＜ - 1 $ (3) 联立方程组 $ \{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1, } \\ { 3 x - 4 y = m, } \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { x = \frac { 1 + m } { 6 }, } \\ { y = \frac { 1 - m } { 8 }. } \end{array} $ 根据题意，得 $ \{ \begin{array} { l } { \frac { 1 + m } { 6 } ＞ \frac { 1 } { 2 }, } \\ { \frac { 1 - m } { 8 } ≥ - \frac { 3 } { 4 }, } \end{array} $ 解得 $ 2 ＜ m ≤ 7 $

21. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打$8$折；
活动二：所购商品按原价每满$300$元减$80$元（如：所购商品原价为$300$元，可减$80$元，需付款$220$元；所购商品原价为$770$元，可减$160$元，需付款$610$元）.
(1) 当购买一件原价为$450$元的健身器材时，选择哪种活动更合算？
(2) 当购买一件原价在$500$元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价.
(3) 当购买一件原价在$900$元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为$a$元，请直接写出$a$的取值范围.

21. (1) 选择活动一需付款 $ 450 × 0.8 = 360 $（元）。选择活动二需付款 $ 450 - 80 = 370 $（元）。因为 $ 360 ＜ 370 $，所以选择活动一更合算 (2) 设一件这种健身器材的原价为 $ x $ 元。当 $ x ＜ 300 $ 时，活动一按原价打8折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等，所以 $ 300 ≤ x ＜ 500 $。根据题意，得 $ 0.8 x = x - 80 $，解得 $ x = 400 $。答：一件这种健身器材的原价为400元 (3) $ 300 ≤ a ＜ 400 $ 或 $ 600 ≤ a ＜ 800 $ 解析：① 当 $ a ＜ 300 $ 时，易知不符合题意；② 当 $ 300 ≤ a ＜ 600 $ 时，由 $ a - 80 ＜ 0.8 a $，得 $ a ＜ 400 $，此时 $ a $ 的取值范围是 $ 300 ≤ a ＜ 400 $；③ 当 $ 600 ≤ a ＜ 900 $ 时，由 $ a - 80 × 2 ＜ 0.8 a $，得 $ a ＜ 800 $，此时 $ a $ 的取值范围是 $ 600 ≤ a ＜ 800 $。综上所述，$ 300 ≤ a ＜ 400 $ 或 $ 600 ≤ a ＜ 800 $。