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21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B，C作$BE// AC$，$CE// BD$，BE与CE交于点E.
（1）求证：四边形OBEC是矩形.
（2）当$∠ ABD=60°$，$AD=4$时，求DE的长.
（1）求证：四边形OBEC是矩形.
（2）当$∠ ABD=60°$，$AD=4$时，求DE的长.
答案
（1）四边形OBEC是矩形，证明如上；（2）DE的长为2√7。
解析
【分析】
（1）要证明四边形OBEC是矩形，首先根据两组对边分别平行可先判定四边形OBEC是平行四边形；再结合菱形对角线互相垂直的性质得到∠BOC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明。
（2）求DE的长时，首先利用菱形四边相等的性质，结合∠ABD=60°可判定△ABD是等边三角形，得到BD的长度；再通过菱形对角线互相平分、垂直的性质，在直角三角形AOB中用勾股定理求出AO的长，即得到OC的长；之后利用矩形对边相等的性质得到BE的长度，最后在直角三角形DBE中用勾股定理即可求出DE的长。
【解析】
（1）证明：
∵ $BE// AC$，$CE// BD$，
∴ 四边形OBEC是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AC⊥ BD$，即$∠ BOC=90°$，
∴ 平行四边形OBEC是矩形。
（2）解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=AD=4$，$AC⊥ BD$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$OA=OC$，
∵ $∠ ABD=60°$，$AB=AD=4$，
∴ $△ ABD$是等边三角形，
∴ $BD=AD=4$，
∴ $OB=\frac{1}{2}BD=2$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2 - OB^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $OC=OA=2\sqrt{3}$，
∵ 四边形OBEC是矩形，
∴ $BE=OC=2\sqrt{3}$，$∠ OBE=90°$，即$BD⊥ BE$，
在$Rt△ DBE$中，$BD=4$，$BE=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2 + BE^2}=\sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
（1）四边形OBEC是矩形，证明成立；（2）DE的长为$2\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊四边形的基础综合题，核心考察特殊四边形的性质、判定定理与勾股定理的结合应用，是四边形章节的典型考法，侧重对基础知识点综合运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
（1）要证明四边形OBEC是矩形，首先根据两组对边分别平行可先判定四边形OBEC是平行四边形；再结合菱形对角线互相垂直的性质得到∠BOC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可完成证明。
（2）求DE的长时，首先利用菱形四边相等的性质，结合∠ABD=60°可判定△ABD是等边三角形，得到BD的长度；再通过菱形对角线互相平分、垂直的性质，在直角三角形AOB中用勾股定理求出AO的长，即得到OC的长；之后利用矩形对边相等的性质得到BE的长度，最后在直角三角形DBE中用勾股定理即可求出DE的长。
【解析】
（1）证明：
∵ $BE// AC$，$CE// BD$，
∴ 四边形OBEC是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AC⊥ BD$，即$∠ BOC=90°$，
∴ 平行四边形OBEC是矩形。
（2）解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=AD=4$，$AC⊥ BD$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$OA=OC$，
∵ $∠ ABD=60°$，$AB=AD=4$，
∴ $△ ABD$是等边三角形，
∴ $BD=AD=4$，
∴ $OB=\frac{1}{2}BD=2$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2 - OB^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
∴ $OC=OA=2\sqrt{3}$，
∵ 四边形OBEC是矩形，
∴ $BE=OC=2\sqrt{3}$，$∠ OBE=90°$，即$BD⊥ BE$，
在$Rt△ DBE$中，$BD=4$，$BE=2\sqrt{3}$，
由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2 + BE^2}=\sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
（1）四边形OBEC是矩形，证明成立；（2）DE的长为$2\sqrt{7}$
【知识点】
菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是特殊四边形的基础综合题，核心考察特殊四边形的性质、判定定理与勾股定理的结合应用，是四边形章节的典型考法，侧重对基础知识点综合运用能力的考察。
【难度系数】
0.7
22. 如图，$△ ABC$ 是以 $BC$ 为底边的等腰三角形，$AD$ 是边 $BC$ 上的高，点 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点.
（1）求证：四边形 $AEDF$ 是菱形.
（2）如果四边形 $AEDF$ 的周长为 12，两条对角线的长度之和等于 7，求四边形 $AEDF$ 的面积 $S$.
（1）求证：四边形 $AEDF$ 是菱形.
（2）如果四边形 $AEDF$ 的周长为 12，两条对角线的长度之和等于 7，求四边形 $AEDF$ 的面积 $S$.
答案
（1）四边形AEDF是菱形，证明见上述解析；（2）S=13/4
解析
【分析】
（1）要证明四边形AEDF是菱形，可先证它是平行四边形，再证明一组邻边相等即可。首先利用等腰三角形三线合一得到D是BC中点，结合E、F是AB、AC中点，可通过三角形中位线定理得到两组对边分别平行，判定为平行四边形，再结合AB=AC推出邻边相等，即可得证。
（2）已知菱形周长可先求出边长，设两条对角线长分别为m、n，根据题意得m+n=7，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理得到两条对角线一半的平方和等于边长的平方，再通过完全平方公式变形求出对角线的乘积，最后利用菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积即可。
【解析】
（1）证明：
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AD是BC边上的高
∴AD平分BC，即D是BC的中点，且AB=AC
∵点E、F分别是AB、AC的中点
∴DE是△ABC的中位线，DF是△ABC的中位线
∴DE//AC，$DE=\frac{1}{2}AC$，DF//AB，$DF=\frac{1}{2}AB$
∴四边形AEDF是平行四边形
又
∵AB=AC，
∴DE=DF
∴平行四边形AEDF是菱形
（2）解：
∵菱形AEDF的周长为12
∴菱形的边长为$12÷4=3$
设菱形的两条对角线长分别为$m$、$n$，由题意得：$m+n=7$
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线的一半与边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$(\frac{1}{2}m)^2 + (\frac{1}{2}n)^2 = 3^2$
整理得：$m^2 + n^2 = 36$
对$m+n=7$两边同时平方得：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 49$
将$m^2+n^2=36$代入上式得：
$36 + 2mn = 49$
解得：$mn=\frac{13}{2}$
∴菱形AEDF的面积$S=\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}×\frac{13}{2}=\frac{13}{4}$
【答案】
（1）四边形AEDF是菱形，证明见解析；（2）$S=\frac{13}{4}$
【知识点】
1.菱形的判定与性质
2.等腰三角形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，既考查了特殊四边形、等腰三角形的基础性质，又结合代数的完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握相关性质，灵活运用公式变形简化计算，避免单独求解对角线带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.65
（1）要证明四边形AEDF是菱形，可先证它是平行四边形，再证明一组邻边相等即可。首先利用等腰三角形三线合一得到D是BC中点，结合E、F是AB、AC中点，可通过三角形中位线定理得到两组对边分别平行，判定为平行四边形，再结合AB=AC推出邻边相等，即可得证。
（2）已知菱形周长可先求出边长，设两条对角线长分别为m、n，根据题意得m+n=7，再结合菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理得到两条对角线一半的平方和等于边长的平方，再通过完全平方公式变形求出对角线的乘积，最后利用菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积即可。
【解析】
（1）证明：
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，AD是BC边上的高
∴AD平分BC，即D是BC的中点，且AB=AC
∵点E、F分别是AB、AC的中点
∴DE是△ABC的中位线，DF是△ABC的中位线
∴DE//AC，$DE=\frac{1}{2}AC$，DF//AB，$DF=\frac{1}{2}AB$
∴四边形AEDF是平行四边形
又
∵AB=AC，
∴DE=DF
∴平行四边形AEDF是菱形
（2）解：
∵菱形AEDF的周长为12
∴菱形的边长为$12÷4=3$
设菱形的两条对角线长分别为$m$、$n$，由题意得：$m+n=7$
∵菱形的对角线互相垂直平分
∴两条对角线的一半与边长构成直角三角形，由勾股定理得：
$(\frac{1}{2}m)^2 + (\frac{1}{2}n)^2 = 3^2$
整理得：$m^2 + n^2 = 36$
对$m+n=7$两边同时平方得：
$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = 49$
将$m^2+n^2=36$代入上式得：
$36 + 2mn = 49$
解得：$mn=\frac{13}{2}$
∴菱形AEDF的面积$S=\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}×\frac{13}{2}=\frac{13}{4}$
【答案】
（1）四边形AEDF是菱形，证明见解析；（2）$S=\frac{13}{4}$
【知识点】
1.菱形的判定与性质
2.等腰三角形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，既考查了特殊四边形、等腰三角形的基础性质，又结合代数的完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握相关性质，灵活运用公式变形简化计算，避免单独求解对角线带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.65
